Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (Рекомендованные учебники), страница 3

Поясним это на примере двухальтернативного обнаружения. Используя (5), приводим выражение среднего риска (10) к виду «=-«о»Р(А,)П+«»оР(Ао)Р=»мР(А,)Я+1«Р). (2.12) Здесь 1, — некоторый весовой множитель, объединяющий четыре упо-минавшиеся величины, 1о = '»о Р (Ао)l'ог Р (А») (2.13) ,Поскольку омР (А,) ) О, придем к весовому критерию оптимальности обнаружения Ъ+1« Р=мин. (2.14) После замен Б = 1 — Р и б + 1,Р = 1 — (П вЂ” 1,Р) видоизменим запись весового критерия П вЂ” 1о Р =макс.

(2.15) Ограничивая условную вероятность ложной тревоги Р ( Ро сверху, придем к критерию Неймана — Пирсона. Согласно этому критерию оптимальный обнаружитель обеспечивает наибольшую условную вероятность правильного обнаруженияо = П,„о из всех обнаружителей, у которых условная вероятность ложной тревоги не больше заданной вероятности Р,. Минимизируя выражение среднего риска (11), можно оптимизировать последовательное трехальтернативное обнаружение. В данном случае справедлив весовой критерий Ъ+ 1« Р+ 1» й+ 1» Р = мин. (2.16) Здесь б = Р (А,~А,) и Р = Р (А„)А«) — условные вероятности принятия решения «не знаю» при наличии и отсутствии цели. При этом вплоть до последнего шага последовательной процедуры 12+5+5=1, Р+Р+Р=-1. В свою очередь, 1„1, — весовые коэффициенты 1»="н»l"ом 1«="ноР(Ао)l'о»Р(А»).

Стоимости незнания следует считать меньшими стоимостей ошибок «о < г»о' «,«(*о« вЂ” это определяет целесообразность перехода к последовательной процедуре. Тогда 1, < 1„ 1, < 1, что существенно для дальнейшего. 2А. Оптимизация решений при даухапьтернатианом обнаружении Оптимизация состоит в выборе наиболее целесообразного правила принятия решений «да», «нет» с позиций весового критерия (14) нли (15).

Плотности вероятности принимаемых реализаций р, (у) и р, (у) при условиях наличия сигнала и помехи (индекс сп) и одйой по- .11 Р= ~ А(у) р„(у) йу, г =- ~ А(у) р„(у)йу. Интегрирование ведется в этих выражениях по многомерному пространству у, йу — элемент интегрирования (при дискретизации по Котельникову йу =- йу,йу„..., с[у ). Функция А (у) принимает всего два значения: 0 или 1.

Приведенные выражения аналогичны поэтому выражению вероятности попадания одномерной величины у в некоторый интервал у, < у < у,: Р(у(<у<уз) =-~ р (у) ([у= — ) А(у) р(у) йу. Здесь множитель А (у), равный единице (при у,< у < уг) или нулю (при у < у, и у ) у,), определяет область интегрирования. Одномерная область в общем случае заменяется многомерной, в которой А (у)= = 1,0. Вычисляя взвешенную разность приведенных выражений, имеем Р— 1,Р =.= ') А (у) [ р,„(у) — 1,р (у) [ й у.

(т) Иначе Р— 1,г == ~ А (у) [1 (у) — 1,[ р„(у) д у. (г) (2.18) Здесь 1(у) = р (у)1р (у) (2.19) — отношение правдоподобия, т. е. отношение плотностей вероятности одной и той же реализации принимаемых колебаний 'при двух условиях: наличия сигн ла и помехи и наличия только помехи. Отношение (19) характеризует правдоподобность гипотез о присутствии и отсутствии сигнала, возрастая в первом и убывая во втором случае. Основополагающую роль отношения правдоподобия выявим из формального рассмотрения соотношения (18). Поскольку плотность вероятности р„(у) неотрицательна, наибольшее значение взвешенной разности Р— 1,с достигается при наибольших величинах произведений А (у) [1(у) — 1ь[ для каждого возможного у. Значения произведений для возможных значений А (у) =- 1 и А (у) = 0 равны соответственно 1(у) — 1, ) 0 и О.

Если 1(у). ) 1„то ббльшим является значение 1(у) — 1„достигаемое при решении А (у) = 1, предпочтительном в данном случае. Если 1(у) < 1„то ббльшим является значение О, достигаемое при решении А (у) = О. Если 1 (у) = 1„то выбор реше- !2 мехи (индекс п) полагаем известными. Задаемся вначале неоптималь- ной в общем случае решающей функцией А (у). Условные вероятности Р и Р могут быть представлены тогда выражениями ния А~(у) несущественен. Условие оптимизации двухальтернативного обнаружения принимает поэтому вид: 1 1, если 1(у) ) 1„ ~ О, если 1(у) (1». Для выработки оптимального решения после приема многомерной реализации у вычисляется, таким образом, отношение правдоподобия 1 (у). Отношение правдоподобия сравнивается с пороговым уровнем (порогом) 1,. Если оно ниже порога, принимается решение «нет», в противном случае — решение «да».

Правило (20) остается справедли- вым при.переходе к непрерывной реализации у (1) за счет сокращения интервала дискретизации М (рис. 2.2): ~ 1, если 1[у(1)]>1,, (2.21) [ О, если 1[у(1)](1». Величину 1[у (1)] =!пп [р, (у)1р (у)], являющуюся функционалом в» о принимаемой реализации, условимся называть также отношением правдоподобия.

Структурная схема оптимального двухальтернативного обнаружи- теля приобретает в результате вид, показанный на рис. 2.3, а. На вход обнаружителя поступает принимаемая реализация у или у(1), содержащая сигнал и помеху или одну помеху. По этой реализации в вычислительном устройстве (ВУ) вычисляется отношение правдопо- добия 1(у) или 1 [у (1)].

Оно сравнивается в пороговом устройстве ПУ с некоторым порогом 1,. В зависимости от превышения или непревыше- ния порога принимается решение о наличии или отсутствии сигнала. Такое решение обеспечивает: минимумы среднего риска «и суммарного весового критерия Ъ + 1,с; максимум разностного весового критерия ~-~ 1»с Структура обнаружителя не зависит от выбираемого значения 1».

Незнание определяющих его величин (13) не влияет поэтому на струк- туру обнаружителя. От выбора 1 здесь зависит условная вероятность ложной тревоги с: чем ниже 1„тем выше с". Значение же 1, может вы~ Рис. 2.3 1в бираться по допустимому уровню Р, условя=г ~ ной вероятности ложной тревоги согласцо критерию Неймана — Пирсона. Структурная схема обработки рис. 2.3, а обеспечивает при этом максимально возможное значение0 (минимальновозможиоей) цз всех возможных схем обработки с выбранным У " УР У РРР 1в ложной тревоги Р. Рис. 2.4 На рис. 2.4 показан график монотонно нарастающей функции т, (!) отношения правдоподобия 1. Вместо сравнения отношения правдоподобия = 1(у) с порогом 1, сравнивают функцию 1((1) со своим порогом 2« = т, (1,).

Оптимизация обнаружения от этого не нарушается, что использовано при составлении структурной схемы обнаружнтеля рис. 2.3, б. Величина порога т,„определяющая условную вероятность ложной тревоги Р, может выбираться по допустимому .значеийю цоследней Р,.

В качестве монотонно нарастающей функции т (1) часто выбирается функция т (1) = 1и 1в силу экспоненциального характера нормального распределения, используемого обычно в моделях помех.' Структурные схемы обнаружителей рис. 2.3, а, б составлены для обу наружения цели в одном разрешаемом объеме. Они могут быть распро-' странены на случай, когда просматривается большое число разрешае-' мых объемов.

В этом случае Р, ж Р«„lп, где Р,„— допустимая, услов. ная вероятность ложной тревоги для и )) 1 разрешаемых объемов. 2.5. Оптимизация решений при трехальтернетивном обнаружении Оптимизация состоит в выборе наиболее целесообразного правила принятия решений «да», «нет», «не знаю» согласно весовому критерию (!6), вытекающему из выражения среднего риска (11). В (16) входят величины: В = ~ [ 1 — А„ (у)1 [ 1 — А (у)1 р, (у)(( у, (ю Р= ) [1 — А (у)1 А(у) р (у)((у, (») Ъ = ~ А, (у) р.

(у)(1 у, Р = ~ А (у) р, (у) й у. (РУ (УУ Каждая из этих величин определяется интегралом от условнрй плотности вероятности р,„(у) или р (у) по определенной области многомерного пространства у. Области интегрирования определяются дискретными параметрами А„(у), А (у), принимающими значения 1, О. Областью интегрирования для величин П и Р является область А (у) = 1 принятия решения «не знаю». Области интегрирования для величин Р и 1» ~(4 определяются как пересечения областей принятия решений: 1) «знаю» 1 — А „',(у) = 1, т. е. А„(у) = 0 (и для Р, и для б); 2) «да» А (у) = 1 при вычи~лении Р и «нет» 1 — А (у) = 1, т. е. А (у) = 0 при вычислении О. Подставдяя величины Б, Р, 6 в выражение (16), потребуем минимума этого выр,ажения. ~,х [1(у), А(у), А„(у)~ р (у) «(у =мин.