метода Волощенко, страница 4

19 Матрица 8 и вектор Р в данном случае имеют вид 2(Ь1 + Ь2) Ь2 О РЦ 2(Ь2 + Ьз) Ь~ О Ь, 2(Ь,-~Ь) О О Ьл — ! Ь„ , 2(Ь„ , Ь„)) 3 — (Уг — 2Я+Уо) Ь2 — (6-26+А) )и 3 Ь„ — (1л-2У 1+l 2) ~; — 1;, Ь,. Ь,.= Ь вЂ” 3 (с, д — 2с,~„(1=1,2, ..., п — 1) "1 ~л ~л-~ 2 Ь вЂ” — Ь с л 1 3 л (2.14) где Ь,. = х. — х,.; 1. = Дх.) .

Выражение (2.13) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, которую можно решать любым из доступных методов. Нетрудно заметить, что матрица коэффициентов 8 является трехдиагональной. Наиболее эффективным методом для решения систем ЛАз с трехдиагональной матрнцей коэффициентов является метод прогонки [2]. После решения системы уравнений (2.13) можно определить остальные коэффициенты кубической сплайн — функции (2.12) из соотношений кции в узлах интерполяции; Формирование массивов аргумензначений Ь,.

(если расстояния между узлами различно); решесистемы линейных уравнений для определения коэффициенс,.; расчет коэффициентов Ь,, с(,. и а,. из соотношений (2.14). Общий алгоритм аппроксимации сплайн-функцией можно оризовать различными способами. Сначала можно для всего пивала интерполяции [хе, хь) определить все коэффициенты айн-функции, а затем использовать их при расчете интерполимых значений Функции. В этом случае потребуются массивы хранения значений всех коэффициентов.

Другой способ — определять коэффициенты сплайн-функции осредственно при расчете интерполируемого значения функ- 3 Пример разработки программы ппрокеимации Функции Задание. Разработать алгоритм и программу аппроксимации симости длины металлической полоски у от индуктивности 1, дом канонического полинома.

Исследовать влияние степени инома на погрешность аппроксимации. Индуктивность Е, металлической полоски прямоугольного сея шириной Ь и толщиной г определяется эмпирическим соот- ением Л = 2у 1п — ~ + 0,224 — + 0,5 2 я Р Ч (2.15) Здесь геометрические размеры задаются в сантиметрах, а индуктивность в нГн. 2.3.1. Анализ задания с~+ т — с; ЗЬ,. с„ — а. ЗЬ л кубической сплайнтаблицы значений 21 Таким образом алгоритм аппроксимации функцией должен включать в себя: расчет 20 Преобразование математических соотношений. В данном случае в качестве исходных данных надо задавать Ь и 1 как параметры, Л вЂ” как аргумент, а определить необходимо длину полоски у.

Относительно у выражение (2.15) можно записать по разному. В любом случае получим нелинейное уравнение, так как д входит под знак элементарной Функции. Запишем его в виде у = Š— 2у 1п — — 0,448 Р. 2п Р (2. 16) Р(у) = у — Е + 2у 1п + 0,448 Р = О. (2.17) 2д Р Расчетная Формула для метода Ньютона имеет вид Р(дй) уа+) =уй Р (Чь) (2.18) где Й вЂ” номер итерации; Р(у,) — производная. После подстановки Р(у~) н Р(уь) в соотношение (2.18) и выполнения необходимых преобразований окончательно получим 2уь — 0,448 р + Ь д" +) 2 Чь 3+ 21п— Р (2. 19) Залсчивис.

Для вычислений по формуле (2.19) на первой итерации надо еадавать начальное приближение (ум), которое можно определить раеличвыми способами. Способ 1 (плохой). Поручить выбор начального приближения пользователю, т.е. предусмотреть (д))) в списке входных данных. Способ 2. Построить аналитическое соотношение для (у ). В и" данном случае можно в уравнении (2.16) разложить логарифм в ряд и, учитывая только первый член ряда, получить квадратное уравнение. Наибольпеий корень этого уравнения можно использовать в качестве начального приближения при решении уравнения (2.16) методом Ньютона для первого узла интерполяции. 22 Расчет таблиц значений для узлов интерполяции будем производить путем численного решения нелинейного уравнения (2.16), Так как в данном случае уравнение одно и определение производной не вызывает трудностей воспользуемся методом Ньютона.

Для этого запишем исходное уравнение (2.16) в виде я остальных узлов интерполяции в качестве начального ижения можно использовать значение у, полученное для ущего узла. Итерационный процесс Ньютона будем провотех пор пока не выполнится условие 2у, ЕТ= у ) — Е+ 2дь 1 1п — — 0,448Р < Ерз, Р д рз — задаваемая погрешность решения нелинейного уравнения; ЕТ вЂ” текущая погрешность. Решение системы линейных уравнений ХЕ=Р будем проводить методом Гаусса. Для расчета значений аппроксимирующего полинома воспользуемся схемой Горнера. Погрешность интерполяции будем определять путем поиска максимального отклонения полинома от аналитической Функции на каждом отрезке между узлами интерполяции. Входными данными в задаче являются: В, Т вЂ” ширина и толщина металлической полоски соответственно; ВН, 1)).

— начальное значение индуктивности Е и расстояние между узлами интерполяции соответственно„)ь)Р— степень полинома; ХР— значение аргумента, дли которого надо определить аппроксимированное значение по полиному; ЕРЯ вЂ” заданная погрешность решения уравнения (2.16); ТР— массив табличной функции; Р — признак режима: РВ=1 — расчет для заданной функции, РВ = 2 — расчет для функции заданной с помощью таблицы. Выходными данными в задаче при РВ = 1 являются: ТЕК— массив значений функции, полученных путем решения уравнения (2.16); УР и УР значения рассчитанные по полиному и путем решения уравнения для заданного значения ХР; Š— массив значений коэффициентов полинома; таблица, содержащая столбцы: Х вЂ” значения аргумента для точек с максимальной погрешностью; УРР— значения функции (у), рассчитанные по полиному; УР— значения функции полученные путем решения уравнения (2.16); ТР— значения погрешности.

При РВ = 2 будем выводить: ТР— массив табличной функции; Š— массив значений коэффициентов полинома; ТУР— зна- Начало Ввод исходных данных 2.3.2. Разработка алзорилглгов Нет Йв Ввод таблицы Расчет таблицы Фсрмнроввнне матрицы Х н вектора Р Решение системы уравнений Главная программа в счет нн терл оп н руемых значений Нвт дв РВв Ввод исходных данньгх Расчет таблиц функции расчет ннтерп.

значений Оценка погрешности Вывод результатов ценив погоешнсстн Вывод вз льтвтов Вывод результатов Расчет таблицы узлах интерполяции Расчет таблицы для оценки погрешности Расчет коэффициентов пол ннома Конец Рнс. 2.3 Расчет начального приближения Решение Формирование нелинейного матрицы уравнения, коэффициентов Решение системы ЛАУ Рис. 2.2 3.1. Варианты заданий 24 чение функции (у) для заданного значения аргумента ХР, рассчи- танное по полиному. На основе проведенного анализа схему иерархии для данной задачи можно представить в виде приведенном на рис.2.2.

Из схемы иерархии видно„что для снижения сложности главной программы целесообразно оформить в виде процедур следующие функции: решение нелинейного уравнения; расчет таблиц функции в узлах интерполяции; формирование матрицы коэффициентов ЛАЪ'; решения системы ЛАУ. 'Укрупненная схема главного алгоритма приведена на рис. 2.3. На рис. 2.3 не показаны средства контроля данных. Очевидно, что при решении нелинейного уравнения надо контролировать количество итераций и формировать признак завершения. После этого остается выбрать имена процедур, определить списки формальных и Фактических параметров, а такзке разработать схемы алгоритмов процедур Глава 3. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Задание по данной теме для всех вариантов Формулируется в виде: "Разработать алгоритм и программу расчета переходных процессов в заданном устройстве".

Для каждого индивидуального варианта задание содержит: электрическую схему; математическую модель в виде системы дифференциальных уравнений; форму входного сигнала; численный метод решения дифференциальных уравнений и исследовательскую часть. Исследовательская часть формулируется в виде одного из следующих вариантов. 1. Исследовать влияние шага интегрирования Н на погрешность расчета переходных процессов. 2. Исследовать зависимость затрат времени от задаваемой погрешности. 3.

Получить зависимость выходного сигнала от изменяемого параметра. 4. Построить зависимость количества итераций от величины шага интегрирования. При разработке алгоритмов по данной теме необходимо иметь в виду следующее. Переходной процесс — это процесс перехода электрической цепи из одного состояния, характеризующегося определенными значениями токов н напряжений в компонентах цепи, в другое состояние под действием входного сигнала. Входной сигнал задается источником входного сигнала Е(с) и может иметь различную Форму (прямоугольный импульс, скачек напряжения и т.п.). При разработке алгоритма необходимо предусмотреть подпрограмму формирования входного сигнала. Задача расчета переходных процессов в электрической цепи сводится к задаче численного решения дифференциальных уравнений, описывающих поведение цепи.