1193507387 (Конспект лекций), страница 5

Из 4 первокурсников, 5 второкурсников и 6 третьекурсников надо выбрать 3 студента на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов? 9. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, чтобы определенные три книги стояли рядом? Не рядом? 1 О. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за круглым столом? (Рассматривается только расположение сидящих относительно друг друга.) 1 1. 10 студентов, среди которых С. Федин и А.

Шилов, случайным образом занимают очередь в библиотеку. Сколько имеется вариантов расстановки студентов, когда между Фединым и Шиловым окажутся 6 студентов? 12.У одного школьника имеется 7 различных книг для обмена, а у другого — 16. Сколькими способами они могут осуществить обмен: книга на книгу? Две книги на две книги? 13. В урне 12 белых и 8 черных шаров.

Сколькими способами можно выбрать 5 шаров, чтобы среди них было: а) 5 черных; б) 3 белых и 2 черных? 14. Сколькими способами можно распределить 15 выпускников по трем районам, если в одном из них имеется 8, в другом — 5 и в третьем— 2 вакантных места? 15. Известно, что 7 студентов сдали экзамен по теории вероятностей на хорошо и отлично. Сколькими способами могли быть поставлены им оценки? 16.

Игральная кость (на ее 6 гранях нанесены цифры от 1 до 6) бросается 3 раза. Сколько существует вариантов выпадения очков в данном опыте? Напишите некоторые из них. 28 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей 17. Сколькими способами можно распределить 6 различных подарков между четырьмя ребятишками? 18. Сколькими способами можно составить набор из 6 пирожных, если имеется 4 сорта пирожных'? 19. Группа учащихся из 8 человек отправляется в путешествие по Крыму. Сколькими способами можно составить группу из учащихся 5-? классов? 20.Сколькими способами можно распределить 4 книги на трех полках книжного шкафа? Найти число способов расстановки книг на полках, если порядок их расположения на полке имеет значение.

21.Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове: а) ГОРА; б) ИНСТИТУТ? 22.Сколько существует способов размещения 9 человек в двухместный, трехместный и четырехместный номера гостиницы? 23.Сколькими способами можно распределить 16 видов товаров по трем магазинам, егли в 1-й магазин надо доставить 9, во 2-й— 4, а в третий — — 3 вида товаров? 1.9.

Примеры вычисления вероятностей Пример 1.19. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что среди наугад вынутых 5 шаров 3 будут черными? Выбрать 5 шаров из 20 можно С2~в различными способами (все выборки — неупорядоченные подмножества, состоящие из 5 элементов), т. е. и = Сзш Определим число случаен, благоприятствующих событию  — «среди 5 вынутых шаров 3 будут черными». Число способов выбрать 3 черных шара из 8, находящихся в урне, равно Сзз.

Каждому такому выбору соответствует С~~з способов выбора 2-х белых шаров из 12 белых и урне. Следовательно, по основному правилу комбинаторики (правилу умножения), имеем: т = Сзз С~за. По формуле (1.3) находим, Сз. Сз что Р(В) =- ' 0,24. Сз Глава 1. Случайные события ' 29 Пример 1.20. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу гынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что: а) нее они одного цвета; б) все они разных цветов; в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандагп. Сначала заметим, что число способов выбрагь 3 карандаша из 12 имеющихся н наличии равно и = С1г — — 220. з а) Выбрать 3 синих карандаша из 5 можно Сзз способами; 3 крас- ных из имеющихся 4 можно выбрать С4 способами; 3 зеленых из 3 зеленых — Сзз способами.

По правилу сложения общее число т случаев, благоприятствукь щих событию А = (три карандаша, вынутых из коробки, одного цвета), Равно т = Сз + С~з + Сзз = 15. Отсюда Р(А) = — = т 15 3 з ~ з = - ' и 220 44' б) Пусть событие В = (три вынутых карандаша разных цветов). Число т походов, благоприятствующих наступлению события В, по правилу умножения равно т = Сз~ С4 Сз1 = 5 4 3 = 60. Поэтому т 60 3 220 11' в) Пусть событие С = (из трех выбранных карандашей 2 синих и 1 зеленый). Выбрать 2 синих карандаша из имеющихся 5 синих можно С~ способами, а 1 зеленый из имеющихся 3 зеленых — Сз способами.

г . 1 Отсюда по правилу умножения имеем: т = С1г Сз1 = 30. Поэтому Р(С) = — = —, т 30 3 220 22 ' Пример 1.21. Дано шесть карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что: а) получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки; б) получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются шесть карточек и располагаются н ряд в порядке появления. а) Из шести данных букв можно составить и = А~ ~— — 120 трехбуквенных «слов» (НИЛ, ОЛЯ, ОНИ, ЛЯМ, МИЛ и т.д.). Слово ЛОМ при этом появится лишь один раз, т.е.

т = 1. Поэтому вероятность появления слова ЛОМ (событие А) равна Р(А) = — = —. т 1 и 120' б) Шестибукненные «слова» отличаются друг от друга лишь порядком расположения букв (НОЛМИЯ, ЯНОЛИМ, ОЛНИЯМ и т.д.). Их число равно числу перестановок из 6 букв, т. е. и = Рс — — 6!. Очевидно, что т = 1. Тогда вероятность появления слова МОЛНИЯ (событие В) равна Р(В) = — = —, = 30 ' Раздел первый.

Элементарная теория вероятностей Пример 1.22. В почтовом отделении имеются открытки 6 видов. Какова вероятность того, что среди 4 проданных открыток все открытки: а) одинаковы, б) различны? Выбрать 4 открытки 6 видов можно С4в = 126 способами, т.е. и = 126. а) Пусть событие А = (продано 4 одинаковые открытки). т1исло т исходов, благоприятствующих наступлению события А, равно числу видов открыток, т. е.

т = 6. Поэтому Р(А) = — = —. 6 1 126 21' б) Пусть событие В = проданы 4 различные открытки. Выбрать 4 открытки из 6 можно С4в = 15 способами. т. е. т = 15. Следовательно, 126 42' 15 5 Упражнения 1. В лифт 9-этажного дома вошли 4 человека. Каждый из них независимо друг от друга может выйти на любом (начиная со второго) этаже.

Какова вероятность того, что все вышли: а) на разных этажах; б) на одном этаже; в) на 5 этаже? 2. Из колоды карт (их 36) вытаскивают наудачу 5 карт. Какова вероятность того, что будут вытащены 2 туза и 3 шестерки? 3. Семь человек рассаживаются наудачу на скамейке. Какова вероятность того, что два определенных человека будут сидеть рядом? 4.

На 5 карточках разрезной азбуки изображены буквы Е, Е, Л, П, П. Ребенок случайным образом выкладывает их в ряд. Какова вероятность того, что у него получится слово ПЕПЕЛ? 5. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 50. Найти вероятность того, что среди 3-х наугад выбранных ' вопросов студент знает: а) все вопросы; б) два вопроса. 6. В барабане револьвера 7 гнезд, из них в 5 заложены патроны. Барабан приводится во вращение, потом нажимается спусковой курок. Какова вероятность того, что, повторив такой опыт 2 раза подряд: а) оба раза не выстрелит, б) оба раза револьвер выстрелит? Глава 1.

Случайные события ° 31 7. Для проведения соревнования 10 команд, среди которых 3 лидера, путем жеребьевки распределяются на 2 группы по 5 команд в каждой. Какова вероятность того, что 2 лидера попадут в одну группу, 1 лидер — в другую? 8. Из колоды карт (их Зб) наугад вынимают 2 карты. Найти вероят- ность, что среди них окажется хотя бы одна «дама». 1.10. Геометрическое определение вероятности Геометрическое определение вероятности применяется в случае, когда исходы опыта равновозможны, а ПЭС (или й) есть бесконечное несчетное множество. Рассмотрим на плоскости некоторую область П, имеющую площадь Яп, и внутри области П область Р с площадью Яп (см. рис. 8). Рис.

8 В области П случайно выбирается точка Х. Этот выбор можно интерпретировать как бросание тпочки Х е область П. При этом попадание точки в область П вЂ” достоверное событие, в Р— случайное. Предполагается, что все точки области й равноправны (все элементарные события равновозможны), т.

е. что брошенная точка может попасть в любую точку области П и вероятность попасть в область Р пропорциональна площади этой области и не зависит от ее расположения и формы. Пусть событие А = (Х е Р?, т. е. брошенная точка попадет в область Р. Геометпрической ееролтностью событил А называется отношение площади области Р к площади области П, т.

е. 32 ° раздел первый. Элементарная теория вероятностей Геометрическое определение вероятности события применимо и в случае, когда области й и Р обе линейные или объемщие. В первом случае и (1.16) 1п ' во втором— Р(А) = — ~, (1.17) где 1 — длина, а г" — — объем соответствующей области. Вгг три формулы ((1.15)). ((1.16)), ((1,17)) можно записать и виде Р( 1) п!ек Р щев П (1.18) где через пюв обозначена мера (Я, 1, 1') области.

Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами, присущими классическому (и другим) определению: 1. Геометрическая вероятность любого события заключена между пулем и сдипидей, т. е. 0<Р(А) <1. 2. Геометрическая вероятность невозможного события равна пулю, т. е. Р(Б) = О. 3. Геометрическая вероятность достоверного события раппа сцинипе, т. е. Р(й) = 1.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Проверим, например, свойспю 4: пусть А = (т Е Р~), В = 1т Е Р„), гдг Р1 Рз = О, т. е. Р1 и Рз непересекающиеся области. Тогда Р(А+В) = '+ -' = — '+ ' = Р(А)+Р(В). Вп Вп Яа Пример 1.23. (Задача о встрече.) Два человека договорились о ветров че между 9 и 10 часами утра. Пришедший первым ждет второго в течение 15 мин, после чего уходит (если не встретились). Найти вероятность того, что встреча состоится, сели каждый наудачу выбирал момент своего прихода. 4.