kursa4_kp4 (пример курсача)

Курсовая работа по информатике: 8 факультет, 1 курс,! семестр 2007108 уч. года Задание 1У. Программирование итерационных процессов. Вещественный тип. Процедуры и функции в качестве параметров. Составить программу на языках Си или Паскаль с процедурами решения трансцендентных алгебраических уравнений различными численными методами (итерацнй, Ньютона и половинного деления — дихотомии). Нелинейные уравнения оформить как параметры-функции, разрешив относительно неизвестной величины в случае необходимости.

Применить каждую процедуру к решению двух уравнений, заданных двумя строками таблицы, начиная с варианта с заданным номером. Если метод неприменим, дать математическое обоснование и графическую иллюстрацию, например, с использованием дпп1э1о1. Примеры использования процедур и функций Паскаля в качестве параметров см. в [8), и. 12.4 (с уточнением, что параметр-подпрограмма в соответствии со стандартом Паскаля специфицируется полным заголовком) и в [! 0], п.

9.2, Краткие сведения из численных методов Рассматривается уравнение вида Г(х) = О. Предполагается, что функция Г(х) достаточно гладкая, монотонная на этом отрезке и существует единственный корень уравнения х я [а,о]. На отрезке [а,Ь] ищется приближенное решенно х с точностью е, т.е. такое, что х — х < г.

При решении реальных задач, где поведение функции Г(х) неизвестно, сначала производят исследование функции (аналитическое, численное, нлн графическое (дппр1о~, Маг1зЬаЬ, Мас1тСЛР, Мар1е)) и т. н. отдсленис корней, т. с. разбивают область определения функции на отрезки монотонности, на каждом нз которых имеется ровно один корень и выполняются другие условия применимости численных методов (гладкость). Различные численные методы предъявляют разные требования к функции Г(х), обладают различной скоростью сходимости н поведением.

В данном задании предлагается из) ~нть и запрограммировать три простейших численных метода решения алгебраических уравнений и провести вычислительные эксперименты по определению корней уравнений на указанных в задании отрезках монотонности и, в качестве дополнительного упражнения, вне их.

1. Метод дихотомии (половинного деления), Очевидно, что если на отрезке [а,о] существует корень уравнения, то значения функции на концах отрезка нмекп разные знаки: 1г(а) Г(Ь) с О . Метод заключается в делении отрезка пополам и его сужении в два раза на каждом шаге итерационного процесса в зависимости от знака функции в середине отрезка. Итерационный процесс строится следующим образом: за начальное приближение принимаются <о~ ш~ границы исходного отрезка а ' = а, Ь~ ' = О . Далее вычисления проводятся по формулам: а е О = (а"~ + Ь" )!2 „Ь ~ ге = Ь'~, если 1г(а ~~).

1 ((а'"' -~ Ь")12) > О; или по формулам: ай о' = а"~, ЬМ'О = (а"'+Ьеэ)12, если 1г(ЬОО) 1г((а"~ -ь Ъно)12) > О . (и и) Процесс повторяется до тех пор, пока не будет выполнено условие окончания а ' — Ь~ ' < к. Приближенное значение корня к моменту окончания итерационного процесса пол) ~ается следующим образом х = (а с, ~ г моив~ноо 1 монечяоо) 1 2 2. Метод итераций, Идея метода заключается в замене исходного уравнения г (х) = О уравнением вида х = 1(х) .

Достаточное условие сходимости метода: ~ Г(х)~ с 1, х а [а, Ь]. Это условие необходимо проверить перед началом решения задачи, так как функция 1'(х) может быть выбрана неоднозначно, причем в случае неверного выбора указанной функции метод расходится. Начальное приближение корня: х'"' = (а+ Ь) 12 (середина исходного отрезка). Итерационный процесс: х' ' ~ = 1(х~ . ) . Условие окончания: х — х ~<к. пз но~ Приближенное значение корня: х = х~"""""" . 3. Метод Ньютона. Метод Ньютона является частным случаем метода итераций. Условие сходнмостн метода: (1 (х) 1 (х)! <(1 (х)) на отрезке [а,Ь].

Итерационный процесс: х О = х~ ~ — Г(х~~~)11' '(х~~~) . Более совершенное с программистской точки зрения решение задачи может быть получено с помощью изучаемого в к~рсе «Языки программирования» (!1 семестр) процсдзрного типа, входящего в состав расширенных версий Паскаля. В этом случае различные уравнения и методы как переменные процедурного типа подставляются в качестве фактических параметров соответствующих подпрограмм.

Решение задачи на языке Си„фактически базирующееся на указателях на функции, близко к этому. Варианты заданий (составлены к.ф.-м.н., доц. Сопрунснко И.П.): Прибдижсннос значение корня Отрезок, содержащий ко Ень Базовый метод Уравнение [3, 4] Ньютона 3.5265 е'+ 1пх — 10х = 0 х 2 [1, 2] 1.0804 дихотомии созх — е ' + х — 122 0 1 — х+ япх — !п(1+ х) = 0 [1, 1.5] ите аций 1. 1474 [1, 3] Ньютона 2. 0692 Зх — 14+ е' — е' = 0 ~)! — х — с8х = 0 х+ соз(хк" + 2) = 0 [О, 1] О. 5768 дихОтОмии итераций [0.5, 1] 0.9892 1, 3] Ньютона 1.8832 3!п х+61пх — 5= 0 [2, 3] 0,6 3" — 2,3х — 3 = 0 2.4200 дихотомии х' — 1п(1 + х) — 3 = О 2х япх — созх = 0 [2, 3] итераций Ньютона 2. 0267 0.6533 [0.4, 1] 10 е" +~!1+е ' — 2= 0 [-1, О] -0.2877 дихотомии 1пх — х-ь 1,8 = 0 ите аций 2.

8459 12 2,3 [0.2, 1] Ньютона 0.5472 1 х. 18х — — = 0 3 13 [1, 2] 1. 0769 х х гц — — с!8 — -ь х = О 2 2 дихотомии 14 0,4 -ь агст8 ~2х — х = 0 3 яп ~1х -ь 0.35х — 3.8 = 0 [1, 2] 1.2388 итераций итераций [2, 3] 2.2985 16 [О, 2] Ньютона 1.0001 0,25х' + х — 1,2502 = 0 х + ~!х ь (1х — 2,5 = 0 [0.4, 1] 0.7376 !8 дихОтОмии [О, 0.85] итераций 0.2624 1 х —, =0 3+ яп 3.бх !9 0,1х — х1пх = 0 [1, 2] Ньютона 1.1183 20 [О, 0.8] 0.3333 1, 1 < 1 Г8 х — — 18> х+ -18> х — — = 0 3 5 3 дихотомии 21 *-,2-2,2*' = 2 [О, 1] итераций О. 5629 22 [2, 4] 23 Ньютона 3.23 Зх — 41пх — 5 = 0 [1, 2] 2, 1 1 соз — — 2яп — -ь — = 0 х х х 1. 8756 дихотомии 24 1 — 0,4х — агсяп х = 0 итераций [О, 1] О.

7672 25 [О, 1] 26 Ньютона 0.8814 е" — е' — 2=0 яп(1пх) — соз(!пх)+21пх = 0 [1, 3] 1.3749 27 дихотомии итераций 13077 [1.2, 2] 1 х — 2+яп — = 0 х 28 Замечание: для вычислений и проверки сходимости методов в разных уравнениях каждого задания должно применяться как аналитическое, так и численное (конечноразностное) дифференцирование функций. Кроме того, может быть полезным предусмотреть в программе проверку полученного корня его подстановкой в уравнение Г(х) = О. Образующаяся при этом невязка может служить еще одним критерием качества приближенного решения.

.