Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 11

Подстат~ вг — и вив (2) в (1), получим —" =,; —" =1,25. Ик! ??! (и+?2). Ик! И ?!2 В2 (у! — и) Ю к2 высоту Ь поднимутся шары после удара, если удар: а) упругий; :б) неупругий? 'Решение: Систему шаров будем считать замкнутой. а) Упругий удар. Пусть ~, — скорость пер- Т вого шара в момент удара, ч,' и ~,' — ско- О рости первого и второго шаров непосред- Т ственно после удара. Согласно закону сохранения импульса тр, = тр,'+ л1р2 — (1). ту Если принять за нулевой уровень потенциальной энергии положение равновесия, то при отклонении первого шара он приобрел потенциальную энергию т,дЬя, которая после удара распределилась между двумя шарами, сначала перейдя в кинетическую энергию, а затем, когда они отклонились на высоту Ь, — первый и Ь, — второй,— в потенциальную: т,дЬ, = т,дЬ, + т2дЬ, — (2); 2 Ф и д~ тР~ (3) т ~Ь п~ ~1 (4) т,дЬ, = - — (5); Из уравнения (2) т,Ь, =т1Ь,+ "'2(~г) + т2Ьз, откуда Ь, = — '(Ь, — Ь, ) — (6).

Из уравне- тз ний (3) и (4) выразим скорости шаров: ч, = ~2ф~~; ч,' = ~2фг,: ~', = „~2дЬ, . Подставив полученные выражения в (1), произведем преобразования: т,~~2ф~~ =т~,~2ай~ +т2~~2дй~, т„~Ьс =т,Д +т2,/Ь2 или с учетом (6); ~п,Д=пг,Д+нт, — '(Ь -Ь,); и тЦК вЂ” Я~Я,,~К-Я;, Я вЂ” Я'= х(Ьс -Ь,); и, 'Ц~го —.~Тг, ) = т2т,(Ь вЂ” Ь ); т, Цйр -Д)= 89 =.,~® —,/Ь,); „~Ь,(т, —.1,)=Д(ул, +т,); Д = ,Я,,) 2 ЬО (177! — иг ) ЛУЪ -Унг отсюда Ь, = ЬО~ ' 2 ~; Ь, =0,005 м. ЛУ! + 012 ~ п71 +из Тогда из уравнения (б) Ь, =0,08м.

б) Неупругий удар. Потенциальная энергия первого шара при прохождении положения равновесия перешла в кинетическую энергию, 2 пгггу лг!фгО = — — (1), где г — скорость первого шара в нижней точке. После соударения шаров по закону сохранения импульса т!г = (т! +т,) и — (2), где и— скорость системы двух шаров непосредственно после удара. Кинетическая энергия системы после отклонения шаров на высоту Ь перешла в потенциальную энергию, (1+ 1).и' =(и,+лг ) дЬ вЂ” (3). Выразим из (1) гу и подставим в (2) в=„/2дЬ~; т1~2~Фт, =(и, +и,) и, откуда т,-~2дй 71= ! О, Подставив полученное выражение в (3), ууг! + тг (771 + 1112)111, 2КЬО получим -" ' =(и, +и,) дЬ, отсюда 2(ууг! + иг) 111,2Ь, Ь= ' ',; Ь=002м.

(пг! + 612) 2.80. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, н застревает в нем. Масса Ууули в 1000 раз меньше масеы шара. Расстояние от / центра шара до точки подвеса стержня 1=1 и. Найти скорость г пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол а = 10' . 90 Решение: Силу сопротивления воздуха не учи- в тываем, следовательно, систему «пузгя — шар» можно считать замкнутой.

а Запишем закон сохранения импульса 1 1 ц закон сохранения энергии для данной системы: гигг=(т+М) и — (1), М гпу .где и — скорость шара вместе с пу- 1г лей после удара. В результате взаимодействия шара с пулей, он приобрел кинетическую энергию, которая после отклонения стержня на ~а перешла в (ггг+М) и потенциальную энергикг =(ги+ М) ~1г — (2).

2 ггггг лги у Из (1) выразим и: и= , или и= = —. Из ггг+ М 1001гн 1001 и У (2) получим: — = д)г,, = 81г . Найдем 1г: 2 2. (1001) ВМ=1соза, 1г=1 — ВМ; 1г=1-1соза =1(1 — сока), тогда ю=!001/гггт1- а~. =550 Ыс. 2.81. Пуля, летяшая горизонтаяьно, попадает в шар, подвешенныгг на невесомом жестком стержне, и застревает в нем.

Масса пули лг, = 5 г, масса шара ги. = 0.5 кг. Скорость пули гг, = 500м1с. При каком предельном расстоянии 1 от иентра шара до точки подвеся стержня шар от удара пули поднимется до верхней точки окружности? Решение: См. рисунок к задаче 2.80. Запишем закон сохранения импульса и закон сохранения энергии для данной системы. (гггг + гг' ) ' ег яигггг =(т, +гггг) вз — (1); - - =(лг, +гггг)д1г — (2), где ез — скорость шара с пулей после удара. Высота, на 91 2 которую поднимется шар 1! =21. Из 12) — ' =2я1, откуда 2 2 »г т!»! л!,'»,' 1= — '.

Из 11)», = ' ', тогда 1= 4д т!+т, (и, +н!,) 4д 1 =0,б4 м. Решение: По условию — =/с. Количество теплоты, выделившееся »2 »! убыли кинетической энергии молотка 2 = — ' 1Р', = —. Т.к. »з =Ь то иу!»!, л!!»2 '2 '~ 2 !и!»! 1 — 1 2 прн ударе, равно 0 = И'„.! -6'„~, где 2 т!»! Й !и!»! д ! ! ! ! 2 2 2.83. В условиях предыдушей задачи найти импульс силы гЖ, полученный стенкой за время удара. Решение: Согласно закону изменения импульса ГЫ=л>!»з -и!!»! в проекции на горизонтальную ось /тЖ=т!»!-(-т!» )= =т,(», +»,).

Учитывая, что»з =Ь,, ГЖ=т!(»!+Ь,)= = т!»!(1+/г); ГЖ = 0,75Н с. 92 2.82. Деревянным молотком, масса которого т, = 0,5 кг, ударяют о неподвижную стенку. Скорость молотка в момент удара», =1 мlс. Считая коэффициент восстановления при ударе молотка о стенку й = 0,5, найти количество теплоты Д, выделившееся при ударе. (Коэффициентом восстановления материала тела называют отношение скорости после удара к его скорости до удара.) 2.84. Деревянный шарик массой и = О,1 кг падает с высоты Ь, = 2м.

Коэффициент восстановления при ударе шарика о пол я = 0,5. Найти высоту 6,, на которую поднимется шарик после удара о пол, и количество теплоты Д, выделившееся при ударе. Решение: Потенциальная энергия-шарика л1яЬ, в момент удара о пол лгу! переходит в кинетическую энергию: лцЬ = — — (1), 2 где 15 — скорость шарика в момент удара. Когда шарик отскакивает от пола, он обладает кинетической энергией 1 з 01у5 лп — '-, которая переходит в потенциальную л1яЬ, = — ~, 2 2 А глу, По условию 1, =Ь,, тогда и~Ь, = — ' — (2).

Из у, /с у уравнения (1) я = — ', из уравнения (2) я = — ~. Прирав2Ь, 2Ь, у1 ус 111 2 2 няв правые части уравнений, получим — ~ = — ', откуда 2Ь, 2Ь, Ь, = к'Ь,; Ь, =0,25 2=0,5 м. Количество теплоты, выделившееся при ударе, равно убыли потенциальной энергии 0= им — !арпа тЯЬь — РЩЬз т8(Ь~ — Ьт) 0=1,47 Дж. 2.85. Пластмассовый шарик, падая с высоты Ь, =1 м несколько раз отскакивает от пола. Найти коэффициент восстановления Й при ударе шарика о пол, если с момента падения до второго удара о пол прошло время г = 1,3 с. Решение: Падая с высоты Ь,, шарик подлетает к полу со скоростью у1, а отскакивает от него со скоростью у, = Ь, .

Согласно 93 н!у! 2 закону сохранения механической энергии пщЬ = — и 2 !727з и!~Ь, = — ', откуда ! ! = „/2дй,, а ! з = ~2,ф, . После поь, „/ь, членного деления получиь! — '= — '= / — 'е Ь2 = Ь Ь! ° ~у, к, $ !! ! Промежуток времени с момента падения шарика до второго удара о пол г=г!+2тз, где г! — время падения шарика с высоты Ь, и гз — время падения шарика с высоты Ь,. Так как г! = — ! и г, =~ — ' =Й~ — ', то Я Ы Ы 12Ь! т-.„Г2Ь, /у г =~ — !(1+2к); отсюда 7г = " ' „1с =0,94.

~( я 2 ~2Ь,,~'д 2.86. Стальной шарик, падая с высоты Ь! = 1,5 и на стальную плиту, отскакивает от нее со скоростью е, =0,75 а„где !~!— скорость, с которой ои подлетает к плите. На какую высоту Ь, он поднимется? Какое время ! прон!лет с момента падения до второго удара о плиту? Решение: 1 ип, Рассуждая как в задаче 2.84, запишем ш.Ь, = — ' — (1); н!!~ 0,75 ик! пгяЬз = — ~= * ' — (2). Из уравнения (1) имеем 2 2 г и я1!! у! ф~! = — — (3). Из уравнения (2) — ' = — — (4). Тогда 2 056 2 — - '=дЬ!, откуда Ь, =056Ь!; Уг, =0.56 1,5=0,84м.

Время Ь, 0,56 г можно разложить на трп составляющие: г! — время от 94 йачала падения до первого удара о плиту; Г, — время от первого удара о плиту до подъема на высоту Ь,; г,— время от начала падения с высоты Ь, до второго удара о плиту. г=г, +г, +г,. Скорости шарика на этих участках: Дя~, 12Ь, д, =у„откуда г, = = — ', с учетом (3);~, =8г„ Ы Ы откуда гз =0,75г,,т.к. по условию ~ =0,75ч,; ю, =~, =у,, 12Ь1 следовательно, г = г, + 2 0,75~, = 2,5г, = 2,5 — '; г =1,4с.

8 2.87. Металлический шарик, падая с высоты Ь, =1м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту Ь, = 81см. Найти коэффициент восстановления А прн ударе шарика о плиту. Решение: Воспользуемся уравнением (3) из задачи 2.84 Ь, =Ь Ь,, 2 отсюда Ь = =; Ь = 0,9. П, ~Ь,' 2.88. Стальной шарик массой гл=20г, падая с высоты Ь, =1м на стальную плиту, отскакивает от нес на высоту Ь, =81см. Найти импульс силы Рдю, полученный плитой за время удара, и количество теплоты Д, выделившееся при ударе. Решение: Рассуждая аналогично 2.84, запишем тдЬ, = — ' — (1); лн, 2 ~~1 тиЬ = — ' — (2).