1193507387 (Конспект лекций), страница 8

т.е. Р(А!Н!) = 0,90 и Р(А)Нг) = 0,95. По формуле (1.30) находим г Р(А) = 2 Р(Н,) Р(А~Н,) = 0,4 0,90+ 0,6 0,95 = 0,93. Э !=! 1.18. Формула Байеса (теорема гипотез) Следствием формулы (1.30) является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез Н;, принятых до опыта и называемых априорнььии («а рпоп», доопытные, лат.) по результатам уже проведенного опыта, т. е. найти условные вероятности Р(Н,~А), которые называют апостериорными («а розгепоп», послсопытные).

Р(Нь) Р(А~Нь) Р(А) (1. 31) где Р(А) = Р(А!) Р(А)Н!) +... + Р(Н„) Р(А~Н„) — формула полной вероятности. Формула (1.31) называется формулой Байеса!. ! 1702-1761, английский священник, математик Теорема 1.3. Пусть события Н!, Нг,..., Н„образуют полную группу событий. Тогда условная вероятность события Нь (й = 1, и) при условии, что событие А произошло, задается формулой 46 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей (.) Применив формулы условной вероятности (п. 1.14) и умножения вероятностей (п. 1.15), имеем Р(Нь А) Р(Нь) Р(А~На) Р(А) Р(А) где Р(А) — формула полной вероятности (п. 1.17) Пример 1.30. В примере 1.29 (п. 1.17) найти вероятность того, что эта П стандартная деталь изготовлена П цехом.

(„) Определим вероятность гипотезы Пз при условии, что событие А (взятая деталь стандартна) уже произошло, т. е. Р(Н~~А): Р(Нз) Р(А~На) 0,6 0,95 19 Р(А) 0.93 31 Упражнения 1. Прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя в течение 10 лет первой микросхемы равна 0,07, а второй 0,10. Известно, что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что вышла из строя первая микросхема? 2.

Из 40 экзаменационных билетов студент П выучил только 30. Каким выгоднее ему зайти на экзамен, первым или вторым? 3. Известно, что 907а изделий, выпускаемых данным предприятием, отвечает стандарту. Упрощенная схема проверки качества продукции признает пригодной стандартную деталь с вероятностью 0,96 и нестандартную с вероятностью 0,06. Определить вероятность того, что: а) взятое наудачу изделие пройдет контроль; б) изделие, прошедшее контроль качества, отвечает стандарту. Глава 1.

Случайные события ° 47 1.19. Независимые испытания. Схема Бернулли С понятием «независимых событий» связано понятие «независимых испытаний (опытов)». Несколько опытов называются незаеисимьичи, если их исходы представляют собой независимые события (независимые в совокупности). Другими словами, если проводится несколько испытаний, т. е. опыт выполняется при данном комплексе условий многократно (такое явление называется «последовательностью испытаний»), причем вероятность наступления некоторого события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независилтыми.

Примерами независимых испытаний могут служить: несколько (и раз) подбрасываний монеты; стрельба (и раз) по мишени без поправок на ранее допущенную ошибку при новом выглреле; несколько (и раз) выниманий из урны одинаковых на ощупь занумерованных шаров, если шары каждый раз (после просмотра) возвращаются назад в урну, и т. д.

При практическом применении теории вероятностей часто используется стандартная схема, называемая схемой Бернулли или схемой независимых испытаний. Последовательность и независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (его называют рсиеяом) с вероятностью Р(А) = р или противоположное ему событие А (его называют неудачей) с вероятностью Р(А) = ц = 1 — р, называется схемой Берн улл и. Например, при стрельбе по мишени: событие А — попадание (успех), событие А — промах (неудача); при обследовании и изделий на предмет годности: событие А — деталь годная (успех), событие А— деталь бракованная (неудача) и т.д.

В каждом таком опыте ПЭС состоит только из двух элементарных событий, т.е. и = (тоо,то1), где тоо неудача, ю1 — успех, при этом А = (то1), А = (тоо). Вероятности этих событий обозначают через р и д соответственно (р + д = 1). Множество элементарных исходов для и опытов состоит из 2" элементов. Например, при и = 3, т. е. ((А,А,А) (А,А,А) (А,А,А) (А,А,А) опыт повторяется 3 раза, Й вЂ” ~ ~; ~; о,' о (А,А,А) (А,А,А) (А,А,А) (А,А,А)) ~. Вероятность каждого элементарного события определяется однозначно. По теореме умножения ве- 48 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей роятность события, скажем аа = (А,А,А), равна о д р = риаз, события ют — р р р=р д =р' итд. Часто успеху сопоставляют число 1, неудаче — число О.

Элементарным событием для и опытов будет последовательность из п нулей и единиц. Тройка чисел (0,0, 0) означает, что во всех трех опытах событие А не наступило; тройка чисел (О, 1, 0) означает, что событие А наступило во 2-м опыте, а в 1-м и 3-м — пе наступило. 1.20. Формула Бернулли Просгейщая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в определении вероятности того, что в и, независимых испытаниях событие А наступит т раз (О < тп < п), Обозначается искомая вероятность так: Р„(т) или Р„, или Р(р„= т), где ра — число появления события А в серии из и опытов. Например, при бросании игральной кости 3 раза Рз(2) означает вероятность того, что в 3-х опытах событие А — выпадение цифры 4 — произойдет 2 раза.

Очевидно, Рз(2) =р д+р д+р д = = '(((А, А, А); (А, А, А); (А, А, А))] = Зр~ц = 3 ( — ) - — = — = 0,069. Теорема 1.4. Если производится п независимых испыганий, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а вероятность его непоявления равна д = 1 — р, то вероятность того, что событие А произойдет т раз определяется формулой Бернулли (1. 32) Р„(т) =С„"' р~ о" ~, т,=0,1,2,...,и. ( ) Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что событие А в п независимых опытах появится т раз в первых т опытах н не появится (п — т) раз в остальных опытах (это событие А А А -...

А А - А.... А) по теореме умножения вероятностей раваз раз (а-т) раз нар~да ™. Вероятность появления события А снова т раз, но в другом Глава и Случайные события ' 49 порядке (например, А А А... ° АА А ... А или АААА ... АА и т.д.) га раа будет той же самой, т. е.

у™д" "'. Число таких сложных событий — в и опытах т раз встречается событие А в различном порядке — равно числу сочетаний из и по т, т. е. С'с. Так как все эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий, т. е.

Р„(т) =угад" +...+у д" =Су д", т=0,1,...,п. ° С„елагаелгых Можно заметить, что вероятности Р„(т), т = О, 1,..., и являются коэффициентами при х" в разложении (д + ух)" по формуле бинома Ньютона: (д+у,)" = д" +С„"д" 'у,+~„'де-аузх'+...+С„д"- у"'*'"+...+ " Поэтому совокупность вероятностей Р„(т) называют биномиальным законом распределения веуоятностей (см. п.

2.7), а функцию гр(х) = = (д+ ух)а — пуоизоодящее1 функцией для последовательности независимых опытов. Если в каждом из независимых испытаний вероятности наступления события А уазньге, то вероятность того, что событие А наступит т раз в п опытах, равна коэффициенту при т-й степени многочлена ~р„(з) = (д1 + у1 х)(дг + уех) ... (д„+ у„з), где гр„(з) — производящая функция. Если в серии из и независимых опытов, в каждом из которых может произойти одно и только одно из а событий Аы Ае, ..., Ае с соответствующими вероятностями уы уг, ..., уе, то вероятность того, что в этих опытах событие А1 появится т1 раз, событие Ае — те раз, ..., событие Ае — ть раз, равна Р„(тм т2,..., ть) = и' у™,'у™'... у~~', (1.33) т1!тг!...

ть! где т1 + тг + - .. + те = и. Вероятности (1.33) называются полиноми- альным уаепуеделением. Пример 1.31. Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны у = 0,9. Какова вероятность: а) промаха; б) одного попадания; в) двух попаданий; г) трех попаданий? Решить задачу в случае, если вероятности попадания при разных выстрелах различны: р1 = 0,7, уз = 0,8, уз = 0,9. 50 ' Раздел первый.