Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (Рекомендованные учебники), страница 5

При наличии одной помехи из общего соотношения '(4) приходим, таким образом, к выражению рп(у), совпадающему с приведенным выше аыражением р (и) при п = у. При наличии сигнала у = п+ к, так что и = у — к. Имеет место сдвинутое по отношению к предыдущему на величину л распределение Реп (у) = Рп(у — к). Кривые Рп(у) и Реп (у) показаны на рис. 3.1. 19 Зная определитель 1<р) и матрицу «р ', обратную корреляционной (обратную корреляционную матрицу), можно найти плотность веродтностийеауссовского (нормального) закона распределения помехового вектор'-столбца п, т. е..

совместного закона распределения всех его элементов и! Пример 2. Из общего соотношения (4) получим (дедуктивно) плотности вероятности рп (у) и реп (у) для случая, когда выборка со. стоит из двух дискретов. Корреляционная матрица ~р в дан- ном случае имеет внд: Рис. 3.1 Ее определитель (гр! = о'о, '(1 — рз). Обращая матрицу по описанному выше правилу, получим 1 !! о', — а,о,р или 1 — р' !! — р/ог а, 1!азз двумерные распределения рп (у) = Рп (уо уз) и Реп (у) = Реп (ум уз) приобретают вид ! Уг Ут Уз Уз Рп(Уг Уз) = 2пагап )г1 — рз ( 2(1 — рз) ( о,' о,о, о, '~ Реп(Уг Уз)=рв(рг — хг Уз — хз).

Иначе (у) = рп ! у — "). Приведенные формулы известны из элементарных курсов теории вероятностей. Полученные распределения показаны с помощью линий уровня на рвс. 3.2,а, б, в для случаев р = 0 и р = ~ 0,5 при о,' = о,' = оз, Нанесенные дополнительно линии ь = ьв поясняются в равд. 3.4. спей )=шпз( ~%% Р„(УР+ с р„(у, Рис. 3.2 20 32.

Алгоритмы оптимального обнаружения диснретизированного по времени сигнала с известными параметрами В соответствии с результатами равд. 2.4, 2.5 оптимальные алгоритмы двухальтернативного (трехальтернативного) обнаружения сведем к сравнению с порогом (порогами) логарифма отношения правдоподобия 1п / = 1п р„(у) — ! и р (у), (3.8) являющегося некоторой монотонно нарастающей функцией самого отношения правдоподобия 1.

Как и в примерах 1, 2 равд. 3.1, можно считать р„(у) — р, (у х). (3.9) Подставляя (4) и (9) в (8), получаем 1п / (у х)т «р — ! (у х)/2+ут «р — ! у/2— = (у' «р — ' х -1- х' «р — ' у) /2 — х' «р — ' х/2. Величина ь в (10) определяется одним из двух выражений: ь == х' «р ' у (3.1 1) или ь= у'«р ' х. (3.12) В свою очередь, значения «/« = хт «р — 1 х, ь„=- с/«/. (3.13) (3.14) Поскольку величины 1п 1, ь = 1п 1+ «/«/2„ь„= 1п 1/«/+ «//2 связаны монотонно нарастающими зависимостями с отношением правдоподобия 1, то каждая из этих величин может быть использована для сравнения с соответствующим порогом (порогами) при двухальтернативном (трехальтернативиом) обнаружении.

Для двухальтернативного обнаружения, в частности, множества точек ь = сопз( (лииии рис.3,2) разбивают пространство (плоскость) у на области принятия решений А=О и А=1. Отсюда приходим к ряду вариантов структурных схем оптимальных обнаружителей, представленных для двухальтернативного случая на 21 Поскольку произвольный скаляр в результате транспонирования не изменяется, то у' «р 'х = (у'«р 'х)'. Учитывая правило транспонирования произведения матриц (аЬс)' = с'Ь'а', а также симметрию матрицы «р « = («р ')', найдем у'«р 'х = х'«р 'у.

Выражение 1п / представим окончательно в виде двух взаимно эквивалентных выражений 1п 1 = ь — «/«/2 = «/ (ь„— «//2). (3.10) рвс: 3.3 — 3.5. Подача на элементы этих схем скалярных величин показывается с помощью одинарных, векторно-матричных величин— с помощью двойных стрелок. 'По структурной схеме рис. 3.3 проводятся два вида обработки и- ,элементного вектор-столбца принимаемых колебаний у. Первоначаль-ная обработка сводится к его линейному преобразованию ч='р у (3.!5) зависящему только от структуры и'-элементной корреляционной матрицы помехи. Последующая обработка сводится к образованию скалярной весовой суммы элементов преобразованного вектор-столбца Ь=х' т1=~; х!т1! 1=1 с весовыми коэффициентами х;, соответствующими составляющим полезного сигнала и не зависящими от корреляционной матрицы помехи. Небезынтересно, что линейное преобразование (15) декоррелирует 'преобразованный помеховый вектор-столбец по отношению к принимаемому, т.

е. условное математическое ожидание матричного произведения т)у' при наличии одной помехи сводится к единичной матрице м.()у ) — р 'м.(уу ) р р=1. Составляющие вектор-столбца 4) нельзя, однако, считать взаимно декоррелнрованными, поскольку корреляционная матрица м.(р)') = р-! м.(уу') (р-')' = р-'у р-! =ф-! не сводится в общем случае к единичной и обратна входной. Показанная на структурной схеме рис. 3.3 обработка сильно осложняется из-за необходимости 'учесть и'-элементную матрицу !р-!.

Такая обработка может быть оправдана лишь в случае одновременного обнаружения большого числа разновидностей сигналов. При этом 4иожет оказаться выгодным выполнить единожды сложную операцию !г у=с! Рис. 3.3 л ц!р Рнс. 3.4 Рнс. 3,3 матричной обработки !) = !р гу, с тем чтобы после нее проводить множество более простых операций весовой обработки ь = х'ч) = ~ х!т1! 8=! с коэффициентами, не зависящими от характера помеховых колебаний. В, структурной схеме рис. 3.4. предусмотрена только операция т-элементной весовой обработки т ь= у' г= ~ у! г! 1=! (3.16) с коэффициентами г,, являющимися составляющими весового вектора г = 1' г! 1. Весовой вектор г=!у — ' х (3.17) зависит как от корреляционной матрицы помехи !р, так и от ожидает мого сигнала х, но содержит всего т элементов.

Случайная величина весовой суммы ь" в отсутствие сигнала имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию о' = М (ьз) =М, Я). Подставляя в произведение Дь взаимно эквивалентные выражения (1!), (12), получаем аз= х'<р — ' М (уу') !р — ' х=-х' !р-! <р!р — ' х=х'!р — ' х=уз. ~„= '~~ у;г„! —— ь/д, которая в отсутствие сигнала имеет единичную дисперсию о,'=М,(Д) =М, Щ/д'=1.

Проведенный в процессе теоретического рассмотрения переход к нормированному весовому вектору г учитывает реально используемую в радиолокационных приемниках автоматическую регулировку усиления по выходному уровню помехи. 23 Это означает, что выходной уровень помехи в схемах рис. 3.3, 3.4 зависит как от входной корреляционной матрицы <р, так и от вектора сигнала х. В соответствии с этим уровнем должен подбираться и уровень порога 1„обеспечивающий заданную условную вероятность ложной тревоги Р. От указанного недостатка свободна структурная схема обработки рис.

3.5, отличающаяся изменением уровня порога и весовых коэффициентов в !/ раз. Иначе, вместо весового вектора г используется нормированный весовой вектор г„= г/д = !р гх/)/х'!р 'х. Последний не изменяется при увеличении интенсивности ожидаемого сигнала в произвольное число раз, Вместо весовой суммы получается при этом 'нормированная весовая сумма 2.2. Параметр и показатели качества двукальтернатианого обнаружения дискретизироаанной выборки сигнала Учитывая единичное значение дисперсии помехи, имеем, что квадратичный параметр обнаружения равен ди, а линейный д. Формально введенная выше величина д' приобретает, таким образом, смысл параметра обнаружения, отношения сигнал — помеха по мощности.

Наряду с приведенным д' = х'~р ' х справедливы следующие выражения для д' и д: (3.18) 4Я Х Г Г Х у Х Ги Г Х М (Г ) н и Произвольная весовая сумма ь„нли ь, будучи линейной комбинацией нормально распределенных величин уо подчиняется нормальному закону распределения. Поскольку М, (ь„) = О, М (Ц) = 1, Мси (Ги) У~ Мси ((ги У)Ч = 1, выРаженил плотностей веРоатности нормированной весовой суммы при отсутствии и наличии сигнала имеют вид р (г ) — (1/)/2п) е ", р, (~„)=(1ф'2п )е " . (3.19) Кривые (19) и уровень порога ь,„представлены на рис. 3.6. Заштрихованные на рисунке площади, соответствующие интегралам от указанных плотностей вероятности в.области ь„ ) ь,„, определяют условные вероятности ложной тревоги Р и правильного обнаружения В.

При интегрировании используют табулированные для и) 0 значения интеграла вероятности Ч'(и) =(2/)Г2л )~ е С /~йь; о (3.20) при этом Ч" (ос) = 1. Доопределяя для и ( 0 значения функции Ч" ( — и) = — Ч' (и), зависимость Ч" (и) можно пояснить графиком рис. 3.7. // ~Äà Рис. 3.6 24 Параметром обнаружения (квадратичным, линейным) называют отношение сигнал — помеха на выходе линейного тракта обработки (по мощности, по напряжению). Отношение сигнал — помеха по мощности находится при этом как отношение величины квадрата матема, тического ожидания весовой суммы ь или ь„при наличии сигнала и помехи к величине дисперсии этой же самой весовой суммы (она не изменяется в зависимости от наличия или отсутствия сигнала). Параметры обнаружения оптимальных обнаружителей рис.

3.3 — 3.5 одинаковы при одинаковых условиях на входе. Расчет проведем для схемы рис. 3,5 при наличии сигнала М„(у) =- = х, так что М, (ьи) =М, (у' ) Г/д = х' <р †' х/д = д'/д = д. Рис. 3.8 Рис, 3.7 Имея в виду условие наличия сигнала, заменим интеграл Сон о ~он — р/2 (~ ~ — о'/т ( ьо+ ~ -4'/2 о о При отсутствии сигнала положим в приведенном соотношении /7 = О. Замечая, что Ч' ( — со)/2 = — 1/2, найдем условные вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги: оон 0=- ~ рсн(Ян)/(~н=0~5+0~5Ч" (// — ~он) Сон Р= $ р (ь )дь =05 — 05Ч/(ьон) (3.22) Кривые условных вероятностей правильного обнаружения прим.

дены на рис. 3.8 Каждая из кривых относится к фиксированному уровню порога ь,„, а значит, к фиксированному уровню условной вероятности ложной тревоги Р. Величина порогового уровня ь,„на схеме рис. 3.5 устанавливается в соответствии с (22) по заданному значению Р = Р,. Величина порогового уровня го = д~, (Р) на схеме рис. 3.4 зависит, как уже отмечалось, и от Р„и от и. 3.4. Накоппение, компенсация и межэяементное нормирование по уровню помехи как составные части оптимапьной весовой обработки [пример двухэпементной выборки] Изложенная теория позволяет учесть ряд опускаемых при более элементарном изложении специфических особенностей помехи: — возможное наличие корреляции элементов выборки помехи; — возможную нестационарность во времени или пространстве, в частности, различие дисперсий элементов выборки.