Вопросы/задания: Экзамен - Теоретические вопросы (42)

42 Вопроса к экзамену, расписано в ворде, идеальное качество. Пример файлы ниже, список всех вопросов после примера:

Часть 1
1. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности.
2. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.
3. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций (доказательство для функций или последовательностей по выбору).
4. Теорема о пределе сложной функции.
5. Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел.
6. Теорема о предельном переходе в неравенстве (доказательство для функций или последовательностей по выбору).
7. Теорема о пределе промежуточной функции (доказательство для функций или последовательностей по выбору).
8. Теорема о дифференцируемости сложной функции.
9. Теорема о дифференцируемости обратной функции.
10. Теорема Ферма.
11. Теорема Ролля.
12. Теорема Лагранжа.
13. Теорема Коши.
14. Теорема Бернулли – Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.
15. Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа (формулировка и доказательство соответствующих теорем).
16. Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания дифференцируемой функции.
17. Достаточное условие локального экстремума функции по ее первой производной.
18. Достаточное условие локального экстремума функции по ее второй производной.
19. Достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции.
20. Необходимое условие для существования точек перегиба графика функции.
21. Достаточное условие для существования точек перегиба графика функции.
Часть 2
1. Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности.
2. Ограниченная числовая последовательность. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности. Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности.
3. Определения по Коши конечного и бесконечного предела функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции. Определение предела функции по Гейне. Теорема о связи двустороннего предела функции в точке с односторонними пределами.
4. Теорема о единственности предела функции.
5. Ограниченные и локально ограниченные функции.
6. Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой.
7. Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых функций.
8. Теорема о произведении бесконечно малой на ограниченную функцию.
9. Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.
10. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.
11. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функциях.
12. Непрерывность функции действительного переменного в точке. Теорема о непрерывности сложной функции.
13. Точки разрыва и их классификация. Доказательство непрерывности функции y=sin x.
14. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
15. Производная функции в точке. Касательная к графику функции, геометрический смысл производной. Вывод уравнений касательной и нормали к графику функции.
16. Дифференцируемость функции в точке. Теорема о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной. Связь дифференцируемости и непрерывности функции.
17. Дифференциал функции (определение, геометрический смысл). Инвариантность формы записи дифференциала первого порядка (с доказательством).
18. Сравнение на бесконечности порядков роста показательной, степенной и логарифмических функций.
19. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций: е^x, sin x, cos x, ln(1+ x), (1+ x)^a.
20. Понятие выпуклой (вверх, вниз) функции (ее графика).
21. Асимптоты функции.