Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 47

Какая масса а льда растает за время т=40мин? Потерями тепла через стенки пренебречь. Решение: Количество теплоты, протекающее в единицу времени О (Т, -т)Ю .вдоль стержня, Д, = — = ' ' =8,38Дж/с. Т. к. по Лт условию потерями тепла через стенки можно пренебречь, то по закону сохранения энергии Д,т = дт, откуда и= — '=60г. Д,т 9 8.12. Плошадь поперечного сечения медного стержня 8=10см, длина стержня 1=50см. Разность температур на концах стержня ЬТ = 15 К. Какое количество теплоты Д„проходит в единицу времени через стержень? Потерями тепла пренебречь, Решение: Количество тепла, проходящее за единицу времени через ЬТЖ стержень (см.

задачу 8.11), Д„= =11,7 Дж/с. 1 399 8,13, На плите стоит алюминиевая кастрюля диаметром О =15 см, наполненная водой. Вода кипит, и при этом за время г = 1 мин образуется масса и = 300 г во чного пара. Найти температуру ( внешней поверхности диа кастрюли, если тслшина его а' = 2 мм. Потерями тепла пренебречь. Решение: Количество тепла„которое поучает кастрюля за время г, (т — т„)15г — .

Т. к. по условию потерями тепла можно И пренебречь, то Д=пл, тогда по закону сохранения энер- (1-Гк),ЮГ гии " =гт. Отсюда, с учетом того, что площадь д2 диа кастрюли 5 = —, температура внешней поверхности 4 41гш дна кастрюли т= —,+г„=106'С. Лт0 г 8.14. Металлический цилиндрический сосуд радиусом 11=9см наполнен льдом при температуре г, =0'С. Сосуд теплоизолироваи слоем пробки толщиной И = 1см.

Через какое время г весь лед, находящийся в сосуде, растает, если температура паругкиого воздуха ~, = 25' С? Считать, что обмен тепла происходит точько через боковую поверхность сосуда средним радиусом Я, = 9,5 см. Решение; Объем сосуда Г =Ы Ь, где Ь вЂ” высота сосуда, тогда масса льда в сосуде в~ = р1' =ряб Ь.

Количество тепла, 2 необходимое для расплавления всего льда в сосулс 2 Д = уп = дрлА Ь . Т. к. по условию теплообмен идсч только через боковую поверхность, то ее плошадь Л5=2гЛ Й, тогда количество тепла, проходящее через 400 (~, — г И2лЯ,А боковую поверхность за время г: Д= - '~) ' . По Ы~ 2(12 — 1! )АЯвг закону сохранения энергии црЯ = ' ~ ', откуда И арф ~ г = = 28,б часов. 2(1з -г,),Ы, 8.15.

Какую силу Е надо приложить к концам стального стержня с плошадью поперечного сечения Я =1Осм, чтобы нс дать ему расшириться при нагревании от ~, = 0' С до ~ = 30' С? Решение: Чтобы стержень нс удлинялся при нагревании, его нужно ЫЕЯ сжимать с силой Е = — — (1), где Š— модуль Юнга, (р Ж = 7 — 7в =1,аг — (2) — изменение длины стержня при нагревании. Подставляя (2) в (1), найдем Е = ЕЯаг = 71 кН. 8.1б.

К стальной проволоке радиусом г =! леи подвешен груз. Под действием этого груза проволока получила такое же удлинение. как при нагревании на Л~ = 20' С. Найти массу ш груза. Решение: При повыц сипи тел1пературы длина твердых тел возрастает, в псрвом приближении, линейно с температурои: ! =/„(1+аг), где ! и / — длина стержня соответственно при температуре т и Г„. Тогда относительно ное удлинение — '= — =аЛ(, откуда Ы=!иЛ~ — (1). 1 где а — температурный коэффициент линейного расши.

р ид рения. С другой стороны, по закону Гука — = — =— Е Л'Е 1 где Б = лй — площадь поверхностного сечения прово 4а — зые 40~ Ьи8 поки, Š— модуль Юнга, тогда Ж= —, — (2). Прирав- >тй Е нивая левыс части уравнений (1) и (2), получим l>>Я' л> ЕаЬ| аЬ| = —,, откуда масса стержня ьч = =15 кг. л> Е Я 8.17. Медная проволока натянута горячей при температуре (> =150'С между двумя прочными неподвнжнь>ьи> стенками.

При какой температуре ~з, остывая, разорвется проволока? Считать, что закон рука справедлив вплоть до разрыва проволоки. Решение: Длина проволоки при температуре ! и тз соответственно равна 1> = l„(! + а! ) и /з = 10(!+а!з). При остывании проволока укоротится на М =/> -1, — lоа(>, — >2) — (1), гдь а — температурный коэффициент линейного расширения. Проволока разорвется, если — > — ' — (2), где Е -'! Р~~.

>о модуль 1Оига, р„„„. — предел прочности меди. В предель- ном случае из (1) и (2) имеем а(т, †)= †"'"', откуда Е аЕ 8.18. При нагревании некоторого металла от !, =0'С до г= 500'С его плотность уменьшается в 1,027 раза. Найти для этоп> металла коэффициент лишенного расширения п, считая его посзояниым в ланном ш>тервале температ>р. Решение: Плотность металла при тсз>перазурс ~ равна р=т'! . тогда его плотность при температуре ~„равна р = т' !', Относительное изменение объема металла при нагревании 102 ш п~ ге Р Ря Р Р !~~' Р , или — = — ~-1 — (1). и Р Р' Р Ро ЛГ С другой стороны, — =ЬЛТ, где Ь вЂ” температурный коэффициент объемного расширения. Т.

к. металл изотропный, то температурный коэффициент линейного Ь л~' расширения а= —, тогда — =3а(г — ! ) — (2). Прирав- 3 нивая в выражениях (1) и (2) правые части, имеем — — 1 = За(! — ! ), откуда температурныи коэффициент лиРо г Р нейного расширения а = " =1,8 1О К РоуР 1 -5 3(! -г,) 8.19. Какую длину 1, должны иметь при температуре те = О' С стальной и медный стержни, чтобы при любой температуре стальной стержень был длиннее медного на Л! = 5 см? Решение: Для любой температуры длина стального стержня равна 1, = !с,(1+ а,!) = 1щ + 1иа,! — (1), медного стержня— 1э 1с7 ~1 + а,!) — !с.

+ 1ра,г — (2). По условию 1, — 1, = М 1ги — !ез — — М вЂ” (3). Решая совместно (1) — (3), получим а,1ги — — аз!с2 — (4). Из уравнений (3) и (4) найдем дли- Л!а~ ны обоих стержней при 1, = О' С: 1„= =11см, и — а 2 1 !сч =1ю +М =!бом. 8.20. На нагревание медной болванки массой п~ =1 кг, нахо- дящейся при температуре ~, = 0' С, затрачено количество зепло- ч03 ты О = 138,2 кДж. Во сколько раз прн этом увеличился ее объем? Удельную теплоемкость меди найти по закону Дюлонга и Птп, Решение: Относительное изменение объема металла при нагревании от температуры ~о до температуры г (сы. задачу 8.13) Л1' Р" — = За(к — (о), откуда — = За(г — ко)+1 — 11).

Количество 1о 1о тепла, израсходованное на нагревание болванки Ц=ст(г-1о), где с — удельная теплоемкость меди, ЗА которая по закону Дюлонга и Пти равна с = —, где и— Р ЗАи молярная масса меди. тогда Д= — (1 — го), откуда раз,а ность температур г — ~о = — . После подстановки послед- В ЗЪп него выражения в уравнение (1) окончательно имеем — = — +1 =1,02. а0д и, л 8,21.

При растяжении медной проволоки, поперечное сечение которой о =1,5мм-, начало остаточной деформации наблюдалось при нагрузке Г = 44,1 Н. Каков предел упругости р материала проволоки? Решение: Пределом упругости называется минимальное давление, при котором тело, после снятия нагрузки, уже не способно вернуться из деформ ировай ного состояния в первоначальное. По определению давления найдем Г р = — =29,4МПа. о у 8.22.

Каким должен быть предельный диаметр Ы стального троса, чтобы он выдержал нагрузку Е = 9,8 кН? 404 Решение: Чтобы трос выдержал данную нагрузку, необходимо ~д! выполнение условия: — <Р . где Я= — — плогцадь 5 п1т7 4 поперечного сечения троса, р„„, =785МПа — предел 4Г прочности стали. В предельном случае — = Р„„„, откуда 4Р' Г или г!= — =4мм. 'Ч !них Чапа~ 8.23. Найти длину ! медной проволоки, которая, будучи подвешена вертикально, начинает рваться под действием собственной силы тяжести. Решение: Чтобы проволока начала рваться, необходимо выполнение ИЯ условия: — > р„,„,, где ги = рР = р5! — масса проволоки, р„„, = 245 МПа — предел прочности меди. В предельном случае р8!= р„„„, откуда != — """ =2,9км, Ж 8.24. Решить предыдущую задачу для свинцовой проволоки.

Решение: Чтобы проволока начала рваться, необходимо выполнение л~д условия: — > р„„„., где ьч =,оГ = рЯ вЂ” масса проволоки, р„„, = 20 МПа — предел прочности свинца. В предельном случае рп! = р„„„, откуда ! = — """ = 180 м. Рь 8.25. Для измерения глубины моря с парохода спустили гирю иа стальном тросе. Какую наибольшую глубину ! можно изме- 405 рить таким способов!? Плотность морской воды р =1 !О' кг/м". Массой гири по сравнению с массой троса пренебречь. Решение. На трос действует сила тяжести, направленная вниз, и сила Архимеда, направленная вверх, поэтому (см.