Методичка к курсовой (998230), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2.1, 2.2, выполняя все задания, будем исследовать Е-моды в диэлектрическом планарном нолноводе. Единственными ненулевыми составляющими поля в этом случае будут Н, Е „, Е„; граничные условия отличаются от (2.9). Решение икнется в виде (сравни с (2.10)) Аггеях прих<0: О Рейх+~» — йх и 0< „< .
РИ'лт Ве Р(" ) прих>~, Харакелерисимческое у()авиевме и соотношение между постоянными 6. а, р выводятся так жс, как и для Н-мод, однако следует иметь в виду, что диэлектрические проницаемости слоев различные. В результате получим систему уравнений, из которой определяются постоянные А, (7, р для Е-мод; ф+Ь2 =Ао~(л-'-й); Р2+Ь~ =Ае2(ее2 — и~); И=агав — — +агса — — +ик, гоп=0,1,2, 3 ...
л2 р л~ (2.19) Ь л, Ь л, Эти уравнения отличаются от уравнения (2,16) для Н-мод только наличием квадрата отношений показателей преломления в аргумепгах арктангенса; Е-моды обозначаются как Ео, Е(, Е, и т д. Составляющие поля для Е-мод записываются с учетом (2.6) следующим образом: при х<О.' япЬх+- -1- созЬх д»» Ь а, 234 б л/2 Зл/2 р» =-Ь»хс®(Ь») =Ь»хЫ Ь» — — 1 2 ~ р» + Ь~ = А~(п~ — »т») = К > Π— о ~ з для Н-мод Ь»= т+- я+агсгя —; 1 Р 2 Ь 1 для Е-мод Ь»= »и+- л+агс1ц 2 япЬ»+~ — ' совЬ» е Ф" ») прих>»; Ь»» йф . Е У' (, 1 э 3) ЭН, »ОФПСО дх и»»~,ео 2.4. КЛАССИФИКАЦИЯ МОД В ПЛАНАРНОМ ДИЗЛЕК'ГРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ В асимметричном планарном волноводе «рис.
2.1„а,б) для показателей преломления п„а~, »»з, как правило, выполняются условия»»~ » и~, »»~ =»»з, Поэтому соотношения представляют собой в системе координат (д, Ь)„(р„Ь) уравнения окружностей с сильно различавшимися радиусами Я и Я (рис.2.2,а). Отсюда д>> р и д>> Ь при любых Ь, Кроме того, д/Ь»1и (п /л,)~х(д/Ь)»1. Теперь рассмотрим зависимость О=агс1ау ()(=~а9): при т»1 угол О=я/2.
Поскольку д/Ь»1 и (»» /л,)~ х(д/Ь)»1, последние уравнения в (2.16), (2.19) можно привести к следующему виду: «р~)'+1~~1'=Ря~l 4'1п л 'Н н ' 0' р$ рг= ~1 с»~1»~~1 Рис. 2.2. К графическому решению системы уравнений Ч'ак как»»~ = а,, система уравнений для Н- и Е-мод асимметричного волновода с учетом (2.21), (2.22) примет вид (»»») =Фа»)~(а~ — »» ); (»»») +(Ь») =(йф~(и~- а';)=(Я»)~; В рассматриваемом приближении Н- и Е-молы в сильно асимметричном волноводе вырождены, т.е. поперечные волновые числа Ь, д, р для»н-й моды одинаковы в случае Н- и Е-мод, Поперечное волновое число д однозначно находится из первого выражения в (2.23).
Систему двух последних трансцендентных уравнений «2.23) относительно Ь и р можно решить (при желании получить большую точность) одним из численных методов (см. разд. 3) либо более наглядным и простым графическим методом (однако он обладает сравнительно невысокой точностью). Решения двух последних уравнений (2.23) представлены на рис. 2,2,б графически на плоскости р» — Ь». Совместное решение этих уравнений есть точки пересечения двух кривых, соответствувшие модам пленочно!о волновода. Поскольку величина Р должна быть положит~льной (см.
(2.10), (2.111)), следует ограничиться только первым квадрантом (рис. 2.2,в поясняет ато). Как следует из рис. (2.2,0), при Я е <..", Я г = 1(ц2 е")"'- расе1ростр;ееикмцеех- ся ВОлноводных мОд не су111ествуст. 1ОлькО кОГда частота колсоаний (или разность показателей преломления) станови Вся настоль- К ко большой, что В е> —, круг радиуса Д е впервые перссекае-г Вствыее = () кривой. Это решение системы из двух последних ураннений (2.23) для т = О. Оно описывает В рассматриваемом приближении Нв- и Еа-волны, которые явдяЕотся основными Волнами плоского несимметричного диэлектрического волнонода. Из Выра- жсния для я т Видно, чтО числО волноводньех мод зависит От ЕеаР рамстров, которые можно изменять, а именно ее2, ее„~ „, е'. Так, при Зя Н„е > — В волноводе, кроме Но- и Ео-мод, распросграняеотся еше две моды Н, и Е1 и т.д. Радиус окружности А' ~ (следовательно.
и значение ее2, ее,, А„, е ) ддя т-й моды должен лежать в пределах (2ЕЕЕ +1)-< — (ЕЕ, — ЕЕ ) ~ <(2И,,+3)-, к 27Г1 4С 'К о Соотношение (2.24) позволвет, знаЯ паРаметРы и1,тееп).в, е, найти число распростране1еощихся мод в волноводе или. наоборот, подобрать эти параметры, исходя из требований. Найденньее зееачения ~Рю и еет позВОляеот Определить с учетом (2.15) постояннуео распространения Г, фазовуео скорость е~,„-" оФТ и длину волны в линии Х, =2к/1, а также все компоненты поля из Выражений (2.17) или (2.20), т.е„по сушсству. решить задачу о нахождении мод в планарном асимметричном диэлектрическом ВОЛ И ОЕЕОДЕ.
На рис. 2.3 В качестве примера показано распределение Е (И )-компонееетье поля О,„(с )-волн В деезлектричееком вол- Поводе В слу1еае выполнения для каждой мОлы условия (2.24). НО- рядок ве-ВОЛЕеы реЕВсн, как Видно, числу нулей В поперечном рас- пределении поля. Рис. 2.3. Распределение компоеееееты поля Удобно для исследования дисперсионееьЕх характеристик Дв (зависимости продольного водно~~го числа Г от частоты тв) записать характеристические уравнения (2.16), (2.19) в виде, непосредственно связываеоеием Г с параметрами сред и с частотой. Из (2.15) следует, что 2к Озп,, Где ~;. = „--ее„= — ' (~ =-1,2,3); и,, = ~е,, '.
с -- скорость света. А„' с Подставляя (2.25) в (2.16) и (2,19), получаем для симметричного волновода в случае Н-мод г(,1г2 Г2)1~2 Ь'(Г2- 2) "- Р,7, (~,. 2 Г2)1/2 (Г2 ~2)1~ 2 =агейла — ',, +агстВ л, (А~2 — Г2)! ~2 1~Д !КР1.! МДД~! подпожки ГФ, т,бв~' " !,66 -,Ьа !,5 !,э ! г, 1,вР 1,52 Рис. 2.4. Дисперсионные кривые 1" « «г л2,' Г > А„п1.' Г > ~,) и,, ГДЕ ~Г = — = —; Л, «ЛЗ «Л2. 2в в!12, с О (Г2 1 2)!у2 (Г2 - ~г2)1/'2 ) Гр 2 Г2)1~2 атеей~ .! .1. агсЯ~ 1+ ФЯ (2. 6) 2 (~ 2 Г2)~„~2 (~2 Г2)1~'2 2 "3 и, соответственно, в случае Е-мод Соотношения (2.26), (2.27> представляют собой дисперсионные уравнения и при заданных г, л,, позволяют проследить зависимость Г от гало) для каждой Н- и Е-моды порядка ~и.
Пример численного решения этих уравнений дан на рис. 2.4,а,6, где г~).„— от- носительная толщина пленки; Г/А„— эффективный показагель преломления. Численные методы решения дисперсионных уравнений с их программной реализацией рассмотрены в разл, 3. Несовпадение кривых для Н- и Е-мод с одинаковым индексом и1 вызвано тем, что уравнения (2.21), исследованные ранее (см.
кривые на рис. 2.2), были получены при упрощающих предположениях. Однако в изотропных диэлекгрических волноводах это различие невелико и практически трудно получить одномодовый режим (единственная волна Но). Поскольку в случае направляемых поверхностных мод посгоянные Ь, д, р — положительные действительные величины, то из (2.25) следует, что При Г> ~11л2 в соо.гветствии с (2.17), (2 20) волна представляет собой экспоненциальпую функцию во всех трех об21астях (рис. 2.5,а), так что поле неограниченно возрастает вне диэлектрического волновола. Такое решение физически бессмысленно и практически нереализуемо Соответственно на графике, приведенном на рис.
2.4,а, Г/А;! =л, =1.613, (,Ы)~+(Ы)2 =Иоо')~(в' -п2), Рис. 2.5. Структура поля лля различных режимов При Ар, < Г < Йр, из (2.17), (2,20) следует, что Волна представляет собой гармоническую функцию в области и, и убывает по зкспоненниальному закону в Областях >1З (подложки) и в1 (покрытия) (см. рис. 2.1). Поскольку энергия, переносимая такими типами волн, сосредоточена вблизи волноводного слоя л~, эти волны называются иооерхиоетиыми (волноводными). Два таких решения показаны на рис. 2.5,б,в. При Авп| < Г<Авлз поле (2,17), (2.20) имеет экспонснцнально убывающий характер в области л~ и гармонический В областях л~. ЛЗ.Такие волны не УДовлетвоРЯют физическомУ Условию УбываниЯ ПРИ Х -~ +се Н СООТВЕТСТВУЮТ Так НВЗЫВВЕМЫМ ИЗЛУЧаТЕЛЬНЫМ МОДам подложки (рис.
2.5,Г), ТОгда на графике, приведеннОм на рис. 2,4,и, нижняя граница отношения Г/Ж„= вз — -1,516. Наконец„при О< Г<Д л, структура волны станОВится гармонической во всех трех областях (рис. 2.5,д)„что соответствует излучательным модам волновода. Физический смысл ограничений (2.28) состоит в том„что фазовая скорость мод о =ЮГ должна быть не больШе о~ плоских волн, распространяющихся в материале подложки с показателем НРеломлениЯ пз, и не меньше ~ф плоских ВОли в ВолнОВОлном слОе с показателем преломления В2. 2.5.
МОДЫ В СИММКТРИЧНОМ ПЛАБАРНОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ В симметричном волноводе (см, рис. 2.1,е) л~ = пз. Из первых двух уравнений В (2.16), (2.19) следует, что при в1 = пз имеем р = д. Подставив р = д и л~ = лз в последнее уравнение (2,16) и (2,19) и сделав для удобства замену г = 2о', получим: для Н-мод Ы=агсг~1 о 1+~п-"; для Е-мод Ы=агсф — — +Ры —, л, Ь 2 Т~~да характеристические уравнения для симметричного волНОВОда ТОЛШИНОЙ Г = 2й'буду~ ИМе~~ Вид: лля Н- и Е-мод ЫФЖ~ — четные И-моды; Р -Ыс~~Ь4- нечетные Н-моды; Ы вЂ” 1ФИО- четныс Е-моды; ~п, л -Ы вЂ” с~а~йф — нечетные Е-моды.
нечетные Н-моды четные Е-моды нечетные Е-моды 31 ~ак и в случае асимметричногО пла«ар«ОГО диэлсктрих!еского волновода, систему трансцендентных уравнений (2,30а), (2.30б) или (2.30а), (2.30в) можно решить графически (рис. 2,6.а)„причем в случае симметричного волновода решение допускают все значения т,=О, 1,2,3„., как четные, так и нечетные (рис. 2.6.6), Зля нахождения распределения поля в симметричном волноводе удобнее сдвинуть систему коорли«ат к средней плоскости пленочного волновода (см, рис. 2.1,в): х'=х — ф2)=х-И.
Тогда с учетом сказанного выше для области -д < х< !1! (сравни с (2.! 7), (2.20)) Ац яп Ьх/йпЫ- нечетные Н-моды; Ао сов ЬхеесовЬа — четные Н-моды; с А.яп Ьх/втпЫ- нечетные Е-моды; Н„= А сов ЬхеесовЫ-четные Е-моды, Выражение (2З1) поя~~яе~ смысл ч~~~~с~~ и «счет«ости мод в симметричном планарном волноводе относительно координ!т! ы х, приведенной на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
