Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах, страница 7

отраженный луч на- 2 правлен вдоль отражающей границы. При полном внутреннем от. ражеиии з!п62 = (с /с ) з!пО!. Это указывает на то, что величина э!пО должна рассматриваться как мнимая, Число а й созО !а также мнимое. Коэффициент отражения 2 2 У = р — !'- э! р + ! — з! = ехр(- Ьа), !Р2 .азгР2 .ай ' (1) ! ! 1 ! где 10( /2) = ( / )(Р,/Р ) 1)'! - 1 (2) Коэффициент прозрачности также будет мнимым числом. По фор- муле Френеля А!2 Й2 соз02 2 2 а 2 озй ) 2 )()-~ + (а~ ~ ехр(-сз) Потенциал поля в среде 2 равен лэ2 2 а 2 -!.2 р = 2А[~ — ) э Ц ~ ехр(!л!хз(пО!+ах- !Я, (3) А — амплитуда падающей на границу волны, Амплитуда поля убывает при удалении от границы по закону )А2) = 2АЕ ~Я +[-~ ~, аь О, 2«0.

1.3.20. Показать, что полное отражение от поглошающей среды невозможно. Решение. Если отражающая среда поглощающая, то скорость звука и коэффициент преломления в ней являются комплекснымн величинами. Поэтому в формуле Френеля для коэффициента огражения 0;(и'- ! 26,)ь2 Р2 У = и! тсозО (п2-з!п26 )!'2 ! 1 Р1' положим (и -з!п 6 ) = а ~ !Ь. Тогда ! (л!со50 — и) — (Ь Г - г-;;д-';п,а - !Г!.

'". причем при всех углах падения )г'( а 1 (кроме скользящего падения: О, = 90 С). 1.3.21. Вычислить угол полного отражения звука частотой 100 кГц на границе между водой и анилииом. Определить фазу коэффициента отражения и глубину проникновения звука в аииа лин, на которой при угле падения 80 звуковое давление уменьшается в е раз. Поглощением звука в средах пренебречь.

Плотности воды и анилииа соответственно равны р = 1 н р з ! 2 = 1,022 г/см, скорость звука с = 1480 и с = 1659 м/с. ! 2 Решение. Угол полного внутреннего отражения равен 6 ° ~ агсз!п(с/с ) ~ 61 . Коэффициент отражения при атом У ~ е ~, где !н(о/2) (а/о,)(р,/р ), а, (ы/с!) созВг Вы. числим мнимый косинус угла преломления 0 в среде 2 при угле падения 0 = 80': ! соз В 1 — з(п В 1-(с/с) з!и В О, созВ ((В, 2 2 2 2 2 ! ! ' 2 Рассмотрим величину а (и/с ) созВ (а ~ ~''1,8 см !. Фа. 2 2 2 зв коэффициента а = 2,33.

Глубину (, на которой в аннлине давление убывает в е раз, находим из аИ 1: й = 0,57 см. 1.3.22. Вывести асимптотнческую формулу для коэффициента отражения от слабо поглощающей среды при малых углах скольжения. Решение. Заменим в формуле (1.10) угол падения О! на угол скольжения Х, Тогда 2 2 !/2 У ~ (1) +(л -соз т) где лг р /р, л ~ с,/с . 6олагая для малых углов сов~2 ! и з!пу и у, получим Г . ах~а~-и ~"-1 ыл лгу(л -1) ' +1 ах+1 тле а ю л!(л2-1) !~2. Разложим функцию У (2) в ряд по Х: У (х) = — (1- 2аХ+ 2а Х + ...).

2 2 Р Прн а!( к 1 удобно использовать экспоненциальное представление коэффициента отражения У (Х) и - ехр (- 2аХ). е В слабо поглогцзющей среде (угол потерь д мал) и = — —,—., и — (! + !В), С2 СО2! ! !о! СО2 Отсюда находим а = т(л (1~Ю)2-1) 2, где л с/с С учетом малости 8 получаем (4) (л, — 1) ( 2-1) Коэффициент отражения представляется выражением и у = -ехр[- 2 — 2!— ,,2[1 — !д (8) 1 2 1.3.23. Вычислить коэффициент отражения звука, падающего под малыми углами скольжения из воды на морской грунт, кото- (2) (3) рый рассматривается как жидкая среда с потерями.

Плотность воды р = 1О кг/м, скорость звука в ней с = 1450 м/с. 1 з з Плотность жидкого грунта рг = 2,2 10 кг/м, комплексная скорость звука в грунте с = с (1-И), где с г — — 1500 м/с, угол потерь д считается не зависяшим от частоты (д = 0,01) Решение. Учитывая, что гл = 2,2, и = 0,97, по формуле 1 (22.5) находим = — ехр~-2глд +( 1Х - — е '-е' л1 ° гл 1 -г,от 9,ггу Р (1-лг)з~г (1-лг)1'4 1 -л1 При у и 0 (У ( и 1 1.3.24. Решить задачу 1.3.23 при нормальном падении волны. Решение Полагая 8 = О, находим по формуле (1.10) ! и~-и и т п' Подставляя в эту формулу значения величин, приведенные в задаче 1. 3 23, получаем У 2,22-0,97(1 О 01() (У ( еаг, )У ( = 0,22, 6 = 11,7.

1.3.25. Комплексный коэффициент отражения звука от "жидкого" грунта при нормальном падении луча У = 0,45 ехр(0,01) Вычислить параметры грунта — скорость звука и коэффициент потерь-и найти коэффициент затухания в грунте звука частотой 30 кГц. Скорость звука в воде равна 1460 м/с, плотность воды 1,0 г/см . Плотность грунта 2,2 г/см .

Решение Коэффициент отражения звука от грунта равен У = )У( р(й) - ~,"„, (1) где и = р /р = 2,2, и = ск/с, с = с (1-(6) — комплексная г 1 гг г Ог скорость звука в грунте, д — угол потерь в грунте, с 1 = 1460 м/с, (3 = (2п1/с ) д — коэффициент затухания звука в грунте Подставляя в (1) выражение для ) л ( и значения 1г = = 0,01, л| = 2,2, )У( = 0,45, находим последовательно и и с коэффициент затухания Д прн частоте 30 кГц: с = 1742 м/с, В = 12м 1.4.

Отражение от слоя и прохождение через слой 1.4,1. Найти коэффициент отражения звука от плоского жидкого слоя с нормальным импедансом Е и толгциной г(, разделяюшего два полупространства с нормальными импедансами Е и Я (см, рисунок). за Решение. Нормальный нмпеданс каждой среды Е. = р.с/созй., ! )! !' ! = 1, 2, 3, Акустическое дав- аз( вз ление внутри слоя есть сумма 1 У з полей двух плоских волн, имеющих отрицательную и положи! 2 тельную проекции волнового е вектора ни ось г (т.е. бегущих х "вниз" и "вверх" на рисунке): ,а„ рэ = (Аехр(-(а г)+Вехр((а г)~ х х ехр((Ь к). 2 К задаче 1А.! В этой формуле опущен временной множитель ехр(- (ы!) и а 2 = й соэ62, Ь2 = Ь з)п02, Ь = ы/с2.

НоРмальная составляющая скоростн в том же слое о = Л '(А ехр(-!а г) — В ехр((а г)~ ехр((Ь х). Этн выражения позволяют рассчитать импеданс на нижней границе (г = 0) слоя откуда определяется отношение амплитуд двух волн в слое: В/А = (Е;Е )/(2,+2 ). Найдем входной (г = 40 импеданс слоя: р2 ехр(-(азйН(В/А)ехр((а24() ьх Р~~ е 2 ехр 'а2 ехр ~а2 Е соэ(а И)-Ы з1п(а 4() 2 соз а2 -~ ~з!и а Перейдем к рассмотрению поля в верхней (третьей) среде, состоящего нз суммы падающей н отраженной от слоя волн; рз = (С ехр(- (а (г-4) + 0 ехр((а (г-И))! ехр((Ь х), о = Л (С ехр(-(а (г-4)+ 0 ехр((а (г-Н))) ехр(ЬУ х), где а = Ь соз9з, Ь.

= Ь.ебпн, Й = ы/с . Отсюда находим другое выражение для входного импеданса слоя: Я С.0~ (2) Из этой формулы, учитывая выражение (1), находим коэффициент отражения звука от слоя 0 ~ -ЕЗ ~2(х!-ЕЗ) соз ф-((Л2-Е1ЕЗ) з(п ф -- з г,(21.2з) Ф- (г",.21гз) 1. ф' где Ф = Ь И соз 02, Ь = ы/с .

1.4.2. Найти коэффнцнент отраженна звука от плоского !слоя толщиной лс, разделяющего две одинаковые по своим характмрнстикам среды. Решение, Полагая в формуле (1.3) Я 8!. находим с(22-22!)3!пф -1 У 22 Е с эф-1(Я +2 )ыпф « +«2(~1йф 2 2 -1 ! 2 где «р с со«8с/(р с со«9 ). Модуль коэффициента отраження )У( (« -«)((«+«) + 4 с(2 (йэс(со«9 Ц .. (1) 1,4.3, Вычислить входной нмпеданс поглощающего слоя на твердой стенке для нормального падения волны. Решение.

Входной импеданс жидкого непоглошающего слоя, расположенного на полупространстве с импедансом Ес, при 'нормальном падения звука на слой выражается формулой (1.1): ехр ( — слэс() э ( В/А) ехр ( слэс() вк 2ехр -с 2 1 Эту формулу можно обобщить на случай слоя, поглошающего звук, для чего следует заменнть с2 на я + са: ех с(+ В А ех — с( вк 2 ехр 7 — ехр -т где у в а — (й, й ас/д Отсюда следует 22«Ц(тс().2ссй(та) вв 2 Ус«Б'(Щ~У спЩ)'' В том случае, когда слой расположен на твердой стенке, Я! ч в м н Л в Я с!)с(тс2) Еслн слой непоглошающий, то у — сй н Я = ~Л с()г(йс() — импеданс чисто мнимый.

1.4.4. Найти условия акустнческого согласования двух иепоглощающих сред с помощью промежуточного слоя толщины с(. Рассмотреть нормальное падение волны. Решение, Коэффициент отражении от плоского слоя с импедаисом 22, разделявшего среды Я н 23, при нормальном падении можно записать как (У2 +У )соэф+((У23-Уст)зспф + 23 с2 соэ 'с — 23 тз э!п где ф й с(, Ум = (Е -Е )/(Я.+Я„) — коэффициент отражения на границе с-й и с2-й сред. Квадрат модуля козффнцнента отраже.

ния от слоя равен 2 (У23+Ус2) — 4У23У12«!в ф и сзсп ф 2 2 2 2 2 2 2 ° 2 (1 У У ) -4У У эсц ф 6 — сзсп ф где 2Е2(х 23) "У23 ' У12 2( 1 3) ' - ' ' У23У12 (т-Я-)т2 — 'Х;Т Пусть Я ь 2 ь Я. Тогда а О, Ь > О, но а «Ь. Числитель 1 2 н знаменатель (1) осциллнруют прн изменении ух Для иахождення экстремальных значений обозначим г = (((Ь)/( (р), тогда )'(Ф) = )'(Ф) -2сз!пфсозф = О, )"(Ф) -2ссоз(2ф). Отсюда следует, что г имеет минимум прн (2) Н (иы.1/2) Л/2, т = О, 1, 2, Величина г максимальна прн И и!а/2. Первый минимум коэффнцнента отражения соответствует "четвертьволновой" пластинке, толщина которой Н = А/4. При этом а2 с 23 12 — (!') щ1п 52 с' вне 1 у у 23 12 Отражение от слоя полностью отсутствует при У = У, т.е.

если (Я -2 )/(Л +Л ) (Я;Я )/(Я! Я ). Отсюда получаем условие согласования сред: Я = 2 Л (четвертьволновый про- '2 ' 1 3 светляюшнй слой). 1.4.5. Г1рй какой толщине жидкого слоя, разделяющего две различные среды, свойства материала слоя не влияют на про. хождение звука нз одной среды в другуюу Решение. Положим в (4.1) Н = А/2 (полуволновый слоИ). Тогда 2 а 1 3 а )У) а 1 3 2 ' Ь2' т.е. свойства промежуточного слоя из этой формулы выпадают. 1.4.6. Рассчитать "просветляющий" слой, обеспечивающий нанлучшую передачу звука нз воды в воздух. Решение.

В соответствии с формулой (4.2) наилучшую звуко- прозрачность обеспечивает слой вещества с минимальной толщиной г( = а/4, если его удельное акустическое сопротивление удовлетворяет условию Л = (Х1Е ) . Здесь Е, = 1,5 10, !/2 5 Л = 42 †акустическ сопротивления воды н воздуха в едн- 2 инцах СГС (г/(см~ с)1. Отсюда находим нмпеданс просветляющего слоя 2 = 2,45 10 . Выберем в качестве звукопрозрачного слоя пористую резину.

Пусть нэ общего объема У1+ У часть У отиоснтся к чистой 41 1.4.10. Во сколько раз уменьшается мощность плоской звуковой волны с частотой 1 кГц при прохождении через стальной шит толщиной 2,5 см, который разделяет два резервуара с водой. Плотность стали 7,8 г/см, скорость звука в ней 5100 м/с. з Решение. В задаче 1,4.2 рассчитан модуль коэффициента отражения от плоского слоя (см. (2.1)). Поскольку поглощение звука в стали не учитывается, коэффициент прохождения по мощности ))р') = 1- )У) меньше 0,01. 1.4.11. Слой воды разделяет касторовое масло и ртуть.

При какой минимальной толщине слоя возникают наилучшие условия перехода звука частотой 1 кГц из масла в ртуть при нармальном падении? Найти коэффициент отражения. Плотности масла, воды, рту и: р1 = 0,96, Р = 1, рз = 13,6 г/см; скорости з звука. с 1490, с = 1468, с = 1453 м/с.

1 ' 2 ' 3 Решение Пользуясь результатами задачи 1.4.4, оценим = с/4) = 0,37 и Коэффициент отражения при этом равен )р) )[(Р с2) Р1Рзс1сз) ((Рзс ) + Р1Рзс1сз) ! = 0,86. 1.5. Движение и звук 1.5.1. Вывести формулы эффекта Доплера. Источник излучает непрерывный тон или длинный "радиоимпульс" с частотой заполнения ) .