Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов, страница 2

В рассма>яшэаемой области фнкснруегсн конечное число точек. Эти точки называются узлозыма тачками алн просто уз. лвмн. 2. Эяачение гющ«>рваной величины а каждой узловой точке счатаетсн цершшицой, которая должна быть опрелелена. д. Область оцределекпя непрерывной велпчины разбивается ее каиечшж *щепа подобластей, назыэаемык алсмантзмл.

Эти элементы имеют об>цие >алюаь>е точин п а созокуппастн шшрокоимируют >)юрму облаю>п. '> В з й ю «З«с«иэгтээ«эпс» >ювао йу «вше «Вэщ кш«ра. па и* и куси««их эол«ас««С« а ««н«см» э «йтагзнв э дал>зейн«в будт> сэнт« иш э«ээп и и ао ва сэу. й 3 ь 3 а л 3 а з л-1 б Оэг. 1.1. Рвщедгв«ш шп«вэ г> э од- ааг. >Я. Узле ие гочка а саед«э. >«в«таси сшзмие. виаеиие з а ««Т(«). юбязателыю рэспюлагшь их на равном рассчоянии друг от друш>. Очпвщно, махаю ввести в расамоаревие н более пяти точек, но швх пяти вполне достаточно, чтобы проиллюстрировать сснаваую млею эипода Зна'юная Т(х) и данном ч.лучае нзнесгзы в кажлой учшовой точим Эти фиксзрюванпые значения представлены графически на фиг.

1.2, б и обош>ачепы п ветле>стева с номерами узловых точек чеРез Ть Т;„..., Ть Разбиение области на элементы мажет быть проведегю двумя Различными юпосабамн уяюжаа, например, ограни ипь каждый элемент >шумя соседними узловыми точками, образован четыре зленез'га (фкг. 1 д, а), илн разбить область иа два алемента, каждый нз коюрых содержат три узла (фнг.

!.З,б). Соегаештвуккцпй элементу пол>шом опрслеляется па значениям Т(х) в узловых точ- '> В «т эа ивОм, овзэаиий с азидэн зл«иеи и, в р два«щ«извет фуэш ей зв«э.— «гил, ша гэ ' Т ют ! ч г л. г г з» з 1 б Ф . 1А. Джл»»п»ю»с»сан лля ол»о»вр»от твюсрагу»»гг» ез». Ф»г. 1А Дслгюи сбл»сг»»а «лс- ках злемеата. В случае разбиения области ве четыре элемента когда на каждый элемент прихслгыся по дна узла, функция элемента будет лннсйна по х (дэе точки однозначно опрсаеляюг прямую линяю).

Око»чателвная лппрохонмация Т(г) булат состоять вз четырех кусоюю-лвнейкых функций, яшкдаз вз которых определена ва отдельном элементе (фгг. 1.4, а). Другой способ разбиения области ва лва злемента с тремя узловыми точкаыз щиэодит к цршитаоленню функпви шюьмлти в виде полннома второй сшпени. В атом случае окончательной г аппроксимацией Т(л) будет совжушюсчь двум кусочно.всцрерынпых кеанратячных функпяй. О»метим, что это приближение будет вмеягю кусочно непрерывным, так как >тли ваклояа графикон обеих зтнх функций »кнут вжть разные значения а трепом узле.

В общем случае распреяемнне температуры гмпзнесгао в мы хотим оцреднмгь значения этой величины в некоторых точках. Методика посцхигшя дискрсзной модели остается то пю такой же, кан описано зьшю, во с добавлением одного дополнительного синга. Сеова определяются миожсст»ю улов в »качения температуры в этих узлах Ть Т», Тв . которые теперь яэлшотся псремениымн. твк лак оин заранее венююсгвы. Облэсть разбнеаетси на злсмен- , ты, ва кю»дом»гь жгторых опргделяспгя юютветствующая функция элемента, Узловые значения Т(х) должны быть теперь щпрегулл.

розвпы» танин обрл»ом, чтобы обеспечивалось »наилучшее» вря- Фв: гд. ЛГ»леня»вю»е л»у»ср»са с»зл»ря»я йующ»н с»аиащью тр»упв» стнзе»ушльжв злснеигс». Ф»г. 1ГЬ Ьиэнгщгввюе л»г»с»»ае о»щ»»г а ф„ с ао»сюьв «»»»р» нчшш цхтп,несю» ю бпяжегже к истшшоггу эжщгр ро инне» сеуществляется путем минимизации веноторой аечн 'гизы.

с»я»инной с фгюическай сугциостыо »»дачи. Вглп ржсматриаается задача рисцрострапенин тыща, то мгшимизируется функ- | некием. П исс мини гнюнлл. оашанный с щхпветпшующнм днфференциальвым урав. Прсчисс мвгшмвзэпли сзолятся к решению слстем лнвсй- 44 уз г шых алгебраических уравнений относительно узловых зезчс. унй у(х). Прн построении цисиретиай модели иепрерышюй величины, опрелеленгюй в двук- илн трехмцрной области, ошознвя концепция метода навечных элементов используется аналогично. В двумерном случае элементы описыввьлся функцивми от х, у, цри этом чаще всего рассматривзются элементы н форме туеугальиика илн четырехугольника. Функцви зламеноз изображаются теперь пласвими (фнг. 1.5) или кунволлы.'йиымв (фиг.

1.б) позсрхностямн. Функция элсысвта будет цредставляться плоскасгькь если для данного элемента взято ьшнимзльнае юкла узловых точек, кок!ик длв треуголыюто элемента равияегтя туем, а дпя четщехугалъаоя'а — четы(км. Гали асполыуемое числа узлов !юльше ывнимзльнога, то функции элемента будет соатлетстиавзть щеволияейиая поверхзюсть. Кроме тата, избыточное «игла узлов позволяет рзссматривать элементы с кршюлинейиыми првиицами. Окончательной аппроксимацией двумерной иецрерьюиой величины в(х, у) будит служить савакупшкть кусочшгеепреуытшых поверхностей, «ни~пан из которых определяется на отдельном злеиенш с помощью зиачевнй у(х, д) в соответствующих узловых точках. Важпым аспектам ыеюда коиезных элементов явзяетгя шмможиасть ныделнть из набора элементов типичный элемент при определении функции элемены. Эта позволяет определять функцию элемента ееззвисимо от относительного положшши элемента в общей связной мелели и от других функций элеменлж.

Залыше фунюпш элемента через прсшэвалынк множество узжжых значений н ююрдниат позволяет нспальзоватЬ функции элемента для аппроксимации геометрии области. 1.2. ПреиМущества н недостатки В пасгаящее время область применения метода конечных элементов очень обширна и охватывагв все физичесние задачи, которые могут быть оинсвиы дифференциальными уравжзняын.

Изибоже важными преимуществами метода конечных злемснтов, благодаря которым св широко испальтуетец назяютсн следующие: !. Сзайстиа материалов смежных элементов ее должны быть обязательна одвнакавыыи. Эта пашаляст применять мстсд к телам, отставленным пз мсскальких матщизлов. 2. Кривазииейнзя область может быть апцроксммиравана с по. зкицью прямолинейных элементОв или описзив точно с помощью крнзслинейжых ашментов.

Таким образом, методом мотива пельзаваться пе только для областей с «хорошей» формой гувниггы. 3. Размеры взсмегпж могут быть веуеменнымп. Эта позволяет укрупанть илн измельчить свгь уазбгшния области ил элементы, ясли в этом есть необходимость. 4. С поькицью метода коиечвых »леве»лов ие представляю' труда расхматренне граничных условий с разрывной поверхностной нагрузкой, а также смешанных граничных условий.

б. Указвшкые выше преимущества металз кыечных элементов могут быть использованы при составлении достаточно обшей программы для решения частных задач оцределешюга клааса. у!зяример, с помощью программы дзя оаеанмметрическай эанвчи о рвсщюстравееии тепла можно решать любую часчвую задачу этого типа. Факторами, црспяжтвующими расширению круга задач, решаемых методом кожаных атеншлов, явлшатсн ограничетиюсгь машкиной памяти и высокая стоимость вычислительных работ. Главный недостаток метода жжечных элементов заключается в ассбходимости составления еычислителыпзх врограмм и црвмеиения зычнслнтелыюй техники. Вычисления, жлорьк требуется проводить яуи исзальзоеаввн метода конечных элементов, слишком Чюмоюгкн лля уучнага счета деже и случае усшения очень щхктыл ззхлч.

Для решения слажиых зздвч необжжимо испальвовать быстродействующую ЭВМ. аблвдзницую большой памятью. В еастоящее время имеются технологические вазьюжнасти для создания досгатовю мощных ЭВМ. Некоторые коммерческие и упранлниицие оргеанзацнп уаслолагают обширнымн комплектами вычислительных иуогрзмм. Смягчить оановиой зкдастлток метода ионечпых элементов могут совершенствование пшиклишльных пуо, гуами и создзнке мщцвых ЭВМ. (З. Структура книги я обсужд и з, д ° ' есин»в элементов, кслорые связаны с уешеиием задач механики сплошных сред, з частности звхзч перепаса теплн, андрамсхвиики, днузкрньж и трлчерных зацач пеоуин упругости.

Нврялу с основамл теории рассматривается усеинзация метода еа ЭВМ, так как конечной целью являегсн получение численного решения физнчестшх втдлч. В следуиицих шести главах увссмвтуввзилтя основныс асвекты методе конечных элементов: 1. Дискрсиезция области; определение узловык точек и элементов, ! 2. Опрелелш~ие фувкшш элемента для атдслгзюга элемента. 3. Получение из фуахцнй элементов кусоченнепрерыжюй фзекф тшк. опредазевюй из всей области 4. Составление системы урзвнекнй путем минимизации функционала, связанного с физической задачей.

5. Решение указанной системы уравнений овноснтсльно узловых значений. б. Вышгслешк искомых,величин в элементе. 7 1 Г г ДИСКРЕТИЗА34ИЯ ОБЛАС)И ЛИТЕРАТУРА Главы 8 — !2 посвящены арвлаженням в раэлнчвых изнкрет.ных областях механики сплошных сред к аадэчам расщюсцпве. ння тепла в гпдродпнамнкн, осесвмметрнческнм эю!ачам теории поля, вестацванарньш задачвм теории поля и задачам теорла упругости. Ддн нллюстрэпнп основ теория в гл. б приводятся задача -.а хрученпп щшнндра вепрутоного сечения. В гл. 13 — 1б рассмауунвазотся элементы высового порядка.

В гл. 17 обсуткдается ме'тод Галеркнна. Гл. 18 содержат венаторые вычпглптелнные щю. граммы, зппорые могут быть использованы для решапня аадач, ре3»патронных е книге. Этэ глава должна попользоваться Ожпест. на с гл. 2 н гл. 6 — 12. Вычислительные программы в гл. 18 составлены специально для учебных целей. Окв не относятся к пб. птнм программам, с помощью ком!рык решаютсэ сложные задачи. 1. Ьупп Р. Р„дгта Б. К, Озе от сьз Ьзю! Беипы Сг!Ьлсп го ще щпйе Ем»ей ропепсаиса, 1жзп х. (и иипзггон м ипь ьз е ло пнп, 6,73-31 (19733. П Меэ»Ь И. 1„Вз Ы Ь г Осатанел аг Мзгпсез Ьг йе ОЬзс1 БИИпезз Мейизд У.лзз.! зсй" лего з и инлпп»„гкз,!.!Изз — гщт(!ищ.

3. Бшт» В. Л., Ьн С. С„ОегнаИ*а 1 Бсн!юж Ьсзысзз Ьп Р оЬ!кзз 1п !нэпе Щезнп17 Ьт Озьзюн'з Ьмйод, !и згп Г. о! П з и' Л Минки Н Е НП ЬП. 1. 301 — 310 Осы!. Е. Тзпз:г М 1„СЬ»НЬ 2 %„Мигни Н. С Торр 1 3., БИ!Ьк з зно Оенесщп ' Ьпз1тиз ! Секр!ее Бспкгигп 1. Л гззии!. Зп„тэ, ШН вЂ” З24 ОЩБ). И.У! + М., Л Вж Щ Ю й ИЫ Ь 3 гч! Впзнан Ы НоэТЩзв т Тпирегпзге щзьюпО. п звд тыл»э! Ое1агппи а, Ргос. Озн. оп ртзснх М Иксе !и БЬкюпт М сЬ,Ыс, Ю Р !пк Ы т Ьпз Пт. 1нзгнырзрзп ' и Юг Р гсе Вазе, Озтэю, Оысз 19ГИ. 6.

нйп» В. Ь„НкнзИ й. Е„лррзсзаоо от Ик Р Ие Непзеп! Мен»1 со Неве . Сынка» Ьпасун, И Ь Евро Ппе и О !Ии, Е, ЩΠ— нщ 3!Мат. 7 утес'' зпз О. с скат. К„щонз 21мпшп 1э ип Б 3иитп ы рны Рюььпп тт еинс и, ПИ вЂ” Б!О (Внз). Б. 23епиепю О. с.'тье моне нп ы м и э 1п щпвпепаа жь и мспгз- ЩИ, Ьсоноп, 1971; ес русский перепдз Зепзеззч О.. Мепп «ззсчевх ппмеп еззнзе, з «Мерз, М„РЛК Разбиение областл на подаблеств прераганляет собой первый пиг пв пугн к уешежоо звдачн, н именна этот шаг не имеет теоретического обоаэавакия.