Методичка к курсовой, страница 3

3/ду=О. Ограничимся случаем монохроматического поля с временнОЙ зависимостью ехр(«гог), Где о — круговая частота. Для Определения структуры электромагнитного поля волн диэлектрического волновода необходимо решить Сис~е~у уравнений Максвелла: покрытие п1 Рис. 2.1. Планарньгй диэлектрический волновод ЭН дН, вава д.г Эх ЭН, — ' = Йве,.Е,; ду дЕ,, ЭŠ— '- — =- -Й~р,Н,.; ду д~ ЭЕ ЭЕ. х е, д~~„г Н Э1 Э.х ЭК, ЭК вЂ” — =-Ища,И,- дх Эу 15 14 где Е= Е е""' Й= Й е"" е р — абсолютная диэлектрическая и я ' а' а магнитная проницаемость с граничными условиями на поверхностях раздела х = О, х = г и физическим условием убывания ноля при Х-++~"- Каждое из уравнений (2.1) равносильно трем скалярным уравнениям'.

В соответствии с методом комплексных амплитуд Е = Е е'"', где Š— комплексная амплитуда. После сокрашения в (2.2), (2.3) Уй на ехр(пег) получим уравнения для комплексных амплитуд. Задание; из уравнений Максвелла получить (2.5), (2,6). Поскольку в направляющих линиях необходимо передавать энергию из одного сечения в другое в виде бегущих в направлении оси ОУволн, которые характеризуются множителем бегугней вол- ны ехрфо~ — Гс), то аналогично случаю полых металлических волноводов решение (2,2), (2.3) для комплексных амплитуд Е ищем в виде где Е (х)„Н (л) — комплексные амплитуды„зависящие только от х (Э/ЭУ= О); à — коэффициент распространения волны в рассмат1зиваемой структуре, 1/и.

После подстановки (2.4) в (2.2), (2,3) последние разделяются на две следующие независимые подсистемы: дН,... ЭЕ -Л Н вЂ” — '=йк Е; ГЕ =-вр Н; — ~=-иор Н; (2.5) Эх " '"" " ' ' дх ЭЕ,... ЭН, Из (2.5), (2.6) следует, что для рассматриваемого случая моды делятся на волны типа Н (Е;, = О, Н,; О), опредсляемые уравнением (2.5), для которых отличны от нуля только составляющие Е„„, Н, Н ., и на волны гила Е (Н„„, = О, Е, ~ О), определяемые уравнением (2.6), для которых отличны от нуля только составляю- Таким образом, для определения структуры возможных типов электромагнитных волн в диэлектрическом пленочном волноводе достаточно найти продольную (вдоль оси ОЛ) И, -компоненту для Н-волн или .Е', -компоненту для Е-волн, поскольку поперечные д2 К!11 — у-Ч2Е"' =О При х< 0 д .2 и$у 1 Где Д = Г" — х2 = Г2 -126; ! 01' д2 Р'13! — У-р2Е131, =0 Прн х > Г, дх2 щ' где р2 = Г2-Ф2 = Г2 -й2е .

— + 6 Е"21 = 0 Прн 0 < х < Г, о'Е'-,' л$у „ДХ Г1РИ Х<О; ~Ф +~~'~" при 0«~; Юе ФХ Г) Прях>Г где 62 = й2 - Г2 = 12е — Г2' '2 02 16 компоненты зате~ можно вычисли1ь, используя (2.5), (2.6). Из уравнений (25), (2.6) видно, что для определения струк гуры электромагнитных волн в диэлектрическом волноводе удобно исполь- зОВать Е у -компонент~ длЯ Н-ВОлн и Н„„,.

-компонснтУ даЯ Е-ВОЛ!1. Задание: пояснить последнее утверждение. ИЭВестно, что каждая из компонент электромагнитного поля в каждой из областей на рис. 2.1,6 удовлетворяет однородному волновому уравнению с соответству1ощими Граничными услОвиями на ПОверх1гостях р11зделов х= О; г и условию убывания при х-1+; полагалось, по 121 =Н2 = р.3 = 120. В (2.7) А = 02(е. р0)1~2 = 2Я/А — волновое число д2 д2 д2 свободного пространства ( Х0 — длина волны).„172 = —, + —, + —— дх- д ~'" д~ оператор Лапласа; ь„. = е„/с0 (У =1, 2, 3) — Относительная диэлектрическая проницаемость сред.

2.2,. ВОЛНЫ Н-ТИПА В АСИММЕТРИЧНОМ ПЛАНАРНОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ Исключив составляющие О„и Н, из системы уравнений (2.5) для Н-волн, приходим к последующим скалярным уравнениям для Е, ~х) в каждой из сред (рис. 2.1,6): Задание: для рассматриваемого случая раскрыть (2.7) для Е Ффу ~ 0„„. и сравнить с (2,8), Отличие записи (2.8а) от (2.86), (2.8В) обусловлено тем, что электромагнитные ВОлны, Определяемые Вне диэлсктрическОГО слОя О < х < г, лолжнь! иметь характер поверхностной волны (см. (1.2)).

т.е. поле как бы ~прилипаетэ к поверхности раздела х = О; г и амплитуда уменьшается при удалении ог нее по экспоненциальному закону. Величины 6, р, д в (2.8а) — (2.8в) — вещественные положительные числа. На границе раздела х = О; г (рис. 2.1,б) тангенциальные составля1Ошие элект13ическОГО и магнитноГО полей должны удои1етворять граничным условиям (на границе раздела двух сред касательные компоненты электрического и магнитного поля непрерывны): к<11 ~ = Е!211 Е1211 Е(3И ау 1х:0 Фу ! х=0' му 1х-г еу 1х=Т' И(11~ — Н(21 ~ И(21! 0(31! ~~~1х=0 т~ х '0' м !х=0 ~п1 1х х Запишем решение уравнений (2,8а) — (2.8в) с учетом условия убывания поля при х-++ (2,14) «И = атсга(р/«1)+агсЮ(Ч/«1)+ тк, ем соотношения: мулу 1фй+ 13)= 1~а+ гф$ 1 — 1РХ1ф А„= В+С, О = ВЕоезз + СЕ йс (2.11) дА„= й.в- ««С; -1~«« = ««1Р~Й| — 1«1('е-й| й -й О 1 1 О ««1Е™ -ЯЕ"'"' Р Йр,-з/м 1 р С О и ~ «1 Р постоянные„которые нужнО Определить, Задание: пояснить подробно (2.10), опираясь на общий вид решен ия (2.8а) — (2.3в).

Подставляя (2.10) в граничные условия (2.9) для Е „,, получа- дЕ, Кроме того, в соответствии с (2.5) =' = -«1ор, О . Найдем с и из. помощью (2.1О) составляющую И„. и удовлетворим граничным ус- ловиям (2.9). В результате получим дополнительную к (2,9) систе- му уравнений: Четыре линейных однородных уравнения связывают четыре неизвестные постояиные,4„, .8, С, О, После преобразования (2,11), (2.12) к стандартной форме однородных алгебраических уравнений для пОлучения Отличных От нуля решений необхОдимо приравнять к нулю определитель системы уравнений (2.11), (2.12); Заданием объяснить последнее утверждение. Раскрывая соотношение (2,13)„называемое характерисяическии уравнением Н-мод, имеем где и = О, 1, 2, 3...

— индекс мод. Задание: получить (2.14) ( при выводе (2,14) использовать фор- Поскольку тангенс — функция периодическая с периодом, РаВНЫМ Яз В ПРаВОй ЧаСтИ СООТНОШЕНИЯ (2.14) ПОЯВИЛОСЬ ЦЕЛОЕ число м. Таким образом, при данной толщине диэлектрического волновода «существует множество решений (типов волн-мод) характеристического уравнения (2.14). Эти моды различаются индек- СОМ 1В, РаЗЛИЧНЫМИ ЗНаЧЕНИЯМИ ПОПЕРЕЧНЫХ ВОЛНОВЫХ ЧИСЕЛ «е, ф, р и обозначаются как На, Н1, Н2 и т.д.

Учитывая дополнительные соотношения„следующие из (2.3а)— (2.8в): — «12+«ф, = Г~; д2+~2е = Г1; р~+~2Š— 1-2 исключая в них постоянную распространения Г, можно получить еще два уравнения, которые связывают Ь, д, р. Обозначив через л, =,/е„ козффиииент преломлении орели ( ч = 1.

2, 3), получим полную систему уравнений, определяющих значения пОперечных волновых чисел «1, ч, Р для Н-мод. д~+«г1 =фл~ — л ); р~+~г =А~(в~ -и~~); «1| = агс1ц(р/А)+ агс1М/«1)+ щк, л1 = О,1„2„3.„ Выразив из (2.11), (2.12) амплитуднь1е коэффициенты В, С, .1) через А„и подставив их в (2.10), найдем комплексные амплитуды составляю1цих Н-мод через произвольную амплитудную постоян- при х<0; при 0<х< 1 (2.17) ную А„(зависит от ис~о~~ик~ возбужденият который на данном этапе не рассматривается) и поперечные волновые числа л, а, р. ( ) А„((~1 )1 /(7 1 А„(д/Ь)~чпЫ+(Ь/д)сояЬ|1е Р( ) при х>1; Г П = — ~; 0 =- — Е,„., лпл От ' ттлл тп)" Задание: получить (2.17). Определив из системы (2,16) величины Ь, д„р, зависящие от толщины ДВ г и от коэффициентов преломления л, сред, можно полностью рассчитать электромагнитное поле любой Н-волны по формуле (2.17).

Постоянная распространения находится с помощью соотношений (2,15); длина волны в диэлектрическом волноводе Хв =27~ЮГ, а Фазовая скорость ()Ф = щт, Комплексная постоянная А„осталась неопределенной, поскольку исследуются ~свободные», т.е, не зависящие от исто шика возбуждения, волны.

Модуль и 4иза постоянной А„зависят от амплитуды и фазы источника возбуждения. Используя (2.17) и учитывая (2.4), можно найти структуру Н-мод в направлении распространения волн, например: Е„(х) = йе1е,1= Ке1Е„„е""1= Ке1е„, (х)е-'"'е'"')= = йе(е„, (х)е км 'о)=~е,,(х)соа(еп — Ге+ о), тле е„„(х) =~е (х1е ~ — комплексная анмплиттла. Отекла яилио, что в фиксированный момент времени вдоль оси ДВ распределе- ние Е,;компоненты носит периодический характер с периодом, равным длине волны в диэлектрическом волноводе )~„. 2.3. ВОЛНЫ Е-ТИПА В АСИ1ИМЕТРИЧНОМ ПЛАНАРНОМ ЛИЭЛЕКТРИЧЕСЕОМ ВОЛНОВОДЕ По аналогии с тем„как это сделано в разд.