1193507387 (Конспект лекций), страница 3

Математических определений вероятности существует несколько, псе они дополняют и обобщают друг друга. Рассмотрим опыт, который можно повторять любое число раз (говорят: с<проводятся повторные испытания»), в котором наблюдается некоторое событие А. Статистаческой аеролгпностью события А называстгя число, около которого колеблется относительная частота события А при достаточно большом числе испытаний (опытов).

Вероятность события А обозначается символом Р(А). Согласно данному определению 18 ° Раздал первый. Элементарная теория вероятностей 3. Статистическая вероятность достоверного события равна единице, т. е. Р(11) = 1. 4. Статистическая вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

если А В = О, то Р(А+ В) = Р(А) + Р(В). Статистический способ определения вероятности, опирающийся на реальный опыт, достаточно полно выявляет содержание этого понятия. Некоторые ученые (Р. Мизес и другие) считают, что эмпирическое пл определение вероятности (т. е. р = 1пп — ) следует считать основным п определением вероятности. Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так в примере с бросанием монеты (п.

1.5) в качестве вероятности можно принять не только число 0,5, но и 0,49 или 0,51 и т.д. Для надежного определения вероятности нужно проделать большое число испытаний (опытов), что не всегда просто (или дешево). 1.7. Классическое определение вероятности Существует простой способ определения вероятности события, основанный на равновозможности любого из конечного числа исходов опыта. Пусть проводится опыт с и исходами, которые можно представить в виде полной группы несовместных равновоэмоэюных событий. Такие исходы называются случаями, шансами, элементарными событиями, опыт — классическим.

Про такой опыт говорят, что он сводится к схеме случаев нли схеме урн (ибо вероятностную задачу для такого опыта можно заменить эквивалентной ей задачей с урнами, содержащими шары разных цветов). Случай ы|, который приводит к наступлению события А, называется благоприлтнь~м (или — благоприятствующим) ему, т.е.

случай ш влечет событие А: ш С А. Вероятностью события А называется отношение числа пг случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу и случаев, т. е. (1.3) и Наряду с обозначением Р(А) для вероятности события А используется обозначение р, т. е. р = Р(А). Глава 1. Случайные события ' 19 Из классического определения вероятности (1.3) вытекают следующие свойства: 1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т. е. 0 <Р(А) <1. 2. Вероятность невозможного события равна нулю, т. е. Р(о) = О. 3. Вероятность достоверного события равна единице, т, е.

Р(й) = 1. 4. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если А В = О, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Онн проверяются так же, как и для относительной частоты (п. 1.5). В настоящее время свойства вероятности определяются в виде аксиом (см. п. 1.11). Пример 1.6. В урне (емкостн) находятся 12 белых н 8 черных шаров, П Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым? Пусть А — событие, состоящее в том, что вынут белый шар.

Ясно, что п = 12+ 8 = 20 — число всех равновозможных случаев (исходов опыта). Число случаев, благоприятствующих событию А, равно 12, т.е. т = 12. Следовательно, по формуле (1.3) имеем: Р(А) = —, т.е. 12 Р(А) = О, б. Упражнения 1. Найти вероятность того, что в наудачу написанном двузначном числе цифры разные. 2. Набирая номер телефона, абонент забыл 2 последние цифры и набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. 20 ' Раздел первый.

Элементарная теория вероятностей Элементы комбинаторики 1.8. Пример 1.7, Сколько грехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если: а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться? Имеется 5 различных способов выбора цифры для первого места (слева в трехзначном числе). После того как первое место занято, например, цифрой 2, осталось четыре цифры для заполнения второго места.

Для заполнения третьего места остается выбор из трех цифр. Следовательно, согласно правилу умножения имеется 5 4 3 = 60 способов расстановки цифр, т.е. искомое число трехзначных чисел есть 60. (Вот некоторые из этих чисел: 243, 541, 514, 132, ... ) Понятно, что если цифры могут повторяться, то трехзначных чисел 5 5 5 = 125. (Вот некоторые из них: 255, 333, 414, 111, ... ) Правило суммы. Если некоторый объект х можно выбрать п1 способами, а объект у можно выбрать пз способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (х или у), можно выбрать п1 + пг способами. Это правило распространяется на любое конечное число объектов.

Согласно классическому определению подсчет вероятности события А сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами. Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданною множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечного множества. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами?».

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения. Правило умножения (основной принцип): если из некоторого конечного множества первый объект (элемент х) можно выбрать п1 способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент у) можно выбрать пз способами, то оба объекта (х и у) в указанном порядке можно выбрать п1 пз способами. Этот принцип, очевидно, распространяется на случай трех и более объектов.

Глава 1. Случайные событии ' 21 Пример 1.8. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать. для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола? ( ) По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 13 = 182 сповобами, а двух юношей — 6 5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студенток или двух юношей. Согласно правилу сложс ния таких способов выбора будет 182 + 30 = 212. ° Решение вероятностных (и ие только их) задач часто облегчается, если использовать комбипаторные формулы.

Каждая из иих определяет число всевозможных исходов в некотором опыте (эксперименте), состояпгем в выборе наудачу нс элементов из и различных элементов рассматриваемого множества. Существукп две схемы выбора т элементов (О < т < н) из исходного множества: без возвращения (без повторений) и с воввраисеннеьч (с повторением). В первом случае выбранные элементы ие возвращаются обратно; можно отобрать сразу всг т элементов или послсдовательно отбирать их по одному. Во второй схеме выбор осуществляется поэлементпо с обязательным возврагценисм отобранного элемента на кззкдом шаге.

Схема выбора без возвращений Пусть дано множество, состоящсе из и различигих элементов. Газменсенпем из и элементов по тп элементов (О < т < н) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержвщее т элемеитош Из определения вытекает, что размещения — это выборки (комбинации), состоящие из т элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения. Число размс щений из н элементов по т элементов обозначается символом А~ («А из эи по эм») и вычисляется ио формуле 11 4) А„'" = п(п — 1)(п — 2) ...

(и — т+1) или А„'" = н', где а! =1.2 3 ... и, 1! =1, О! = 1. (1.5) (н — т)! 22 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Для составления размещения А~~ надо выбрать т элементов 1 множества с и элементами и упорядочить их, т.е. заполнить ги ме~ элементами множества. Первый элемент можно выбрать и способам т.е. на первое место можно поместить любой из и элементов.

Пес~ этого второй элемент можно выбрать из оставшихся и — 1 элемент~ и — 1 способами. Для выбора третьего элемента имеется и — 2 способ четвертого — и — 3 способа, и, наконец, для последнего т-го элеме та — (и — (т — 1)) способов. Таким образом, по правилу умножени существует и(и — 1)(и — 2)... (и — (т — 1)) способов выбора т элемент< из данных и элементов, т.е.