Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 48

задачу 8.22) л!8 — Г„ " < р„„„. Масса троса гп = р .К = Р..Б, а сила Архимеда равна весу воды, вытесненной тросом, т.е. гА = р,др'=р,ф5. Тогда в предельном случае имеем '«« — Р ! «! = р„„, о~ у«а ! = ~ = 11 9 «н«. Р~ Р«Я' 8.26. С крыши дома свешивается стальная проволока длиной 1 = 40 м и диаметром !1 = 2 мм. Какую нагрузку Г может выдержать эта проволока? На сколько удлинится эта проволока, если на ней повиснет человек массой и = 70 кг? Будет ли наблюдаться остаточная деформация, когда человек отпустит проволоку? Предел упругости стали р = 294 МПа. Решение: Чтобы проволока выдержала нагрузку, т.е. не разорвалась, !и<!8+ Г необходимо выполнение условия: — ' < р„„„где !и = рк' = РИ вЂ” масса проволоки, р„„« = 785 МПа — предел прочности стали. Площадь поперечного сечения проуз волоки 5 = —, тогда в предельном случае имеем 4 р!ДУ Г+4Г = р„„„, откуда максимальная нагрузка, кото«тг1 рую выдерживает проволока: Г = "'"" = 2,45 кН.

4 Если на проволоке повиснет человек, то по закону Гука 406 — — где Е = 216 ГПа — модуль 1Онга стали, Ы р 1 Е (т0 + т)д (р1лй+ 4т)д Р— — 221МПа — суммарное дав- 5 Ы ление человека и собственного веса проволоки. Тогда удлинение проволоки Ы= — =4см. Поскольку р<р, Р1 Е н~ где р„ = 294МПа — предел прочности стали, то остаточная деформация наблюдаться не будет. 8.27.

К стальной проволоке радиусом г =1 им подвешен груз массой т =100 кг. На какой наибольший угол а можно отклонить проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась при прохождении этим грузом положения равновесия? Решение: На проволоку действует сила тяжести»>я и сила упругости Р . По второму закону Ньютона в момент прохождения положения равновесия Р— п>д = та„, где а„— нормальное ускорение. В стартовом положении, прн отклонении на угол а, нормальное ускорение а„ = О, тогда >Щ тя Рсо~а — »>11=0, откуда Р= —.

Провосоза 2 лока разорвется, если — > р„, „где Я=лг — площадь поперечного сечения проволоки, р„„, — предел прочности стали. Следовательно, в предельном случае имеем »>д »>Я' = р„„,, откуда сола =,, следовательно, >в сола Рь >.. »>о наибольший угол а = огссою, = 75,5'. Р.~~ 407 у 4 8.28. К железной проволоке длиной 1= 50см и диаметром г1 =1мм привязана гиря массой и> =! кг. С какой частотой и можно равномерно вращать в вертикальной плоскости такую проволоку с грузом, чтобы оиа не разорвалась? Решение: Проволока будет максимально удлиняться в крайнем нижнем положении, т.е.

сила тяжести в любой точке всегда направлена вертикально вниз. Следовательно, для крайнего нижнего положения по второму закону Ньютона имеем г — тд = та„— (1), 7 где а„ = — — нормальное ускорение. Линейная т8 1 2л1 скорость вращения гири т = — = 21лп, где Т и и Т соответственно период и частота вращения гири, тогда нормальное ускорение а„= 41г и' — (2). Из уравнений (1) и !2) сила упругости проволоки г' = и~(д+41т'и'1, Чтобы У' проволока не разорвалась, необходимо, чтобы — <р„„,, Я 4т д+4х и 1 или, в предельном случае,, =р„, „, откуда частота вращения гири н = =3,4Гц.

1бт 1т 8.29. Однородный медный стержень длиной 1=1м равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. При какой частоте вращения стержень разорвется? Решение: На стержень действует центрооежная 1 сила Г=~ газ'Йл, а г — расстояние от где аз — угловая скорость вращения, 408 элемента массы гЬн, до оси вращения. Для однородного стержня гЬи = рЯЬ .

где р — плотность материала / стержня и 5 — его сечение. '1огда Е=п2 р~~гсЬ или, о ров ? после интегрирования, Е = . Поскольку ео = 2лп, 2 1 Г то предельная частота вращения и = — — = 38 об/с. т1 '~ 2ф6 8.30. Однородный стержень равномерно вращается вокруг вертикальной оси, прокодящей через его середину. Стержень разрывается, когда скорость конца стержня достигает к = 380 и/с. Найти предел прочности Р материала стержня. Плотность материала стержня р =?,9 ! 0' кг'м'.

Решение: Центробежная сила, действугощая на стержень, в данном / 2 случае Г =~гв Йл, где о2 — угловая скорость вращения, 2 о г — расстояние от элемента массы Йт до оси вращения. Для однородного стержня г2л2 = рЫ, где р — плотность материала стержня и Я вЂ” его сечение. Произведя ров'1 интегрирование, получим Г = . Угловая и 8 линейная скорости вращения связаны соотношением р9к ч = о2 —, тогда Г = †. Стержень разорвется, если 2 2 Я' — > Р„,„,, тогда предел прочности материала стержня Я 2 Рк„,; = — =5?ОМПа. 409 8.31.

К стальной проволоке длиной 1=1м и радиусом г =1 мм подвесили груз массой пг = 100 кг. Найти работу А растяжения проволоки. Решение: Согласно закону Гука относительное удлинение Ы 1Е 5Š— =арв = — —, откуда Е= — Ы вЂ” (1). Для сил упру- ЕЯ гости имеем Г = 1гЫ . Тогда коэффициент упругости оЕ (Ы) ЯЕ(Ы) — Отсюда раоота А = 1 — = — — (2).

2 21 Поскольку растягивающая сила Е = лц, то из ~1) тд1 л7" ~з1 Ы = —, где Я = лг' . Тогда из (2) А = —, . Подставляя БЕ 2Е ' числовые данные, получим А =0,706Дж. 8.32. Из резинового шнура длиной 1=42см и радиусом г = 3 мм сделана рогатка. Мальчик, стреляя из рогатки, растянул резиновый шнур на Ы =20 ем. Найти модуль Юнга для этой резины, если известно, что камень массой ьч = 0,02 кг, пущенный из рогатки, полетел со скоростью ~ =20 и/с. Изменением сечения шнура при растяжении пренебречь.

Решение: По закону сохранения энергии потенциальная энергия упругого взаимодействия переходит в кинетическую энергию камня, т.е. 11'„= Ю'„.. Потенциальная энергия ФЫ)' упругого взаимодействия Ж'„= —, а кинетическая 2 лп фЫ) шг энергия камня 6"„. = —, тогда — = —. Отсюда 2 2 2 2 лп коэффициент жесткости резины,В = —,, тогда по закону ~Ы)' ' 410 /11 У Гука сила упругости резины Г =,бМ = —. Предел упру- Л! Е шуз гости р„= — =, — (1).

С другой стороны, из закона Я лг Л1 М !/„ ЕМ Гука — = †", предел упругости резины р„ = — — !2). Е Приравняем правые части уравнений (1) и !'2), тогда /пу ЕЫ откуда модуль Юнга резины равен лг Л1 .-'(Л!)з 8.33. Имеется резиновый шланг длиной 1= 50 ем и внутренним диаметром с/, =! см. Шланг натянули так, что его длина стала на Л! =! 0 см больше. Найти внутренний диаметр А натянутого шланга, если коэффициент Пуассона для резины а = 0,5 . Решение: При растяжении внутренний диаметр шланга уменьшится Е Л! Е на Лг! = !И1 †. Согласно закону Гука — = ар„= а —, 5 Я Е Л! 1 Л! сто! Л! откуда — = — .

Тогда Лг! =,оо/1 — — = . Поскольку Я а1 а 1 1 ( Х1'! 3 г! =11, — Л/1,следовательно, Ы, =/1, 1 — — )=9 10 м. ) 8.34. На рис. А — железная проволока, С1/ — медная проволока такой же длины и с таким жс поперечным се /ениеы, В1/ — стержень длиной 1 = 80 см. На стержень подвесили груз массой л/ =2 кг. На каком расстоянии х от точки В надо его подвесить, чтобы стержень остался горизонтальным? 411 Ч тобы стержень остался гори- Л С зоитальным, необходимо, чтобы Г, 1 моменты сил упрутости У; и Ез Г, относительно точки подвеса в груза были равны по величине, т.с. 1,х = ГЯ1 — х) — (1). Из И Р„ закона Гука — = — ". При сЩ 1 Е равных длинах и деформациях железной и медной проволоки имеем — "~ ==', где Е, и Е, Е, Е, — модули Юнга соответственно железа и меди.

Т. к. площади поперечных сечений железной и медной Р Р; Г проволоки равны, то — = — или — = — — (1). Из Р2 Е, Е, 1-л Е уравнений (1) и (2) имеем — = — ~, откуда расстояние т Е, Е,1 х = =' = 0,3 м. Е~+Е, 8.35. Найти момент пары сил я1, необходимый лля закручивания проволоки длиной 1 =10 ем и радиусом г = 0,1 мм иа угол ст =! О'.

Модуль сдвига материала проволоки Ф = 4,9 10'" Па. Решение: Для закручивания проволоки иа некоторый угол та необходимо приложить момент пары сил, называемый закручи- лМ' ва!ощим моментом ЛХ= — 9т, где 1 — длина прово- 21 локи, г — радиус ее сечения, р — угол поворота, измеря- 4!2 смыв в радианах. Для перевода угла гд в радианную меру 1' — 60', решим две пропорции: если то х=0,167'; если т' — 10, с 180'- т (в радианах), то х=0,003рад. Произведя вы- 0,1 67' —.т числения, получим М = 2,26 10 ' Н м. 8.36.

Зеркальце гальванометра подвешено иа проволоке длиной 1= !Осм и диаметром Ы =0,0! мм. Найти закручивающий момент М, соответствующий отклонению зайчика на величину а = ! мм по шкале, удаленной иа расстояние Е =1 м от зеркальца. Модуль сдвига материала проволоки Ж = 4 1О" Па. Решение: тсМ<1" Имеем М= гд. При повороте зер- 27 16 кальца гальванометра на угол р отраженный луч повернется на угол 2р, а при этом !82р= —. Поскольку угол р Е а мал, то гдгд=гд, следовательно, р= —.

2Е Тогда М= — =1,96 10 Н м. рядка 64 1Е 8.37. Найти потенциальную энергию И' проволоки длиной 7=5см и диаметром 1=0,04мм, закрученной на угол у=!0'. Модуль сдвига материала проволоки Л/ = 5,9 10" Па. Решение: При повороте проволоки на угол с~у совершается работа сЕ4 = ЛЫ9з, где М вЂ” закручивающий момент. За счет этой 413 работы закрученная проволока приобретает потенциальную энергию 6'. Поскольку закручивающий момент М = —, то Ю' = А = — ~ гЫр = — . Подставляя 21 21 41 числовые данные, получим И' =1,25 10 "Дж.

8.38. При протекании электрического тока через обмотку гальванометра на его рамку с укрепленным на ней зеркальцем действует закручнвающий момент М = 2 10 "Н м. Рамка при этом поворачивается на малый угол гр. На это закручивание идет работа А=8,7 1О "Дж. На какое расстояние а переместится зайчик от зеркальца по шкале, удаленной на расстояние Е =1 м от гальванометра? Решение: При повороте рамки на угол с/р совершается работа пары сил 2дА = Мс/р, где М вЂ” закручивающий момент. Тогда 2А полная работа 2А =1~М4р=Мгд, откуда ге = — — (1), М Перемещение зайчика по шкале равно длине дуги окружности радиусом Я=1, соответствующей углу гв, тогда а=А 182р=Е 2гр, т.

к. по условию угол р 4ЕА малый. Тогда, с учетом (1), а = — = 17,4 мм. М 8.39. Найти коэффициент Пуассона ст, при котором обьем проволоки при растяжении не меняется. Решение: Первоначальный объем проволоки Р; =Я=яп 7. После растяжения ее объем стал К, =г(г-Лг) ((+Ы). Поскольку 414 ,О Ж( фициент Пуассона а = — = —, следовательно, о = 0.5. а гЛ( 8.40. Найти относительное изменение плоз ности цилнндричсского медного стержня прп сжатии его давлением р„= 9.3 ! 0' Па. Коэффициент Пуассона для меди а = 0,34. Решение: л1 несжатого стержня р, = — .