ДЗ 5: Дифференциальные уравнения (Кузнецов Л.А.) вариант 5

Распознанный текст из изображения:

м1„ача

(» - -»- 3)'

=- (« —: 31' ' = Л(,2 —",

»! .»«! В! !'»В«к*,Ь1~!и '.— ' п(»»»гг1»к»л

с га! и а.

5!Н111Ферегнг!!г!.Ниыс ура!»пения'ЗПВЗ

Дагчг11яй к!Втсрг1гк! ног!го!Огк!сн на пргппгипак информацишшок»»нсулкгапиониО! 0 к1В1с»тиала 1.' п»!лью зак)зепления *»' 1икольн иков и 01«ьсп10В нав!»!кт»н«1!Ракгв1»гсской 1«егпиг1»аг1ии' з15аниЙ. Нриоо!Ке!»НИ!як в г»»б1ьсч«!0» курса иб тема «'Дифферснцг!г!Иьпые уравнения»:. 1«ас!к»яг!(ий магериап предусматривает широкулг» вариативность приемов и и !ОЛОВ закреплен!151 нс1лн010 кг)зеа в Объеме семес!)за ио раздел!' »»Лиг(11150)зенпггаг!ьп1ие «)ВВВнени51И В 1(Высптей магемгпике». Рекомендуется изучение;ганного материала в сопостыкении всего объема предло»жепных решений.

! 01й 1 и ОО!'н!Й»н!!с! (»11.! Иг»г(»1(»с(«снииг»л! Н»»~ » у(»»ии!Он»!5!

(()1ВСГ ИР» ДС!,НИ !!. В ИИД»

бтй — 0»й = 2» ! й — Зт» й

Д11инос '1«ВВИС1Н1с 51В.!5»е гся урависч1ис»!». 'Рггзз10.15Н»и!15!«1и''5»

нсрсмс»н!ь!м1», 1!(»0»к»»»;!И«см е! 0 к слс,1«и»И!ем«Вид«:

6.Ыл+Ззт (« =- 2.г» (; — 01й

йн!НН1 м,ги11К(1е)т иииа:!ы. Ьппг ооип1»." »ногкич»'.!и!

Зятек 2«:»!ъ

З.т(2 ь у' ]1!« = 2у(з — . '3)й: =-

(х +3) 25 у'

Г!роиите! рируем лев«и» и правую час ги вы(зазксния:

3»й - 2уй ~1.55(( « -ь 3) р((1 + 2)

(К, 3) 2-", !' " К -ЬЗ 0+1*

Взяв эти иитсгра.1ы, мгя получим общий интеграл Ванно!»»

уравнения. т. с. Совокушюсть рсгпеиий в неявном виде:

1.5! и к —,'-3: '= (п 2+ у' ,- С'

1!ривсг1см решение к требуемому ви,:г;:

1. 51п'к + 3' = 1п 2 —; -'- С' ~

Распознанный текст из изображения:

—:.,'1лып -'- «

1пдпча !1

1ййти реп«ение !«с; Р!и*.!'.с«и[и,

= 32совуспп' «

у!!) =: и '2

р'р = 32совуап' у

Ответ: у = агссГп14 — 4х)

рд!з = 32 сов увш ' ус1у

4~иГн)«спи$Н1ы,1впшс «!«««пп.зйо«. Ваппапз 3«.

у'11) = 4

11ронзвсдем сиедуюшую гамену пере«пенной:

бр с)р бу

." = р«у)

пх ««ъ' бх

Залише«п уравнение в новых переменных:

Перейдем к уравнешпо с раздепягоши«вися переменными,

Йр

учитывая. по р'= —:

бу

Прс«инте«ппп«см и'в«ю и лпав«н: «а; "и «равнения. 1!м)р =- ~. сов уч и «г!у =Вв!и у — (. ="

. !п4««!««««спи«««п «нные «йтп«п««п«п пи. 11а)л)а«яз х

асио и.'«««и вече« вч «[1! =:, *' 2 ',''1! «

4 =-:16епл"; — ! — С' =. С' = П =' у' — 4в!и у: —.

«1«1

=. — ----- = т)х ==> х + В =- — — с!' «: 4ып

Определим значение константы В;

уП) =- и'2 =.->1+В = — — с!п~ — !=-~ В = — !

4 "1,2)

Таким образом:

у = агсс1й~4 — 4х)

Распознанный текст из изображения:

— Р х — !'х

б!дхе ' — 6'!с

Гттв«!:

1"

,, "!! !1!21! 1 !Ь и! - г *' ! ~*'. ! ! н ! ы «' " и го ! ! с ~ ! ! ! н . 1!я !2 н ~ ! н !

1 !!!и!! н обн!«'.' р 'н! 'н1!с д!!'!!'!!«ренн!!! !ьно!" ! ! ршн!с!1! !я

д! о н«о,н!огк!,шо« . !н!лс!!г!о«' д!н!нЬсрсвн!!ан нос «!лани«ни«' 4-!о,'ь!ря;н'я. ! !о !хн!снн«явдяс!ся «зимой об!г!с!О !'е~!ения о,н!о!гк),н!о!» уран!н:ння и часпнн!' рсн!сник нео ш«ро.наго, ! 1айдем мошес решение. ддя чс! о «остшним характсри«!нчсскос ург!ннснис:

а' — а ' =- 0 = и, ! = !'!. а = 1

Тогда г!Йн!сс решение пуде! вь!гт!ги!егь так: у = Л - Вх -.- С'х -ь ГЗс'

Геперь нам нужно найти частное рсшеш!с неоднопо !ного

уравне! н!я. Буг!ех! искать его в сдедугощсх! виде:

у= х'!ах л- Ьх '-с)

По !став!лв д!о выра!к«н!ис в исходное уравнение. и!!:!5 нля!

следу!о!цне значения козффиние!пов а. Ь и с:

5 25

12 4 3

10!,!!и поднос 1)сшс нис .!н!/!.".)соснин!лы!о! !1 5рн!в!'«н!ля

огдет ! а!«н1!.

у = А Н х . ! 'х ' «н !З«о—

3

,г!!.,~!!нч)ен2!!нь !ьб!2 !с !'о;!и!!ения. !На!н!т!г!

Иа!!л -"'' сс1"'ис 'и'Ффс!"-' !н.''««у!'» '«-'.

у"' — Зу" -; 4у -- !1кх — 21)с

'Эт!! нес;цюро нн!«" дипсйш!с диф!рср«гни!аньнос л равнапш

по1зя,!ка. 1-! о р«н!ение яв!!ясгся сЗммой обн!с!и

решения одн !родни!о уравнения и частного рс!н«ння

н!.'о;!породного:

У = У, -!- 1 ~

Найдем о!би!сс решение, ддя че! о со!с ! авнм

хггра!«те!з!!с.! !л«!еское !равнение:

). — Зл. л- 4 = Н

1корни харвктерисгг! !ескгтго уравн«ния:

!и =-1 х! =' !.! =2

Тогда общее решение однородного дифференциег!ьного

уравнения будет вьггпядеть сне!гунн!ш!и образом:

у„, =С, с'+С, с-' л-С.'., х е!и

Найдем !нотное р«шение неоднородного уравнения. Ьудем

искать его в ст!еду!ошсы виде:

у,„= х(!л+ Ьхл!е '

Заашшем первые гри производные зтгн о решения;

у „= — атас -- сс — Ьх е ~- Ьхе

=,гкс ' — 2ас - Ьх с ' - !Ьхе

," = -ахе ' -- ас ' — 2;!е " - Ьх е'" — Збхе ' — 4Ьх«

Распознанный текст из изображения:

1" + 2хи-г5я =- — а!и 2х

) 8Ь:=- !Х

; ра — 12Ь = -21

Р!2) =-л +2л+5= О

)а =-! !Ь=1

~. = — 1 21 А, == — 1-, '21

у „, =- х)х — !)е

1нф(Ьсиси ива. гг огас '1 1!'~и~1сиин. 11а)и!*1.' '

! )и '; ~ гаи: ~ "!,!с; и~к.' ', и'~си~и' х исто инге ' сини и

иай.) 'и и!' я)'~Ь1~ч~ич! ~1~ '. и

.— их: ' —, зас -- Ьх ' ' — г11~хс ' — о!м ' и ахи — 2ас

— Ь: с"' — 4Ьхс ' - 1с ')-ах)а -, 'Ьх)с =-110х --21)с '

х ! -Ь -- 1Ь вЂ”: 4Ь !с ' — х ! — а —: ЬЬ вЂ” За -- ! 2Ь вЂ” 4а 1е

!Ла — ЬЬ-. Ьа — ЬЬ)с ' =- !1Зх --21)е

('осгаии1хг сне~ему ия двух урависнигп

Решением отой системы с1удут следугопцге чна гения а и Ь:

Подставим ати «начення в фо)амутг1 ддя частного решения

исо.шороднсп о уравнения н наг1лем сто:

1о, 'ли видное рси~-:.пне сигффсрс.шиа.ниии и уравне~ вя

0~лет так1гм:

— с -С с ' — ( х с'' — 'х!х-1!е

1ийчЬсогчниис гвири' '. Ра1виснин. 1>'байи н~ г

11айтн гипсе регпснис диг)1г',~ерсиииааьного уравнения:

3~о иеоднорсшнос ни~с!)иос днффсргиигнаиьное урлшсине и 0 ггорядка. ЬЬ 0 ргяиеиис ягс~яе1ся стммо!! оошсго решения однородного уравнения и гасгпо1 о решсшся неоднородного:

Найдем оогцее решение. ддя чего составим

характерно гнческос уравнение.

Корни харак ~ ернстнческого уравнения:

Тогда оои!ее пеи1ение однородного днфференннадыии.о

у)~авпсния оудеа выгнядети сдеду1оитнм обрааом:

11аг1дсга часнше рс!исги1е неодио)ягдиси о «раннеин»:

Распознанный текст из изображения:

7«псачн

! «.Ов 2х — 1Я1и .:;

— !и

: !«1«?Я2х - ! Ян!",хИ1-4!) '

1П!

1 — !4сО:2х- м!«2х)

17

у = у,, -!- м„„

Р!Х) = ).' -? 4 =- 0

)м = +21

у „=-С ООЯ2х '-1,«нп2х

«

. ! 121!!н!1«**!сч1«11«.!««! .'«, 1.* «нан пеннн. 11Я121010 !

«". 2 '-.Я« =

, !'!21!

! Огда !!бн1ее !?«пнсн нс «! удст '1«н«н?1:

1

Я =-т«, +:, = С'««'. "сов2х+ С",«'. ' яп2к -'- !4сов2х — в1!?2х)

17

!

Ответ: у =С с ' сов2х+ С:.е ' Я!П2х-? — - !4сов2к — Я!п2х)

17

,.«*1ф«',««'П~;.Н1«НЯ.1ВНЬН«««ННЯВН«?НП«1. !!!«РН!!1!1 ."'.

1)а!«1?! «««и!!!се !«сипение Гнн!«фс)«сип11:«Г«!.«!««1«« ' ра!«Пения'

т"-: 4«„=- НЯ1«1 к — !'?совх — '4с '

:)т0 нс0,1н««!?Одно«! *!Ннснн««е д!!фферс!?п!1а:1ы!«1с «р«!Ннсн!1«".

-10 н««рЯ;«ка. !!1«! ре1ненис Яв.!Яется сух!«!ОЙ ««Синс!'О !Яенгення 0 н101«к!дно!0 у!Яавнения и ч«!с!но!0 р«ч1гсння н еодн««!тпдн01 0:

Найдея! !1б!Нес решнени. Для него составим

хара!«те!тпс! н чсскос уравнение:

Корни характеристического уравнения:

'!2!Гд«а ОСнпес !те!Пе?!Не О.!Нородно!о д1?!11!Не)те?!1Т?н!Нино«с«

у)зав??ения Омд ет вьп:1ялеть спед' 101пим Ооразом.

11 ?1.?с«н ««ас1!Пт«реп!ен?!е нес.!!ПородиОГО «р«!Нн п?11«.

11пименнн «1рннп!н! с'««пе!Опав ««и!?!. Г!Нй) ?с«! ' !«стн!1с !Яе!Не«н«я 'П1я к!?!«?01с! '.н!Гас«1«н«11 01«Г«!н !я1««пн«х 1„д н«,!«д

« "«'*

Распознанный текст из изображения:

Е, =- ЬХ)П ) .-1П

р )

ЬХ!СОВ Х вЂ” )МЛ .Х!

рс"

) "— 9''' -~-1 Ям-- 1 — , 'с

уЕ')О)= О

у )0) = О

4е' е '

у" +4у=4е"; у =

Р!З 2

2 — 02 -?18 = 0

~,) =6 Р =3

= 2ХСОВ=Х вЂ” «ГИП ° Х +- —- )

..) Иб)1~и о) Пипа.н,пь)с ) ннн)0 )~ОН. ?2)1)рня)1) б,

— ОХС' !

у" — 4у = -бсоз2х: у = Ес

Р'Е2!!

— Е)хЕсоя2х --1Я!и 2х') ', .3

р.с, '- — — -'- --- — - ' — ! = — х Вп! 2х

4!

О 01т!ясно )!!з?1)!?пн1у с) нерпе)з!1!Н)н. '!астнос реп!е!1?)е неол!Ороднсн'о уравнения будет равно сумме частных ]зеп!с?!?! ?! д.'!я ка)кдо? О Гх!ВГаемо! О.

'1 о)д?! обп!ее реп)Е)ГИС Оуд.'1 )ЫИЯ);

) = у, — я ='1, Озя х -' !2. ВП1 х — х соя 'х — х!1п

.. ?1!Вне) )! оси )е н а, 1?* н) ) е ) и я р и с и и я ..! 5;и) п))п 01 '),

),)'1„!

~ 0112)и реп)сннс за та1п Ко))н):

)то нсодноро5!нос )п!не!т!Н))е,!Нфферен!Н)ВЕН,НС)е уравнение 2-1 о порядка. !.'Го правая -!)с!ь !Икона. '!го Гас! Пос решение )'Го)0 уравнени51 нельзя !Та!!ти мсг?з„'еом нодб)о)ра. 1!а!Едем Оошес !з пеепие. для ч!".ГО сост?)Виъ) ха1)аес!ариев.!еское уравнение)

Кори)! характеристического уравне?!ия:

10Гда с)бпеее р!."шее1и) Однооо'!?!010 диффеезенп!1)п)ь!)ого

'раВпення бхг!е'Г ВЕЯГГ151дет) с'Ес'!у!0)пих! Г)б)рс130хп

!1ж1дсх' час!?!о' решенно псоте)е))рот!Пе)!'О у)х)зне?п)5) )зспо!ьз' я д:1я ВГОГО ые;От В)рнапи11 поопзводьпьь'

Распознанный текст из изображения:

Г (':.'.: С. (х .

С, (х)с ' — (' (х)с ' ==.]]

= ]п(с ! — ]]и 1 — е ' ) - Л

С, (х)с"'+С, (х)с ' =О

С,, (х) = -е "С. (х)

]]

с

!1]] ]]оянх],(гни] нги ]с.н,н]]с те ]о;.]и,"

Вместе с т!та]]пениса]. почт'"]]]алн]]]]ся после нодсиа]оияи ]1]ы]ч]т]н]н! ]Ф) в исхо и ]с .нн(] )]с!зен](и]].(ьно]е у!Жвнснпс. мы поду гас]и следуьсннук снег м] уравнений с .изумя нензвссп]ы]ии:

Ое" 6С'] (х)е"'+ЗС, (х)е'" = —--- 1-' с' '

Выразиги С]'(х) через С» (х) с погиощыо первого уравнения

атой сне']вы] и

Иснодь швав вто1тое уравнение свете" ]ьь нол)еники

сл е,.() ы]ш ]» выражения:

В о,ги выражении В з]о я]]нег]н]га, 1сг]ерь н]](]дсх] С,(хй

,)н]йй]~ пенни!].]ь(ОО]]2 ] и ](]Ос]!)]я] Ья]п]ан г .

!

\ ]

Л вЂ” зто ]аяя]е яонстап]а. 1!оде]анни С,(х] н С.(х)

выражеш]е ддя у:

у =- !Зх — 1п(1ч-е') -:- Л)с"] —; ! — !и(! —,е"))з"

1!]тйдееи первого и!зоизводн)зо о] нодучеши]го выражения:

у' = Зе'(бхе" — 2е ' 1п(1 + с" ) ]2Ле" +  — 1п(1 --е" ))

Исходя из на ]альных условий. пай (ем константы А и В:

у'(О) = О ~ — 2 1и 2 ч- Л+ В = О =- Л+ В = 2 !и 2

у(0) = 0 ~ — с) 1п 2 + 6А + ЗВ = 0 = 3 А = 3 )п 2 ~ А = В = 1п 2

1огда решение задачи Коши 6]де] вь]гля]деть тик:

у = ~Зх — (]](1--е" ) — ', !п2~'" -'(1п2--1пД -; е")~

От нет: ' —:3 х — !л(1-ь е" ) -:- ]и 2 и" ' -' ()и 2 — й](1 — с" ) ь '

Распознанный текст из изображения:

1, ! а : !:.! '

!зып!я,ц.!Г! и'!к:

1

!' — и

и

3('!: .-11 — !! — 1 — 2 Зг — л

ГЛеласх! еще олн) замену:

л =и' — 'ц =-Г, !т

11олучим:

— з

1и!1!Фс~~~ ц! !и!, цьр! ц' "'пав!!ц!~и!! 1)апп!!!!!

1)а))! ! н ойцц!н цц !е! )1оз! льцффсрс!пи!альцо! о з ран!зец!!я

т

2! ' =-'-;.-- бх:-3

.Т

Зчо .!!и)!Фс)зс!и!ц;!.п,цое сравнение наЗьзвастся ~!лцор!цц!ь!з!

о!носнтслыц х и у. Ре!т!а!ь сцо с!!с,)мс! с помо!цыо

"-!елу!"~пец '!!"!сн!" !'ерсх!снн""':

!:=хя !' =:-'. т =='. 2(=+х )==. +б: —;3

па

Преобразуем ланнос уравнение. учитывая что = = —;

!!х

2хйс = (: ч-аа-~- зфт

У нас !ю!!у'и!лось уравнение с разде.!якпт!имися

пс)земец!1ым!ьь ! е!1!нм еГО!

!!х 2!(с с(х 2бя

х =- 4с+3 х (я+2) — 1

Проинтегр!!)зуеы левую и правукз части:

!й е !!'(я ч- 2) ! 2 а+ 2 — 1,'

-'- = 21-- — — — —. =~ 1п~х! = — 1и: — -',+ Г

х (=-:2)' -1 ' 2 ',ач2ч1;

Мы пол) ппи о!бцпий ин !еграл дифференциально! о

уравнения. 1)рслставим спо в вп,)е Ч'(хцу) = С':

2 '~- ' — 1,:=-'1' и+1

)их~= л)!з — -,'-: С вЂ” 1п.п=)!т::+ (3=-~ х =- А '

2,! —, 2-! 1

у

3

я —:!

-1

13 а!Ом выражении Л вЂ” ц)з!ц!!во.!ыц!я !пп; !ац!а.

. (ц!1:."ч!с!!с!и!3! !,!ьцыс з и!!кп!'цпч. )зй)п!:!и !

11!!и "ц о. ц~!ц! циз с! па! !!з!(и!!срсцц!!а.ц ьц'! !1 ) паицсцця.

1)а()лб~! з~, !я! !юрессчсц!!я прями!х ~ —, — '. — !: и Зт —; — ' = П..)зо зочка с ко рл!ц!д!тцц! )1.') 1)срсцссех!

на !а;ц! !зоор:цц!,и в з!! пьч!;~. т.с. сч«.!доз! !,!ме!и и = !, — 1.г =-,! — 1. 13 новых цср.мсш!ых ра!и!сц!ю б! !и!

)ч~, 1-2!-'!' (~-1)

) + !я = — .— -'Ф т!

3 — ! 3 — ! 3 — !

с!!

11рсобразусм лацное уравнение,; цтвывая что !' =

1(!*

(3 — ))с1! ь ь

(! — 1') !

1)райн'!с! рцруем ле!зу!о и правую -!асти;

— — 1 ' =-~;3 — !. = 2 — (! — 1) ', = )п Ч' =- 2 1 — ' — — '—

(! -1!

д(! — !

— — ==- — — — — !!ы 1 -:- !3 =:=' 1йт ! ! — 1) -:-- Г =

— ! — 1

2х — 2

1п,'и — с) —: = (.' =.' 1!ь! ч — я)' - — -- —.=. !

ц

1) эьох! и! "!х!",!сл!!ц! Л прои.! ! ь;"ч!я!ц)цсыц !и.

Распознанный текст из изображения:

":Агапа .'

Рс!и!! Гь за ш гг 1;оши

!адана 4

1',ай~и решение за снш Коши;

т впт 1 сов г

В = ! —. ' = !0.5х- -! 1И х - . ';

г

— — — — + 2.т. 1 1-1):= 3 ' '

Л

7

'/мо линейное ди~!)ферсппиадвнос .11авпснис. 1:го )гашение

наход?пся с помоинио !Решения соответствую!~[их

однородного и неоднородного )равнений. Сначала р шим

1

агшоролное уравнение ~ ' — = 0

г/1 '

1!реоо!зазуем данное у!зависпие., учигывая чго у = — '

г/т

аг с/т

): х-г2

Проинтегрируем левую и правую части:

г/!а —; 2) гг/у

— — = 1 — ' =~ 1 ~. + 2.', = 1 У -'; А =~ У =- а. ' ' 2)

х+2 У

Решим неоднородное уравнение методом вариации. Для

этого произведем подстановку;

У = Г!л)(х+ 2)

Тогда:

у' == С.'!х) — '1х+ 2)Г(х) ~

=--' С! х) —,'- ! х -' 2)Г(х) — С! х) = х- — 2х -'; х/х —; 2) =

=> '.'"!х) — -л =' С'!х) =-0.5.» -' /3 у = !О 5х —: В)!х--21

Я зпз,,„щцзаиснтги Я 1шоп. во шпая ~ и от*.цца

1

!н:!и! ~:Осмюлй.п пиг ~ и:.:.п~:, ~п,и !)а:чшпт ..

(сов2~ сов У вЂ”.т)У' =- и!и ~ сов;

Пресв раз) ем данное уравпглшс.

1 сов 2усо: '

,/г 1 ! х 'х

в~п усов г саа ''

(/х рт .т'

х!н/3) =1: 4

ф'

Зз о .панс!)пое дифференпиалз нос «равнение. 1:! о !аешсние

находится с помошвю )зсшения соотвсгсзвую1пих

одаоро цюго и неоднородного уршвнений. С'иа гаага решим

сделуюшес однородное уравнение:

1

т'+х — =О

в!и гсов г

аг Преобразуем данное уравнение.;чнтмвая чго 1' =- /г'

П!зоиптс~ рнруем левую и правую части:

Распознанный текст из изображения:

1'сн!ни, )а ))! н !.Оп)н

— ()п з —. ) ) 1п з Г(1) .= 1

,т! 1

— = — (п.)((п !. —:2)

)'

и =1) у ~ = ---'-= з(1) =1

1 огда

=Ф Г).т =- Р' Г)! = " + " = ! (! '

-ып' сояя я)п з с!!Нс ':!и Ясов'

Г1(соя' у) Г, 1 1

. И.5 ~ — —,— ' ' — " ' Г).5)! — —. — —,-- И((со: ))—

'(1 — сов у)Соь у (1 - сов )) соз' у

= 051п(сов' у) — 05(п((- соа у) Я В = )па = 05ш(соь! у)—

соа у

— 0,5 1п(1 — сов' у) л- В х = à — '-

ВН1 У

Решим неоднородное уравнение:

Используем я!Стоп вариации и произведем следу)ошуго

подстановку:

соа ):

япу

1, С'(у) сов у 1 С'(у) сов у

х' = — . С(у) н- -' — — я — — —,— С(у)+ я1п) у Б)п у в1п у а!и у

( (У) сов2усовтв

+ . -- — = — - — ("(у) = сов2у =О ' яп) у япу

сову

= С(у) = 0.5$тп2у ~  — х = (0.5в)п2у-- В)

.1П „':

Изгоя выражении В - произвольная )ГО)лс)ан)а.

5нлитн,ваЛ). нто х(п,'3) ==1,'4 по:)ун))см

Р— =-- х = (О 5 в!и 2:, ) — -"- -' = 0 5 . 2 Я(п у со: у -' -'-'= =- сов

а)п я

.': = сов 1. !.) н!ОСГн)СГ Гакгке Ге!Пс! Ис сов т =!!.

)СОНИЯ)ОС НР)Л:)Е))СН

)нн))л))с!)спн;).~.)д))ь)! Хпяп)н н(н;

1 *)).)с'п)1! Оос '!а~."1 и ) рав)н ния нй

111)н)звсг!сх! с.,!с;)т)о))))го заме)г Персис))нон:

Занин)ск! ) )рав))сш!с в е)оных персыенных:

,т —: = — 1п т((п т -.' 2) — .Г=' -Г з = 1п т(1п х + 2 )

1(роизвсдем епге о)ц)у замену перса)с)п)ой:

()10 неодноро'ы)ос .Тине!)ПОс д)л)рГ!)с(зсн)л)нз.)ьп))е уран)Ление 1-го пора:па). Рслназь его придетсЯ мего,)ом нроизвсльнон вгознацни нос!Ояннь!х. с)-1ь к01оро)О ак и и)асгся и )О:»„ 'Г)о) цсп)аеГся О"!но! О'нн)с с))авпснпс з зйт*'и )Гоне)11)Г)*.'. )!Оявивн'аяся:: .'0л па)с 1шге!; .')! !!Нн)ия. ~я ы;.:ляс)с) ;1)знкцнеи(: н р шас!Оя нсо:.ННРГ)гн)ОС !11)нн!Сян)с.

1) а)1(дохл с))5П)сг Гс))н:нн! ОГИ)Г!Полн!!, О ! р;)впс!ЦЛЯ:

Распознанный текст из изображения:

—, все х)!Ст; [2»п — 'ят)й:= и

0)с)о гя )п))),пея! С)() ):

6'(у) = О =~ 6(у) =- сопя

=)п х — В) х

6 гне

.(НП)~:,'.Кп! Н))пп)п;п)пс ) р;)!)и! Нпя. 1з,!')1В))! ) 1».

11срсй.)сп к»т)пннеяпп») с 1)ппп".Н)нппн)вися )!» реисппыян!.

,)я

У»)ИТЬ)В:П!. ')ТО

с)»

11роинтсг)»ирус)и лев) )О и прывуи) нв!.ти урвв))ен)п):

.! — — —.

--- =: — 1!)! =. )п,': = — ! — ' И) = = = С с '

Ре)пн)п )гсо,.пн)ро,:п)ос ) рпвнение:

Ис)п) )ьзуе»и я)е)т) т вг)ри)ппии произвопьпых постоянных \

произведя)и с )едун)тпун) ! !Оя!стяиовку:

= = С(!)е-'

'! огди:

я'= — Г(!)с''+Г(1)е ' =~

— С'(!)е ' + Су(!)е' ' + С(т)е' = т(!-н 2) -=> С'(т) =)(т+ 2)с' =~

С(!) = ~(()+ 2)е'й = ~т(1+ 2)с((с') = 1(1+ 2)е'—

— 2 1(! -,1)е'Й = )(1-н2)е' — 2(1н-1)е' + 2е' '- В =~

' Я = (1()+ 2)с' — 2(! +1)с н- 2е' +В)е ' = ! -; Ве

В зтоя! Вв)р)!)!»епии В -- произво.)вя)йя консты!тЯ.

Унп! ! ывпя. Ито:(1) = 1 ио.!» Ни)ет!

»)п)1)»1))»нс((пил. и)) )нп ) рхппсп!) я. Вп ))п)В;

11)й ! и Рд)пий нп !» г!»!))! Нп)!Н))с1)сп))п))п п»п о» р )Вн» пня:

'))и )рпнпеннс В по.п)),с» д))ФФерспп)п) )пх. ):)о рсшсппс спе;)ус! ))с!»Н)т), в вппс 1)(';,у) — 6(» ! — 6, Рпсс)п))рп»! !1)с)нкпи)о 1"!

7 = 1Г('г — 'увес п)пх = у)л." ):С.с) -';С"(п)

Г; = 2х) -'; )ит -!- 6'( ! ) == ).)з -)- щ =~

'1 огдв оС)п)ий интегр)!)! оудет выгля )етъ следунчпим

ооразояп

Б '))и)! Выр))жс)!и!! С .- Нрпизво.'и няя коне!пи п),

!)гн)*! ! —,, ))Ит = С

Распознанный текст из изображения:

За ю«[а Х

с[х) =-1[х) - — -[х - !

1 '1х)

1),—, [х):

11

.Л1!!5?:!Ви!?О? о,[?1ФФерсн!!!!1??и.и??? О, 1?аьи ген их мсз О [051 изок ?и!1 и!»с1»зонть Н1пс! ра. П*и» !О к)знвхю. Г1!Вохоляспхю

«!С)зс? !Т?«?кх:»«1:

! ' = ?м — 1)х. хг1[').Э! 2)

Воспользус='»!С5! ?см. 'Гп! " =1'-'! И?. Глс О у1од !как«п?на каса?сзн»!!ОЙ к н!!ГСГ)за)?ь?1«!Й криВОЙ В з?1!ГВ?НОЙ ?о»!к!.. !5арь!!)зуя ' ГО[1 [!.. мь! можсы 1?ос ц»опть посс наГЙ!ВВл!.ннй» а затем Г!)?свести через '!«!панн*»1О то'1км ннтсГ)зсо?ьну!О кривую. Формула лля ПГ!с!роения поля направлений дуле! выглядеть след) юп[нх! образом:

У == 1+ [а1?х)! х

На приведенном ниже рисунке построена искомая

?!Г!ТЕГ$И:?!»На?1 КРИВВЯ Н ЧВСТЬ В«.'К'10РОВ ПОЛЯ ПВПРВВЛСНИН

.'.[ля Г1?ех зна«1ений[ УГла Гх[Г л!4, 1), л'4):

,:,?1?1»',1!««Рс??1!Пй,?1»1?? !с» !?а?«ис??и?1. !».'?и1«и''1

! 1; Й О! .?ю)?и ',. Пр!Чи?»яис ь» ч? Поз 1?и?к» ' 1, и иб ?,'»,1!?!1»)??'. !«? 1сч сн~»йс1[?«зм '! и' ь ис»б[»Й с\." 1О'?к«М г!«~р!!«!.)ы! ь!Й В«'."к ГОГ М' с к»?ю«м ?а Осл)б)1 ??»!Сс?'.Ь??!Н1. !х?В)? И1«и»)образ!с[ ОС1;?ь!Н); ! О.) с ИО:1сжи)с.1ьиь[м ?1[?ир[?В«)си[?с»1 ?си [)1,

; )л«1ВП?Синс каса!с 1?ии'Й к функнни р[х ! В 1О'[к«.' хз:

у --= 1[к „) -ь ! [ х, )1 х — х „)

1 асс?И?!р[!ы и!зонин?:Иную то«!к) М». Прн1ГВ !!!сжаинсю

искомой линии:

М,[х»![х))

У)завиен!?е кас'пельной в ?очке М,:

уся) =-11') !'1 )! -- )

» равнение иормальнОЙ и)зямОЙ В 'зтОЙ жс точке:

) ь)а?)лс»? ! 1?1!Г» Г«с![то)»и

х

1

Распознанный текст из изображения:

.1,и5(и!!с!;-. и:ии!льиь!е ! 5!5(иие15ии. 1)я зи55и ! 5.

1)озис !Ох! !Я(!с !ас! и '1и чив!и ! Рс5:, ! о!ии5е!и.я Б кяа !Иа

,Х Х

и — х =--------;. =-' 1'(х) =---.—.— — 1. !лс!= 1 (! (х))

Исхог(5! Из т!З55й В5,!!Зазкс5и55!, Иайлех! !15уикцию 1! Х).

1 х г05!!(а —; )

Г(х) = ~ ..—.— т: — --=-). =-11"--з -::--==- =-1; -'-.'-' -С

х! а — х 'Ч' '! — Х

1ак как Мх! !з!З(зазует осг!зый угол с по.5озк!г!сльным

направлением оси Оу. то!

Г(х) =;!'и — х + С

Найпем С из услови55, иго 1(х) прохолит через заданную

точку М5!.'

М „(3,5) ! (3) = 5 — я 25 — 9 -я С = 4 + С = 5 = С =- 1

Таким ооразом, искомая линия описывается слелуюгцим

уравг!еи!!сх!:

1'(х) = х '5 — х — 1

От!хе !х,'; х ': -.-;, 25 — х-' — 1

! (!З(1З и !Ои!Зс си!сине хи!1!фсрсшиальик! ., равнения:

! !х!з ' —;' -', я!и

.у!х! гни|~фере!.Ииильиос ! равнение -!о !ю(зя !к:!. ! и!о и '

со !О(!Зк5г! и явном ниле з . яких! Оопп 50!!..5аи!им

,, и ~ффс(зси !зиа. !Ииос ' (гавиен ие 'ю и)скас ! !н!и5!И!К!и!е

с !еис!и! е и~ о!Оии ! 1 с !сл) к!ИхЙ зях!сяи ! и!и!емсЯиюй;

л= — м —. ' =З

'] о!Иа уран!иенце б) ле! Иыглялсть !х!к:

1~~(х(х' —; — 1 я!и '. = П

Ъо .шнс11иое уравнение. ре!пим с!ци!5!.н! ООО5веяст!зу!ощс

оппорояиос )ривиеиие:

г' — хс(о х == О

11)теоораз) см пивное) 15!г!знсиие. учитыва5! что х' = ~!х.'Я(х:

!)я

— = с(ях !)х

Мы получили 'рввиснис с разлелякипимися переменными.

Проинтегрируем левую н правую !асти:

~ х 'с(я = ) с!я х с1Х = 1п!х' = 1п!Я(5З х, ,'- А =~ я = С в(п х

11рименим мс !ол вариации произвольных постояши ии

и = С(х)я(!з х =- ("(х)я(пх !ах+ С(х)в!и х — С(х)я!!з(х ! ==

1 .„, Оозх, -!.Овх

— — ---.' Г'(х) =- -- — . — С(Х ! = — ! ---,— !)х =—

а!и х в!и х ' я5и' х ' я!!

,|'

В::я 7= — "-Вя|их: '';*= !! -' 'ВвиЗх (1

2в!и.;

1

з,и .',

1 — соя х '