1193507387 (Конспект лекций), страница 4

А™ = и(и — 1)(и — 2)... (и — т+1). Пример 1.9. Составить различные размещения по 2 из элементов мн жества Р = (а, Ь, с); подсчитать нх число. Из трех элементов можно образовать слецующие размещения ~ два элемента: (а,Ь), (Ь,а), (о, с), (с,о), (Ь, с), (с, Ь). Согласно форм ле (1А) нх число: Азз — — 3 2 = 6. Перестановкой из и элементов называется размещение из и эл ментов по и элементов. Из определения вытекает,что перестановки — это выборки (ко~ бинацнн), состоящие из и элементов и отличающиеся друг от дру только порядком следования элементов. Число перестановок из и эл ментов обозначается символом Р„(«пэ из эн») и вычисляется по фо муле Формула (1.6) следует из определения перестановки: (и — и)! О! Пример 1.10.

Составить различные перестановки нз элементов мн П жества Е = (2, 7, 8); подсчитать их число. Из элементов данного множества можно составить слецующие и рестановки: (2,7,8); (2,8,7); (7,2,8); (7,8,2); (8,2,7); (8,7,2). По фо муле (1,6) имеем: Рз = 3! = 1 2 3 = 6. Пример 1.11. Сколькими способами можно расставить на полке различных книг? Глава 1. Случайные события ' 23 Искомое число способов ранна числу перестановок из 5 элементов (книг), т.

е. Рз = 5! = 1 2 3 4. 5 = 120. Сочетанием из и элементов по т (О < т < и) элементов называется любое подмножество, которое содержит т элементов данного множества. Из определения вытекает, что сочетания — это выборки (комбинации), каждая из которых состоит из т элементов, взятых из данных и элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, т. е. отличаются только составом элементов.

Число сочетаний из и элементов по т элементов обозначается символом С~ («цэ из эн по эм») и вычисляется по формуле С и(и — 1) (и — 2)... (и — т + 1) и 1 2 3...т (1.7) Ст и. т! (и — т)! (1.8) Число А~~ размещений из и элементов по т элементов можно найти следующим образом: выбрать т элементов из множества, содержащего и элементов (это можно сделать Сп способами); затем в каждом из полученных сочетаний (подмножеств) сделать все перестановки для упорядочения подмножеств (это можно сделать Р способами).

Следовательно, согласно правилу умножения, можно записать: Ап и(и — 1)(и — 2)... (и — т+ 1) А = С'и Р . Отсюда С 1 2.3...и1 или Ст= и' т! (и — т)! Можно показать, что имеют место формулы: С~=С,", ~, (т<и), С„+ С„' + С' +... + Сп = 2", С = Сп 1 + С~ 11, (1 < т < и). (1.9) (1. 10) (1.11) Формулу (1.9) удобно использовать при вычислении сочетаний, когда т ) —. Так, С11з = С~~в — — ' — — 105. Формула (1.10) выражает число всех подмножеств множества из и элементов (оно равно 2п).

Числа Св, С1, С~~, ..., Сп являются коэффициентами в разложении бинома Ньютону (а + Ь)п = Саапба + С1ап 16+... + СпааЬп 24 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Пример 1.12. Составить различные сочетания по 2 из элементов мно- 2 жества 77 = (а, Ь, с); подсчитать их число. Из трех элементов можно образовать следующие сочетания по два элемента: (а,6); (а,с); (Ь,с). Их число: Сзз — — — ' —— 3 (формула (1.7)).

г 3 2 Пример 1.13. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики? А если выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых? Так как порядок выбора цветов не имеет значения, то выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 14 гвоздик, можно С1з4 способами. По формуле (1.7) находим: С,4 — — — — 7 13.

4 = 364. Далее: краев 14 13 12 ы 1.2 3 ную гвоздику можно выбрать С~~в — — 10 способами. Выбрать две розовые гвоздики из имеющихся четырех можно С4 — — — — — 6 способами. По- 4 3 4 — 1,2— этому букет из одной красной и двух розовых гвоздик можно составить, по правилу умножения, С1~в С42 = 10 6 = 60 способами. Схема выбора с возвращением Если при выборке т элементов из п элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями. Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов.

Число всех размещений из и элементов по т с повторениями обозначается символом А™ и вычисляется по формуле (1.12) Пример 1.14. Из 3 элементов а, Ь, с составить все размещения по два П элемента с повторениями. По формуле (1.12) число размещений по два с повторениями равно Аз г— — Зг = 9. Это: (а,а), (а, Ь), (а,с), ~6,6), (Ь,а), (Ь,с), (с,с), (с,а), (с,Ь). Глава 1. Случайные события 25 Пример 1.15.

Сколько пятизначных чисел можно составить, исполь- зуяцифры: а) 2,5,7,8;б) 0,1,9? О а) Все пятизначные числа, составленные из цифр 2, 5, 7, 8, отличаются друг от друга либо порядком их следования (например, 25558 и 52855), либо самими цифрами (например, 52788 и 78888). Следовательно, они являются размещениями из 4 элементов по 5 с повторениями, т. е.

А». Таким образом, искомое число пятизначных чисел равно 5 А~» = 45 = 1024. Этот же результат можно получить, используя правило умножения: первую цифру слева в пятизначном числе можно выбрать четырьмя способами, вторую — тоже четырьмя способами, третью— четырьмя, четвертую — четырьмя, пятую — четырьмя. Всего получается 4 4 4 4 4 = 1024 пятизначных чисел. б) Если пятизначные числа состоят из цифр О, 1, 9, то первую цифру слева можно выбрать двумя способами (О не может занимать первую позицию), каждую из оставшихся четырех цифр можно выбрать тремя способами.

Согласно правилу умножения, таких чисел будет 2 3 3 3 ° 3 = 162. (И~аче: А~» — А»з — — 243 — 81 = 162.) Если при выборке т элементов из и элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с повторениями.

Число всех сочетаний из п элементов по т с повторениями обозначается символом С~~ и вычисляется по формуле (1.13) Пример 1.16. Из грех элементов а, Ь, с составить все сочетания по два элемента с повторениями. По формуле (1.13) число сочетаний по дна с повторениями равно Сз~ = С~~+з г — — С» — — — ' — — 6. Составляем эти сочетания с понторениа а 4 3 3 3»2-1» ями: (а, а), (а, Ь), (а,с), (Ь, Ь), (Ь,с), (с, с). Пример 1.17. Сколькими способами можно составить букет из 5 цве- тов, если н наличии есть цветы трех сортов? О Рассматриваемое множество состоит из трех различных элементов, а выборки имеют обьем, равный 5. Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то искомое число букетов равно числу сочетаний с повторениями из трех элементов по 5 н каждом.

По фоРмУле (1.13) имеем Сзц = Св — — С~~ ~ = С~у = — ' = 21. 3 7 7 26 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Пусть в множестве с и элементами есть в различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется п1 раз, 2-й элемент — пг раз..., Й-й элемент — пь раз, причем пг + пг +... + пв = и. Перестановки из и элементов данного множества называют перестановками с повторениями иэ и элементов.

Число перестановок с повторениями из и элементов обозначается символом Рл (и;, пг,..., пь) и вычисляется по формуле п1 Р„(импг,пь) = пппг.... пь! (1.14) Пример 1.18. Сколько различных пятизначных чисел можно соста- вить из цифр 3, 3, 5, 5, 8? Применим формулу (1.14). Здесь и = 5, п1 = 2, пг = 2, пз = 1.

Число различных пятизначных чисел, содержащих цифры 3, 5 и 8, равно Рв(2,2,1) =,;, = 30. Упражнения 1. Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно образовать из букв слова БУРАН? А если «слова» содержат не менее трех букв? 2. Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины, в которой имеется 12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем? 3. Группа студентов изучает 10 различных дисциплин, Сколькими способами можно составить расписание занятий в понедельник, если н этот день должно быть 4 разных занятия? 5. Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различны? 4.

Из 10 мальчиков и 10 девочек спортивного класса для участия в эстафете надо составить три команды, каждая из которых состоит из мальчика и девочки. Сколькими способами это можно сделать? Глава 1. Случайные события ° 27 6. В электричке 12 вагонов. Сколько существует способов размещения 4 пассажиров, если в одном вагоне должно быть не более одного пассажира? 7. Сколькими способами 3 награды могут быть распределены между 10 участниками соревнования? 8.