Методичка к курсовой, страница 5

2.1,в. Рис. 2,6. К графическому решению системы уравнений в слу !!!с симметричного вал«овода Задание! записать все компоненты четных и нечетных Н- и Е- мол, используя (2.17). ('2.20). Дисперсионныс уравнения для четных и нечетных мод в симметричном пленочном волноводе можно вывести из (2,26)„(2.47), учИтывая ОсОбеннОстИ сИмметрИчнОгО ВОЛновода (П = л, 11 = Ьз): хгетные Н-моды З 1=З: (Гз !аз)!ез Ц2 Г2)1е2 !фЬ1 Гз)1е2!!1- 2 (Г-' -Ьз)! '" = ®1- Г') !Е'с1а(Ь' - Г2)1Е'а' (Г2 -112)1Е2 =(Ф2 — Г2)1Е-' ! Щ(!с2 Г2)!Е2Д.

(Г! Ьз)!Е2 Я2 1 2)!Е2 1~ х (у 2 Г2)!Ез~ 2 Р~ 2 (232г) где все обозначения аналогичны обозначениям в (2.26), (2.27). На примере симметричных пленочных волноводов отметим еще раз особенности рассматриваемых диэлектрических и металлических волноводов. Во-первых, новая волна, появляю!иаяся в диэлектрическом вол«оводе, на критической частоте (см. рис. 2.4,о, 2.6,о) имеет волновое число р = у = О и в соответствии с (!.25) Г2 = ес1- = Й~~л~ . Га! в В "1 ким образом, волна распространяется со скоростью, равной фазовой скорости плоской волны в безграничной среде с параметрами, совпадающими с параметрами среды, окружающей диэлектрический вол«овод. В то время как в металлическом волноводе при критической частоте Г = О.

раметры В„я,, Хо, с': где т, =О. 1,2.. при х>р; при 0«х«~. При этом в соответствии с (2.6) Во-вторых, при частоте ниже критической ( Г«Ава ) в лиэлек- трическОМ ВОлноволе молы ланногО типа вообще не существуют, а в металлическом волноводе они существуют в виде затухающей волны. По аналогии с (2.24) (используя рис. 2.26) можно записать условие, позволяющее найти число распространяющихся Н- и Е-мол в симметричном диэлектрическом пленочном волноводе, зная па- т « — а (л2-я-) ' «(т +!)-.

я 2я д ъ ! с 2ъ )"о 2.6. ВОЛНЫ В ПЛАНАРНОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ НА МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ПОДЛОЖКЕ Данная линия передачи показана на рис. 2.7. Волновол по-прежнему является бесконечно протяженным в направлении оси О)' и изменения поля в этом направлении нет, т. е. д/ду=О, Рис. 2.7. Планарный диэлектрический волновод на ыеталлической подложке Для определения структуры электромагнитною поля и его основных характеристик полагаем металлическую подложку идеально проводящей, используем уравнения электродинамики «2.2).

(2.3), представление бегущих волн вдоль оси ОУ(2.4) в виде Е- и Н-волн (2.5), (2.6) соответственно. И сключив составляю1пис Е и А иэ системы уравнении РШ: Ф~ (, ) для Н-волн, приходим к следующим скалярным уравнениям (2,6) для 0,,(х) в каждой из сред (рис, 2.7); д2у~ 2) ~~'+У,2ЦС2) О прн О«х«р. Х д2ЕЭ "'.т ~22Есз) О при х > ~ дх М,М' 1 гле 62 = й 2 — Г2 = /,2е, — Г2; р2 = Г2 — к "" = Г2 — А2е . В 2 ' 1 0~3' Общее решение уравнений (2.34) с учетом условия убывания поля при х — ~+ по аналогии с (2,!3) имеет вид Для определения постоянных Ае, 8, С, я, р воспользуемся граничными условиЯми, аналогичными (2.9), Тогда, учитывая, что перВая среда (подложка) яВляется идеальным проводником: Подставляя (2.37) в граничное условие Е«п~ =Е'2'' =О и ж~ ~ л;=:О Ф$~ ~ х=О учитывая (2.35), получаем — Ьв- — АС=О, т.е.

В= С. 1 1 Л26) Л2Е ) Асе 112(х ~) прих>~; и 222У СОМХ сов 6| вил при О«х«~; А е Р(х ~) при х>с Н Ввсойи пРи О«х<1, Весояь-Аг. =О; — — В Иь1пЫ+ — А р=.О. г, 1 — —, 12Я1п Ь| — 22 62 и' 2 3 Е А е '(" ~) при 1ВУ Вей +С Ь при О х« Тогда общее решение (235) волнового уравнения принимает где Ве — некий новый коэффициент.

Из двух оставшихся граничных условий в (2.36) получаем Система (2.39) для определения отличных от нуля коэффициентов В~, Ае совместна. если Раскрывая соотношение (2,40)„получаем хараюяерисжическое яюенение для Е-мол в планарном диэлектрическом волноволе на металлической подложке где и = О, 1, 2, 3... — индекс моды. Задание: объяснить (2.40) и получить (2.41) . Кроме того, в соответствии с (2.34) ,о2+Ь2=~ -~,2=~02Я- 2). (2 42) Выражая В~ через Ае из (2.39), учитывая (2,38) и (2.37), получаем следующее представление для компонент электромагнитного поля ° Гле ъ=-2,3. Из (2.43) следует, что в рассматриваемой структуре могут су1цествовать только четны~ Е-волны Ео, Е2„Е4 и т.л. (Индекс моды т = О, 2, 4...), поскольку в соответствии с (2.36) электрическое поле в диэлектрической пленке на металлической подложке должно удовлетворять граничным условиям на поверхности металла.

Задание: пояснить последнее угвержленис. Задание: используя (2.41), (2.42), записать условие, аналогичное (2.33) и позволяющее найти число распространяющихся Е-мод в планарном диэлектрическом волноводе на металлической подложке, зная параметры л2, лз, Хо, ~. По аналогии с тем, как было сделано в разд. 2.6.1, будем исследовать Н-молы в диэлектрическом планарном волноводе на металлической подложке. Единственными ненулевыми составляющими поля в этом случае в соответствии с (2.5) будут Е ~,Й',Н,. Снова решение ищется в виде (сравни с (2.35)): Характеристическое уравнение и соотношение между постоянными Ь, Р выводятся так же, как н лля Е-мол: Р2 + ~22,112 Д 2 ~ 2 ~2222 222 ) гле л2 = О„1, 2, 3...

— индекс молы, Из (2.51) следует, что при / = я левая часть равна мощности, переносимой вдоль пленочного волновода (с единичной шириной вдоль направления О)) модой О,е,' при 1 з~ и правая часть равна нулю. Физическая суть этого в том, что различные моды в процессе распространения не обмениваются энергией (не взаимодействуют). Соответственно для Е-мод — Н,„.Н „Ше=РБ,„. 20ж~ л (х) Соотношения (2.51)е (2.52) представляют собой так называемые соотношения ортогональности между двумя модами а диэлектрическом волноводе без потерь.

Задание: получить (2.51) или (2.52). 2.8. ЗАТУХАНИЕ В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ Анализ Н- и Е-мод в планарном диэлектрическом волноводе проводился в предположении, что диэлектрик является идеальным (без потерь). При этом в режиме направляемых поверхностных мод (волноводных мод), определяемом условием (2.28), коэффициент распространения à — действительная величина.

Наличие диэлектрических или магнитных потерь в материале диэлектрического волновода (подложки, покрытия) вызовет преобразование части электромагнитной энергии, переносимой волной, в тепловую энергию. Можно предположить, что для планарного диэлектрического волновола с потерями за счет конечной проводимости диэлектрических сред зависимость полей от координаты У имеет формально тот же вид, что и для случая без потерь схр(-~Гг) (2.4). Однако при этом Г является комплексной величиной: Г= ~3-!а, Поэтому любая составляющая поля в соответствии с (2.4) будет изменяться по закону ехр(-ЛГ~) = ехр( — о~)ехр(-$~) „где ехр(-а~) — величина, характеризующая убывание произвольной составляющей электромаг- нитной ~о~~ы вдол~ оси ОУ(о — коэффициент за~ухания; Д коэффициент фазы).

Так как средняя мощность Р (2.48)„(2.50) пропорциональна квадрату амплитуды поля, то Р = Р~ ехр(-2и~), где Ро — средняя за период мощность в сечении г. = 0 диэлектрического волновода. Разность между мощностями в сечении - и ~+ Л равна мошно- сти потерь на отрезке волновола длиной ЬУ: ЛР„= Р(~) — Р(~ + ЛО . Разделив обе части равенства на Л- и устремив Л~ к нулю, найдем значение мощности тепловых потерь„приходящееся на единицу длины: и откуда и= — "-, где а — коэффициент затухания, 1/м. 2Р' Мощность Р, переносимая вдоль планарного диэлектрического волновода с Н- и Е-модами, определяется соотношениями (2.47) — (2.49).

Средняя за период мощность тепловых потерь Р„находится из выражения 2 е„= — 1ь, е ~х е"е', где ин~егрирование ведется по всему объ~~у, заполненному диэлектриком с потерями, нри единичной длине в направлении ОУ, при этом в зависимости от области подставляе.гся соответствуюиее енененне Б„ЯО „(1= 1, 2.

3). Задание: пояснить формулу (2.54), используя уравнение баланса для средней за период мощности (см, например„13, 41). В заключение отметим следующие три обстоятельства. Во-первых. поскольку а определяется отношением Р„к мощности Р. переносимой вдоль планарного диэлектрического волновола, то интегрирование выражений (2.49), (250)е (2.54) по переменной у мож- (2 Я) но производить не в бесконечных пределах, а по отрезку единичной длины. Во-вторых, при вычислении Р„и Р предполагается.

что структура Н- и Е-мод в диэлектрическом волноводе приблизительно совпадает со структурой этих волн в среде без потерь. В- третьих, если исследуется диэлектрическая пластина на металлический подложке (см. рис. 2.7), то необходимо учитывать среднюю мОщнОсть теплОвь1х потерь в металле, которая рассчитывается аналОГично случаю металлических волноводов: где ~ — касательная составляющая магнитного поля на мстал- лической поверхности„'Р, = — ' — удельное поверхностное со- 2а„, противление метзлла„Ом (а,„— проводимость металла). Подставляя в формулы (2.47), (2,49), (254) выражения для соответствующих компонент Н- или Е-мод (2.17), (2.20) или (2.29), находим выражение для коэффициента затухания а (2.53) в диэлектрическом планарном волноводе.

Очевидно, что при конкретных расчетах необходимо сначала определить волновые числа Ь, р, д (у, Ь) с помошью численных метОдов (см. разд. 3). 2.9. Б-ОБРАЗНЫЙ МЕТАЛЛОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД Н-образнная металлодиэлектрическая линия передачи (рис. 2.8) представляет собой диэлектрическую пластину, ограниченную с двух сторон металлическими плоскостями. Здесь поле дОлжнО удовлетВОрять Граничным услОвиям на поверхнОстях металлических пластин: Рис, 2,8. Н-образный металлодизлектрический волновод а также граничным условиям для Н- или Е-волн на границах х = а и х = — а (см. разд.

2.2, 2.3). Из волн типа Е в такой структуре могут существовать только четные волны, а из волн типа Н вЂ” только Основной волной Н-образной линии передачи является волна магнитного типа Н®~, вектор Е которой имеет единственную составляюшую„причем все составляюшие векторов поля не зависят от координаты у. Эта волна полностью аналогична основной волне магнитного типа диэлектрической пластины, в частности, она имеет такую же фззовую скорость, кзк и волна типа Н~ диэлектрической пластины. Все остальные типы волн Н-образной линии передачи имеют одну или несколько вариаций вдоль оси ОК Характеристические уравнения для этих типов волн оказываются более сложными, Задание: провести по аналогии с разделами 2,1, 2.2 все рассуждения лля Н-волн в Н-образной линии передачи.