6 (Техническая газодинамика Дейч М.Е), страница 4

Имея в виду трудности, связанные с исследованием пространственного течения сжимаемой жидкости, можно в первом приближении рассмотреть упрощенную осесимметричную схему потока в ступени турбомашины. Так, если принять, что течение в 'ступени является установившемся и осесимметричным (д/дд ='0), а радиальные составляющие скорости (с,=п! ), а также их произ!где, дс, даг, дан,а! водные ~ †'-; †'; †'; †'~ весьма малы, то уравне(дл ' дг' дг' дг ния (1-17а) и (9-1) упрощаются и ринимают вид Я=В=г=О)! Рис.

9-9 Схема проточной части ступени с длинными лопаткамн д са дга рдг г (9-43) дс ! Лр с — = — — —. ада р да ' Вопросы, изложенные в этом параграфе, разработаны совме. стао с Г. С. Самойловичем. 591 для сечения 1 — 1 (9-44) «~р с 505 а (9-43б) «ма 1 «» гв а«с р «г' Ф Р1 » «сп ~ «,с, Р, 1ЫР, Рп «» Рп Ри (9-4?) 1 Н~ 'ссо55 "~ . р а'»» (9-43а) 692 Зз М. В. Д«яа ~а «р «м —" +55(пг — 2в„)= — —; в,— "=О; а Р «» ' а «с Первое уравнение (9-43) выражает условие радиального равновесия частицы газа, при котором центробежные силы на любой из соосных цилиндрических поверхностей уравновешиваются силами статического давления газа.

Так, согласно обозначениям на рис. 9-9 для единицы длины зазора (сечение 1 — 1) можно записагьл 2я»«р~ =2п»«»р1с'„~/» и получить из него первое уравнение (9-43). Второе уравнение (9-43) выражает условие неизменяемости с„ по оси ступени. Из третьего уравнения нетрудно получить Ыс,/с/я=О мри «р/Нг=О, т. е. если давление по оси не меняется, то осевые составляющие скорости также сохраняются неизменными. Принятым допущениям в наибольшей степени отвечает поток в контрольных сечениях 1 — 1 и 2 — 2; движение в межлопаточных каналах не подчиняется таким упрощенным закономерностям. Введем дополнительно ряд упрощений.

Пренебрегаем периодической нестационарностью потока, вызванной вращением рабочего колеса, или, точнее, считаем, что рассмотрение осредненных по времени скоростей также не вносит существенной ошибки, Предполагаем также, что после перестройки поток в контрольных сечениях движется по цилиндрическим поверхностям (т. е. радиусы кривизны меридионального сечения поверхности тока Я на рис. 9-9 достаточно велики). Считаем, что внешний и внутренний теплообмен отсутствуег, а решетки ступени обтекаются безотрывно.

Рассмотрим поток за направляющей решеткой. Воспользуемся упрощенным уравнением радиального равновесия (9-43), записав его в следующей форме: для сечения 0 — 0 где р„р„ро р„с„ям с„а, — давления, плотности, скорости и углы потока перед и за направляющей решеткой. Предполагаем, что функция а1=п1(») известна. Вид этой функции определяется принятым законом закрутки направляющих лопаток. Очевидно, что поток газа должен удовлетворять уравнениям энергии и неразрывности, Для каждой элементарной кольцевой струйки, протекающей через направляющую решетку, уравнение энергии можно записать в такой форме: где с — энтальпия торможения в зазоре; см, с„ /и, с, — скорости и энтальпин газа в конце изоэнтропического и действительного процессов расширения в направляющей решетке; 5Р,— к.

п. д. направляющей решетки (приближенно определяемый как в,=у'). Продифференцируем уравнение (9-46) по радиусу г: «Рс «см ! (2»ас,«с,— с,«Ч, '( 2 9-46) «» «»+2~ 5« /' (9- 6 Производная — характеризует изменение эитальпии «»1» «» потока в зазоре за направляющей решеткой по радиусу и, как известно, может быть записана таким образом: Здесь р„ — плотность газа в конце изоэнтропического расширения в направляющей решетке; р, — плотность газа в конце действительного расширения (при наличии потеРь). Отношение плотностей можно выразить формулой (9-48) где Х!! = с!г1а „ — теоретическая безразмерная скорость за направляющей решеткой.

Следовательно, производная и!!! ! в!рв — =у — — ', с!г вр, в!г ' или с учетом (9-43б) !1 ! г! Сов яв +=х, (9-49) Подставляя (9-49) в уравнение энергии (9-46), получаем дифференциальное уравнение распределения абсолютных скоростей по радиусу в зазоре: !го, 1' сов'ав ! г!чв ! а!в') г г(г ! в ' г злв в!г 2авв — +!'у в1, — — — — — — — ) с =О, (9- >О) Т св =Кв ехр [ 2 ( 9 с ' — и!, с —,,') в!г ~, (9-51) гк где К, — постоянная, отвечающая исходному (среднему илн корневому) сечению. Уравнение (9-51) в рамках рассматриваемой струйной задачи является наиболее общим.

где й„=с', /2в!в — располагаемый теплоперепад в направляющей решетке в данном сечении по радиусу. Интегрируя уравнение (9-50), находим: )чз (9-48) следует, что при дозвуковых скоростях и умеренных потерях в направляющей решетке отношение плотностей рв/р„близко к единице. Расчеты позволяют установить ту область значений Рп и в1„в которой можно принять у,=1. Без большой погрешности такое упрощение допускается при Х„ ( 1.

При сверхзвуковых скоростях функция у, должна быть сохранена в уравнении (9-50). Однако в некоторых случаях можно использовать упрощенные зависимости у,(х!в, ти), а при слабом изменении в,! и в1, по радиусу у принимается для каждого участка постоянной. Имея в виду, что у, зависит от Х!! и в1„следует заключить, что при точном расчете ступени на сверхзвуковых скоростях метод последовательных приближений становится неизбежным, Следует подчеркнуть также, что влияние сжимаемости косвенно учитывается в уравнении (9-51) функциями а, и в1,.

В зависимости от числа М, меняются потери и угол выхода из направляющей решетки. Следовательно, вид функций ти(г) и а,(г) зависит от М„' согласно (9-51) при изменении этих функций меняется и характер распределения абсолютных скоростей с,(г) в зазоре. Необходимо также отметить, что уравнения (9-50) и (9-5!) справедливы для любого закона закрутки.

Перейдем теперь к расчету потока за рабочей решеткой. При сделанных выше допущениях условие радиального равновесия в сечении 2 — 2 выражается первым уравнением (9-44): ! иг!в, в~о — ими!+ и (гав сов р, и)в гз сов'ов 2 рв в!г г (9-52) где 1г, и р, — давление и плотность, а с, и а, — скорость и угол потока за рабочими лопатками в абсолютном движении; и — окружная скорость на текущем радиусе г; р, = рв (г) — угол выхода в относительном движении, являющийся заданной функцией радиуса; гс, — относительная скорость за рабочей решеткой. Предполагаем далее, что радиальное смещение струек при переходе из контрольного сечения 1 — 1 в контрольное озо 38" сечение 2 в 2 будет малым (и, и,).

Тогда уравнение энергии для относительного потока можно представить в известной форме: о5 оРа + — =' +— гч, (9-53) где в, — относительная скорость на входе в рабочую решетку; 1, — энтальпия газа перед рабочей решеткой; а), — к. и. д. рабочей решетки (а)а=(а'); 1, — энтальпия газа за рабочей решеткой в изоэнтропическом процессе.

Теоретическая и действительная скорости за решеткой связаны соотношением гса — У т)а ~аг са 1 'о '+2' После подстановки 1, в (9-53) находим: а з а аа с,— и, Е =1+ — + —. О за 2Ча 2 Продифференцировав уравнение энергии, получим (полагаем с(1 )а(г= О): о'аа аоа а(аоа о'а оэа о' г / а .а — + — * — '-- — '+ — ( ' = О. (9-54) аГг Ча Ыг 2Ча Ыг а(г ~, 2 Заменим в уравнении (9-54) Очевидно, что 1„=1„(г) и ша.=гс,(г) являются искомыми функциями, а х,=ч,(г) и га,= — ш,(г) могут рассматриваться как заданные функции радиуса г. Энтальпия потока за направляющей решеткой определяется по уравнению энергии: Используем уравнение радиального равновесна опм += —,' —, „~;=-Х. ( ""1' ', (9-55) где а~ х.= — „, Уравнения (9-54), (9-55) и (9-56) решаем совместно.

После некоторых упрощений получаем искомое дифференциальное уравнение: 1 т засоаага ) ~1~,~ а а йг ( г 2Чаааг 1 и (о,ч и) — 27 а) оа совр,ю +а) —" — =О, - (9-57) Уравнение (9-57) является нелинейным. Оно линеаризуется только в частном случае, когда г((с„ г)~Я=О. Интегрируя (9-57) в этом случае, т. е. с учетом Ы(саа г) = О, находим: а(г г / т а) соаа га ) ааа ,=а. *р~(( — — — ' — ах ъ ~)а~ ча 'а (9-58) где К, — постоянная, определяемая для исходного (среднего или корневого) сечения.

Условие г((с„,г)/с(г=О выполняется строго при закрутке ступени по методу постоянной циркуляции '. Однако, как показывает опыт, это условие приближенао осуществляется и в ряде других практически важных случаев. Постоянные Ка и Ка в уравнениях (9-51) и (9-58) определены, если известны скорости с~ и аа в каком- либо сечении по высоте лопаток. Эта задача решается применением уравнения неразрывности для сечений 1-1 и 2-2." озб 2 2 с, — и~, = 2ис, соз а, — и'. (9-55) 'Си й9ль г г 0=2идаы!Р „) О,зш а,с(г; г» г 0=2иаа,,р ) д,з1п~,с(г.