Курсовая работа: Симметрические многочлены

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 3
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПОНЯТИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ. 5
1.1 Определение симметрического многочлена. Виды симметрических многочленов 5
1.2 Основная теорема о симметрических многочленах. 10
1.3 Теорема Виета. 13
1.4 Теорема о возвратных многочленах. 14
Выводы по первой главе. 16
ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. 17
2.1 Упрощение выражений. 17
2.2 Решение систем нелинейных уравнений. 19
2.3 Задача о квадратных уравнениях. 22
2.4 Разложение симметрических многочленов на множители. 23
2.5 Решение возвратных уравнений. 24
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 26
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК. 27

ВВЕДЕНИЕ

Симметрические многочлены имеют широкое применение в теории чисел, алгебре, геометрии и других разделов математики. Они позволяют раскрыть вариантность алгебры для практических приложений.
Одним из самых сложных для школьников разделов алгебры является решение систем уравнений высших степеней общим методом решения систем уравнений высших степеней. Он не столь универсален, как метод исключения, так как может быть применён не ко всякой системе. Однако этот метод применим к большинству систем, с которыми сталкивается школьник. Метод, о котором идёт речь, основан на использовании теории так называемых симметрических многочленов. С помощью симметрических многочленов можно решать различные алгебраические задачи: решение иррациональных уравнений, доказательство тождеств и неравенств, разложение на множители). С помощью теории симметрических многочленов решение этих задач заметно упрощается и, что самое главное, проводится стандартным приёмам. Всё это делает актуальным выбранную тему курсовой работы.
Цель исследования: изучить основные понятия теории симметрических многочленов и показать примеры их использования в решении задач.
Объект исследования: теория многочленов.
Предмет исследования: симметрические многочлены.
Цель и предмет позволяет сформулировать следующие задачи:
- определить понятие «симметрического многочлена», рассмотреть виды симметрических многочленов;
- сформулировать и привести доказательство основной теоремы о симметрических многочленах (с двумя и с тремя переменными);
- показать применение симметрических многочленов при решении задач алгебры.
Теоретические основы исследования:
- теорию симметрических многочленов описывали в своих работах В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин [1; 2], С.М. Рацеев, О.И. Череватенко [8];
- методы решения алгебраических задач с помощью симметрических многочленов рассматривали M.В. Волков [3], Э.Л. Махмудов [7].
Практическая значимость проведенного исследования заключается в том, что рассмотренные методы решения алгебраических задач с помощью симметрических многочленов будет интересно учителям математики школ и студентам математических специальностей.