1193507387 (Конспект лекций), страница 6

Геометрическая вероятносы суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих собьггий, т. с. если А В = О, то Глава 1. Случайные события ' 33 Пусть к время прихода первого, а 9 второго. Возможные значения к и у: 0 < к < 60, 0 < у < 60 (в качестве единиц масштаба возьмем минуты), которые на плоскости Оту определяют квадрат со стороной, равной 60.

Точки этого квадрата изображают время встречающихся (см. рис. 9). Рис. 9 Тогда Й = 1(т, 9): 0 < т < 60, 0 < у < 60); все исходы й равновозможны, так как лица приходят наудачу. Событие А — лица встретятся произойдет, если разность между моментами их прихода будет не более 15 мин (по модулю), т.е. А = ((т, у): ~у — т~ < 15). Неравенство ~у — т~ < 15, т.е.:г — 15 < у < т + 15 определяет область, заштрихованную на рис. 9, т.с. точки полосы есть исходы, благоприятствующие встрече. Искомая вероятность определяется по формуле (1.15): 602 2'1'45'45 7 Р(А) = = = 0,44. 60 16 Упражнения 1.

В круг радиуса Л вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в данный треу гол ьник. 2. На отрезке [О, 5] случайно выбирается гочка. Найти вероятность того, что расстояние от нес до правого конца отрезка не превосходит 1,6 единиц. 3.

Стержень длины 1 разломан в двух наугад выбранных точках. Найти вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник. 34 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей 1.11. Аксиоматическое определение вероятности Аксиоматическое построение теории вероятностей создано в начале 30-х годов академиком А. Н. Колмогоровым.

Аксиомы теории вероятностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала основными свойствами статистической вероятности, характеризующей ее практический смысл. В этом случае теория хорошо согласуется с практикой, Пусть й — множество всех возможных исходов некоторого опыта (эксперимента), Я вЂ” алгебра событий. Напомним (см. п. 1А), что совокупность о' подмножеств множества й называется алгеброи (а- алгеброй), если выполнены следующие условия: 1. Я содержит невозможное и достоверное события. 2.

Если события Аы Аз, Аз, ... (конечное или счетное множество) принадлежат о', то Я принадлежит сумма, произведение и дополнение (т. е. противоположное для А,) этих событий. Вероятностью называется функция Р(А), определенная на алгебре событий Я, принимающая действительные значения и удовлетворяющая следующим аксиомам: А1. Аксиома неотрицательности' вероятность любого события А Е Я неотрицательна, т.

е. Р(А) > О. А2. Аксиома нормироеанности: вероятность достоверного события равна единице, т. е. Р(й) = 1. АЗ. Аксиома аддитиеноети: вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если А, А = И (1 ~ )), то Р(1 А„) =г Р(А„). Совокупность объектов (й, 5. Р), где й — пространство элементарных событий, Я вЂ” алгебра событий, Р— числовая функция, удовлетворяющая аксиомам А1 — АЗ, называется вероятностным пространством случайного эксперимента. Вероятностное пространство служит математической моделью любого случайного явления; заданием этого пространства завершается аксиоматика теории вероятностей.

Глава 1. Случайные события ° 35 1.12. Свойства вероятностей Приведем ряд свойств вероятности, являющихся следствием аксиом Колмогорова. С1. Вероятность невозможного события равна нулю, т. е. Р(Б) = О. С2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е. Р1А) + Р(А) = 1. СЗ. Вероятность любого события не превосходит единицы, т. е.

Р(А) < 1. С4. Если А С В, т. е. событие А влечет за собой событие В, то Р(А) < Р(В). Сб. Если события Аы Аз,... цых событий, т.е. 2 А, в=1 , А„образуют полную группу несовмест- =йиА, А =Э,то л Р(А,) = 1. Заметим, что из Р(А) = 0 не следует А = О. С1. Так как А+ О = А и А О = О, то согласно аксиоме АЗ имеем Р(А) + Р(В) = Р(А), следовательно, Р(о) = О. С2. Поскольку А+ А = й, то Р(А+ А) = Р(й), а так как А А = О, то в силу аксиом А2 и АЗ получаем Р(А) + Р(А) = 1. СЗ. Из свойства С2 вытекает, что Р(А) = 1 — Р(А). С учетом аксиомы А1 получаем Р(А) < 1.

С4. Так как В = ( — А) + А при А С В и ( — А) А = О, то согласно аксиоме АЗ получаем Р(В) = Р( — А)+Р1А). Но Р( — А) > 0 (аксиома А1), поэтому Р(В) > Р(А). Сб. Так как А1+ Аг+... + А„= й, то, согласно аксиомам А2 и АЗ, имеем Р(А1 + Аз +... + А„) = Р(А1) + Р(Аг) +...

+ Р(А„) = 1, ° 36 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Пример 1.24. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу вынимают три карты. Найти вероятность того, что среди ннх окажется хотя бы одна «дама». Пусть А интересующее нас событие, А1 — появление одной «да- мы», Аг — двух «дам», Аз — трех «дам». Тогда А = А1+ Аг + Аз, причем события А1, Аг, Аз несовместные. Поэтому Р(А) = Р(А1) + + Р(Аг) + Р(Аз). Число всевозможных случаев выбора трех карт из 36 равно Сзей число случаев, благоприятных событиям А1, Аг, Аз, соотз., нетстненно равно т1 = С» .

Сзг, тг = С» Сзг, тз = С» Сз~г. Таким г г 1 з р С» . Сзг + С» Сзг + С» Сзг С36 Задача рещается проще, если воспользоваться свойством С2. Нахо- дим Р(А), где А среди вынутых карт нет ни одной «дамы».' Р(А) = — 0,69. Значит, Р(А) = 1 — 0,69 = 0,31.

Сзг Ф зб 1.13. Конечное вероятностное пространство Р(А) = ~ р(ю,), (1.19) юеА т. е. вероятностью Р(А) события А назовем сумму вероятностей элементарных событий, составляющих событие А. Введенная таким образом Пусть производится некоторый опыт (эксперимент), который имеет конечное число возможных исходов ю1, юг, юз, ..., юп. В этом случае Й = (ю1, юг,..., ю„) (или коротко Й = (ю)) — конечное пространство, Я вЂ” алгебра событий, состоящая из всех (их 2") подмножеств множества Й. Каждому элементарному событию ю, Е Й, »' = 1, 2,..., и поставим в соответствие число р(ю,), которое назовем «вероятностью элементарного события», т.

е. зададим на Й числовую функцию, удовлетворяющую двум условиям; 1) условие пеотрицательности: р(ю,) ) 0 для любого ю, Е Й; 2) условие нормированности ~„р(»о,) = 1. з=1 Иеротпность Р(А) для любого подмножества А Е Й определим как сумму Глава 1. Случайные события ° 37 вероятность удовлетворяет аксиомам Колмогорова (А1 — АЗ): в Р(А) ) О, Р(П) = ~ р(ю,) = ~ ~р(ш,) = 1, ш,ей ~=1 Р(А+ В) = ~ ~р(ю,) = ~ ~р(ю,) + ~ ~р(~в,) = Р(А) + Р(В), к,елгВ если АВ = Ы, т.е. А и  — два несовместных события.

Так определенная тройка (11, В, Р) есть конечное вероятностное пространство, называемое «дискретным вероятностным пространством». Частным случаем определения вероятности (1.19) является классическое определение вервлтнвстц когда все исходы опыта равнонозможны: р(гв1) = р(юа) = .. = р(юя) = — (следует из условия нормиро- 1 я ванности: 2 р(ю,) = 1). Формула (1.19) приобретает нид: Р(А) = ~ р(~,) =,—,+ —,+...+ — = —, 1.14.

Условные вероятности Пусть А и В два события, рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного события (скажем, А) может влиять на возможность наступления другого (В). Длл гарактпериетики зависимости одни в собитии от дрдгик вводится понятие условной вероятности. Условной веролтноггпью события В при условии, что произошло событие А, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А, причем Р(А) ф О, обозначается символом Р(В~А). Таким образом, по определению Р(В~А) =, Р(А) ~ О. Р(А В) Р(А) (1.20) Вероятность Р(В), в огличие от условной, назынается безусловной ве- роятностью. т.е.

Р(А) = —, где т — число элементарных событий, образую~пик т событие А (т. е. т число случаев, благоприятствующих появлению события А). 88 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Аналогично определяется условная вероятность события А при условии В, т. е. Р(А~В): Р(А~В) =, Р(В) ~ О. Р(А В) Р(В) (1.21) Отметим, что условная вероятность, скажем Р(В~А), удовлетворяет аксиомам Колмогорова (и.

1.11): Р(В~А) > О, очевидно; Р(Й~А) = Р(й А) Р(А) = 1; Р((В+С)~А) = Р(В~А)+ Р(С~А), если В. С = = Ы. Поэтому для условной вероятности справедливы все следствия (свойства) из аксиом, полученные в и. 1.12. Формула (1.20) принимается по определению при аксиоматическом определении вероятности; в случае классического (геометрического, статистического) определения она может быть доказана. Пример 1.25. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последователь- но вынимают два шара. Какова вероятность того, что 2-й шар окажется белым при условии, что 1-й шар был черным? 1.15.