Методичка к курсовой, страница 6

(ф)2+(Ы)2 =(««„«)2(л-' — в12) = К2; (ф)2 + (Ь«)2 = (Ао«)2(««22 — П12) = Я2. 3.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ а4- = А(Р 3 «2 2 ° 2 2 3' 2 К, Р~ -В' к= — ' Рз 62- 3 2 2 Ь« = агс1ц А — + агс1ц~ К вЂ” + «««к, р 'Ь , 'Ь 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИСПЕРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ В разд. 2.4 дисперсионное уравнение (2.23) решается графически. Конечным результатом решения является дисперсионная характеристика (см, рис, 2.4,6), представляющая собой'зависимость нормированной постоянной распространения Г««к„для Е- и Н-мод от относительной толщины пленки «/Х„.

Графический способ прост, нагляден. Однако обладает невысокой точностью и поэтому применяется редко. Универсальными способами решений дисперсионных уравнений (2.26), (2.27), (2.32а) — (2.32г) являются численные методы решений нелинейных уравнений такого типа [1О~. Ниже приводятся два метода: половинного деления» (дихотомии) и аппроксимации. Алгоритм «половинного деления» является универсальным. Он позволяет получать решение с заданной точностью независимо от сложности дисперсионного уравнения, однако обладает медленной сходимостью, При сложном виде дисперсионного уравнения для повышения скорости вычислений целесообразно применить более быстро сходящиеся методы, в частности простой и наглядный метод аппроксимации. Для численного решения рассмотренные Выше характеристические уравнения в (2,17), (2.19) для Š— и Н-мод асимметричного ВОлнОВОда предстаВим В Виде Н-мод Кз = А; =1, а для .2 1«« — ., «в = О, 1, 2 ., — индекс мелы.

В уравнении (3.1) следует брать главные значения арктангенсов. Дополнительные услоВия сВязи между коэффициентами Ь, «~, о представим в виде (см. (2.19)) Подставляя уравнения (3.2) в (3.1) и отделяя линейную и нелинейную части, получим 1 1 «(с)=-агстя К ---1 +-атсц;; К в в Уравнение (3,3) является нелинейным трансцендентным уравнением относительно параметра ~, введенный параметр А'харак- теризует степень асимметрии диэлектрического волновода. Исходными данными при решении дисперсионного уравнения (3 3) являются длина Волны )~В, толькина волновода «, Относитель- ные диэлектрические проницаемости подложки„волноведушего слОя и ПОкрытия е~~ е21 е~ соОтВетстВенно (можно задавать и пока- затели преломления в, =,~~,, «=1,2,3)., тип волны (Е или Н) и индекс «««моды.

Определив из (3.3) параметр ~=4, как искомое решение, находят величину ««=Е,К,/'«. а затем из (2.25) — постоянную рас- ц =~ п.,~ пространения Г и поперечные волновые числа р и и, что позволяет построить дисперсионную кривую (см. рис. 2.4,д) и определить структуру соответствую~пей волны по формулам (2.17), (2.20). Ц случае направляемых поверхностных волн коэффициенты Л. р, я — пОЛОжитсльныс дсйсгвительныс числа В СООчвстствии с (3.2), (3,4) значение безразмерного параметра е, находится в пре- 32.

МЕТОВ «ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯМИ В соответствии с (3.3) введем функцию /(е): 3,3. 1. Алгоритм реиевия Решением уравнения (3.3) являются такие значения с, при ко- торых функция „~© = О. Поскольку в общем случае неизвесзно, имеются ли такие решения на интервале 10,11, то более целесообразно искать не нуль функции,~(~), а некоторый малый интервал ~а, Я, в котором ~© меняет знак. Такой интервал всегда можно найти, а затем сузить его настолько, чтобы выполнялось условие ',13-~~~< л, где Ь вЂ” заданная точност~ реже«ия. На рис. 3.1 для иллюстрации метода представлена некоторая функция ~© в интервале 0<е<1.

При заданной точности л определение корня алгоритма состоит из слелуюших шагов: 1, Проверяют наличие кОрня уравнения (3.6) В задан«ОМ интервале, Если /(с, —,-О) -~(~, =1) >О, то корней уравнения (3.6) нет. т.е. при выбранных исходных данных, заданном типе волны и индексе а моды волна в диэлектрическом волноводе е распросграняется, Рис. 3.1. К решению трансцендентного уравнения методом половинного деления 2. Меняя параметр т (номер моды), удовлетворяют условию /(с, =0) „г(с, =1)<0. 3. Определяют «корень» на этапе первой итерации по формуле и вычисляют ~ф~)) 4 Пр ср ° условия: если,,г(;-, =0) Х~;«~)<0, интервал поиска кОрня в пределах Ц =0;~ =~(«1 новый корень ~~т~ на втором этапе итерации, используя (3.7), Если же ~ф") ~г(", = 1) <О. то значение корня Р~т' лежит в интервале 5.

Итерационная процедура последовательно повторяется и раз до Выполнения условия ф"' — ~'" "~< Л. При этом значение корня рассчитывается по формуле Данный алгоритм позволяет вычислить значение с, с гаранти- рованной точностью Ь= 2-". 3.2.2. Программиая реализация аягоритма ао методу иояооиииого деяеиия» (' дихотомии) ка алгоритмическом языке Фортраи-90' Программа «Ьега1* предназначена для расчета поперечных волНОВых чисел 6 В Волноведуяпем диэлектрическОм слОе для Н-ВОлн планарнОГО ОднороднОГО изотропнОГО диэлектрическоГО волнОВОла. Входными данными являются: айииМа — длина волны к„; ~— толщина волновсду~цего слоя; е! — относительная лиэлектрическая проницаемость покрытия, е2 — относигельная диэлектрическая проницаемость е, волноведущего диэлектрического слоя; и†относительнаЯ диэлектРическаЯ пРОницаемость ез подложки; т-- номер моды.

Программа определяет значение корня с заданной точностью ерш. Выхолной величиной является значение поперечного волнового числа Ь. Размерности метрических переменных следует брать одинаковыми. соанвоп /сЫосй/ а,аЕ,е ! входные данные; при указанных значениях !результат для контроля: Ь = 0,8956242 !длина Волны; размерности а1аптЬда и ~ одинаковые а1авЫа = 6.85 ~толшина ВолноведушеГО слОЯ 1=5. !Отн. Лиэл. проницаемость покрытия е1 = 2.11 .Отн диэл, прОницаемость Волноведущего слоя е2 = 2.14 !Отн. диэл.

прОницаемость подложки еЗ = 2.12 '.НОМЕР МОДЫ в=1 ! погрешность значения корня ерш 1е-6 ! вычисляется коэффициент А а = 2 + ацг1(е2-е3) 1/а1атЫа !Вычисляется коэффициент К й = (е2-е1) / (е2-еЗ) !обрашение к функции решения уравнения Г(х)=О аида 4й(1е-10,1.,ерш) !определение Ь Ь = абая " 2'3,14159/а1ааЬйа ' щ~(е2-е3) ! Вывод результата рг1п1 ", Ь Алгоритм имеет вид %1рограмма расчета волнового числа Ь в волноводном !диэлектрическом слое для Н-волн планарного одноролного ! изотроп ного диэлектрического волновода ргофга$й ЬМа1 !переменные„обшие для Ьета1 и функции 1' ! Функция решения уравнения Е(х)=О методом дихотомии !с точностью сра при условии, что корень лежит в ! интервале от а до Ь ймсг1ов йЬ(а,Ь,ерз) ! цикл, пока нс достигнута требуемая точность до иИе((Ь-а) .ц1.

ерш) !с = середина Отрезка [а,Ь1 ям интервала 0< с <1: (3.11) юшие свойства: (3.156) (3. 13) С учетом явного вида ф~) (рис. 3,2) аппроксимируюшая ее Функция вводится следующим образом: /' (с„Ь) =(1 — Ь вЂ” Ь),/Г-с+ Ь(1 — ")+ Ь, где Ь вЂ” параметр, характеризующий 4кривизну». При условии ~Ь1<(1- о) функции ХЯ, Ь) и ~г© имеюг слелу- а их производные по параметру с: ,~ (~) < О; ~'Д Ь) < О„' ~"(с)<О; 4'Р Ь)<0.

Выполнение условий (3.12), (3.13) означает, что обе Функции имеют олинаковыс граничные значения, монотонно убывают и являются выпуклыми в интервале О<с <1. Из условий (3.12), (3.13) следует„что функция ~(Г) и аппроксимируюшая функция ~г~((, Ь) (3.11) не пересекаются. Однако подбором параметра Ь можно в любой точке ~= ~, добиться вьцголне- ния условия ~Х,(~,,Ь) -,1г(~,)~ < Л, где Л вЂ” сколь угодно малая вели- чина.

Параметр выбирается исходя из условия предельного равен- ства ф~) = 12(~, Ь) . С учетом формулы (3,11) устанавливается связь между абсциссами точек пересечения и значениями параметра Ь; Предельные значения Ь© соответствуют граничным значени- Ь, = 1ппЬ(~) =-1+6+ — — + —; и> . 2 1 1 1- — К при Л =1; 2Г2 2 1-Ь- — К при К>1, з Задание: получить соотношения (3.15а) — (3.156). Из выражения (3.14) следует, что функция Ь(с) убывает моно- тонно в пределах 0<с<1(Ь'(с)<0), т.е, между Ь и с, существует взаимно-однозначное соответствие при ограничениях на парамет- ры планарного диэлектрического волновода (см.

(3.1), (3.4)), ука- занных ц табл, 3.1. На рис, 3.3 для примера представлены зависимость ф4) и графики функций, аппроксимирующих ее с ~недостатком» ~'(Г, Ь',") и с «избытком» Д~,Ь®). ~(!! .! ~(ь! 2 ! 2 (3,19) ется ~!!) > ~(2> > ~> ~!2> > ~(2! -(1 — Ь-6'," + + 6!.ь'! Заменяя функциьо фЕ» в (33) на аь!проксимируьо!цу!О ее функци!о „ьГ2(с, 6), трансцендентное уравнение (ЗЗ) сводим к квадратному Относительно переменной (1- ~)! ": (а+ 1))(1 - Р+(1 -Ь-6),6:~-(а - ь2- а!) = О. Физическим решением этого уравнения относительно с явля- ~(6) = 1 (1 !) 6)+ ~'(1-Ь-6)2+4(а+6)(а — (2-и) (3,17) 2(а+ 6) По, став,2яя 6!!> и 6!!ь в (3,17), находим два значения ~, и ~2 абсцисс тОчек перессчсниЯ функции (а~- а!) В леВОй части (3,3) с Рис, 3.3. Аппроксимируюьь!ис функ!!ии ""рок'имиру~ш:ми Функциями 4(~,6!ьь) и У(",6!ь!) пр..ой ч кти уравнения (3 3) (рис 3 3) Из рис 3 3 с ьелует ч!о решением уравнения (3З) Является значение ~~, лежащее в интервале ~ьь! ~ ~(ь! (3.18) Решение на первом о!аге итерации записывается в Виде Если точность А полученнОГО 12ешения, Определяемая вели- , Г-!ьь =<ьЛ чинои интервала ~~ь, с2 !, недостаточна, то нужно использовать мстол пОследОВательнь2х подстановок.

Для этОГО вычисленные зна„!ьь !!! !сниЯ с, и ~2 !ьолстаВля!От В (3.14» и находят новые значения ~(2! (2ь 6; и 6," . Затем эти значения подставняьот в (3.17) и о2!ределя2от два новых решения с!ьь! и ф', причем Аналогично (3.19) записывается новое решение с, на втором ша!'е итерации. Е,сли заданная точность 1~2 — ~! ~ < л не достигнута, ТО итера! !2! !2)! циоиный процесс продолжается дальше.

Общие формулы для у-й! итерации име!От следу!О!!!Ий вил: -ч и ел итсль 12 = Ь + (1-Ь)*я1г1(1-х) — П знаменатель .'ф-пия П П = а1ап( я1г~(1/х"*2-1) ) !итерационная пропсдура; ! цикл пока не достигнута заданная точность до ъЬ11е(аЬВ(аКи2-а$~я11) .В1. ерш) ! обрашсния к функции Вычисления параметра кривизны д1 = дейа(аИ11) д2 = деИа(аЫ2) .обращения к функции решения квадратного уравнения айя1 = аКя(д1) аКя12 = аЫ(д2) епддо !о11ределение Ь Ь = (аЫ11+а)ь12)Д " 2'р1/а1атЬда * я1г$(е2-еЗ) ! Вывод результата рг1п1 ", Ь епд !Функция вычисления корня уравнения по формуле (3.21а) 1ппс6оп айя(д» !переменные, получаемые из Ье~а2 сопппоп /сЬ1осМ/ а,аК,в,Ь !лискримииант квадратного уравнения д1а = (1-Ь-д)"*2 + 4*(а+д)'(а-Ь-в) И(д1В .1$.

6) Валор '"Недопустимое сочетание Вх. данных" ! корень уравнения аМ1 = 1 — ( (я1гФ(д1В)-1+Ь+д) / (2"(а+д)) ) "2 ге$ш и епд .1ФункпиЯ Вычилсния параметра криВизны по (~эормулс (3.216» йпк0оп дейа(х) !переменные, получаемые из Ье~а2 сопппоп /сЬ1осМ/ а,ав,1п,Ь 11 = ( П + а1ап(я1г1(ам/к**2-1)) ) / 3.1415у 11 = жег((1-х) -1+к ! параметр кривизны де1М = 12/!1 ге(пгп епд ' нрограмимы к разделам 3 2.2 и 3.3.2 составлены Д.В,Багно 4.