Книга: Ряды и их приложения

Распознанный текст из изображения:

>. у'

Л-' 'у'

Мииистс~ъстио оь1с1исоо и с~соисио си ° ипоььиооо об; ~.~~ос

~4оскооскос орасио Лсиюя и орсини Трудо~ осо Е~ ооисго З1 пьссшсе тсхиииоскос у ~илии,с им ии Н,Э. Бь; моио

Р"„3, ССНПОГЬЛ

РЯПЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ

Распознанный текст из изображения:

нчожо)снв издввтсь

Ряды в ик прнчож ь

М ПВВПОМ СИОЫЗВ

вя С тч ОВЫЫ свтвВТСТОВИ С . Ой ВЫСЫО В

й ывтемвтию1 '-'::Ф б Уь Об иию кв4оар

ЛЬТОТО ОТ и Учобио-

КОМЯССисй фВКУ 3 г '!йстоввч ской Задачи 1-5. !!ссявдоввть схозямасть данных числовых рядов '

Часть Р. Ствпвяиыв Ояды $ вдвчв !. Ев: ти иятврввд сходимости степенного ряда и ис.-.," следовать сходимость ряда пв коидвх этого интервала.

Звавчв к. По. — эуясь известными аормулами разпожеипп в степенной ряд ф;як1шй б , 5!и х, со> х Ь (4+х~ ~уй~), рвзпохкить дви~ую функцию Дх) в ряд по степенны я«!Х и определять яитврввп схопимостн подученного,репа

задача 3, Рвэпвгвя подыитеграпьную функшао а рип». иычи,

лить приближенное значение данного определенного интщ;рМщ',Ю:,: "З погрешностью о, не превышающей 0,СО1.

Зада ай 4. Найти первые 4-8 членов разложенчпв'н рнд:::~!:-„е, ' ра частного решения данного днЦереипнмМого";уррйнн~п6~!:";~и~'-;::."';;!~: укаэанных иачельлых условиях.

задача Й~ найти обшее решение лииениож' Фжлрорр!~=";;;:,,: днфференнивльного ура::анании итюрого иоридйа н::.'4ище: ~!;.',""'! пеним и (методоы неопределенных коефФиниещФф'::;::::,:,;:;:;;::;.::::;:,;:~;;,':„";,:,"„

Исследовать структуру иалучэнщэ'Ф Мнюно.' фМЙЙ4~$~й'!;

ЛИИ И Иаы,пбшаа РЕШЕНИЕ ФФОтаатотблкИИЕФО КНИВяфбдиТФЩЁ.

::"'ИИИ,...ЕГО. фГИдайТЕНтапвмуЮ.СНСТЕВчУ.РййЛЕИЭФ И РЮаИМ::З~б~~' ("'," ',.: „; - цфИж:йаотйюе, рен!ение: ' 'Фв ФЙФ)» уФжрйтФ4ф~ц3~$фФ!;,",,'.

-'-в'.","- ".';:„„':,':-:,~!!и$рмйю.уфлониим, Кйу» Ь, фщ6~-4~~у иын!инияу~~~,

"~.";"',:!!'::::::,*';-";'~!~::уфФ~и!й!уо решеяшн и точки .М. '~рФФ4~ е ФМ~и~"::;,~~",.

Распознанный текст из изображения:

Част», Ш. То'и оиомот»илескн» "я ьы

Задача 1. Фуикаио У ДЪ~, оапанлу»о д иктериало

»» рааложить а тригонометри1оскпй ряд Фурье. Г!»дстроать график фулкилл а' у'»кху и график суммы С» = а,'к~ .кс»лукониого ряда.

Фуи'""ио и= ~'1х) яа~ж -уко д литерал»»

Я 1, разломить а рял Фудьо укадалиого ьила. Постооить гр»»фик леклой фу!»кили ц = фс~ и график суммы у ° 5',',~ иолу ~о»и его ряда.

Распознанный текст из изображения:

'1аст1* ~Ь,'1'Ж~й

3ЙСЧЬ Г~'ОЙ~Я

О.

Я 4

1 4

Фа /

П

с Й~1ЯП+Н

л 1

~)

'~ Л-~

— г~

го

Ж

Е,иъ-ы

~3 131(.:Йл

ге "-~

7.й '' ~ (~а -Щти)

п Рл'~з

сР

ЛН

17

1-Ю

ФВ

+~

~ н.уа в Ь,:(6п2;

(ПИ

~

~ Х 'Гп~-.5ю'~::!о,.":::;:."',.":: '." ', . ' .."

ли .::4="'. -';,""'.",:,Ъ'

х~ ~~ „г' СО,Я—

и+1 .. ~'--':."д

л ФЫ~

'„.-, ~Зф ~~, а" сйп

Распознанный текст из изображения:

У'= гх-Сму

1= — — — дЕ

! „,, с

1 У=е -ху ,, ~р'~ !'-Д';;~ ' — — '~ ~ |~х~а~х сЫх)д» 2 3 ~ ~ д — — о з',,:,",,-х ~,~ /' ~~:~,:,::;::~»::::.',::,.':::: '.,;:,,:; ~:.". -'.; " е-,'- .' ' -"' ~ ' " ' " 05 '=,.':::;-'.-'-.':.-:::."-:.'-,'.;:::-',";.-:,"-.-':-."'-,':,,:-'.":;:=-;-:.'-.,-.::."::.'::.-'--,,:::::—.'-':.".::,"'-,':-:.:.::.:- Флуг.д -Е

~К ~~~Д ~ЙД 12Я=2М

:9Ы=П '

=П

~х'-ф~д-Яку Ру:.' ~~с,-~

!

=~х'-фЫ-Ь ~Йи ~ Фа)=г

~х-~~'у'-гМйу дои

~~'-~)~ -.ГУЛАГ~= Уф":~

=Ж МЬк:-йссЫ' у~Ф~

т

'.""!б'~'!'!.". !! ."~

,„„х,

л

г

, 1" ы" ~ -б", со~ Х

~~, 4','л+~~~ЫЯ 4~

41/

Д~ =б

~Х*-Ж'-ЬЦ'~2Я"Мл~и~~Я

9Щ=й МФ~'~

Распознанный текст из изображения:

'1лсть трлтья

~; Фй-~

ф=

-~еуе ф

ф = ~-)< лрп деХеф.по косииуслк~

деУс ~

па каснпуслм

.ГК; деХед

ф~ "т

~7-Х; ~еХеП; по коскпуслм

Распознанный текст из изображения:

и1тгодич!:ск1и! укхтзд1111Л

/!»

~~ !'~,! -,-<у !7 " ' ~ !

! х -Д< х'с(~ !!

1х

,„ф,, „,-, „„Я„( ~, п...Ю-~.

!

и, -хх-!: !! !!х!

!фх ! Х, -1Хкх ! ~Ф ) хХ ~ КХХФ' -. ПО, СИИУСй14;;";; -',-„-,.

„„Т

У1

и

х ху

1х1х1: ' ! 1!1х1-. '!:;ф

'1лст! 1 '1 «-:лоиие сил!х

1='ели хт с, ах~ хт„ - бссхсночиои послед(!оотсл!,писки

се!пест!К-'ли! !х 'и!сел тс В! !1хе копие

2'а„яа, а, ...+ т. "

Лх!

нлзывлется хислоииии ридом.

Сух!ыо П пороых хлоиюи рядо

„~„а,-б1, ... а

лао! !идется ого частичной сух!ххой.

Числовой ряд ллзыоается сходяиымси, осли послсдооотольяость ОГО часттхчи! !х

продел хэ при П -ь охи . Этот продел

.: г'тА-г

и-т о

иазываотси"суммой ряда.' Если'. 4ит4~ ио"су!исстауит„тс.

ряд иаэыпается раскодииа!моя,

р „' 'СКОдяи!ИЕСИ рядЫ И!Иррис.кхСПОЛсеуихтхоя щж'йрцбдйбщпбпцй „,';;„" '.

'пычислелий' аиачеиий ххиуикпйй~'иитохралоа'' и ''тхр» 'Ори ахом .,'.~!'!';:~Е'"

,ри ахом

опт ~'ф ~,'„~-,О . ЭтХх ЫЫ~И~, ~~ РмбИРИП:! б! Щами!СН~~6 -...:,.

б+ФФ х, .

бопьыим„' сумму рид«' ф . ыо!кпо аямейкть:етчх чабекхдтбФ:-:фрй4'-': Г '.? „МОИ !хЩ ! С' Побей ЛОИЕРЕД' ОаДаИИОй СтОПЕт! КХ;тем!С!Уйб::.;:Дситпи:

му 'дик ..'пракстическик: Мелей иаж!хо уметь отхлкчатбх 'рйд!хх!х пйпхйвФк.'„.!:.~:;-.:!

:;,~":;;-":-;:,'-:;:: .;„еся хот; раскодии1иксп! ' Этому пит!росу ' и посеяикипххх."Фее пбйахх:-:,"' ! ";:;::: .,;;:::,: ;;"„::: ":.-:-;:.;:::;:::":.:йЕРхисй,ЧДСхщхПРЕДЛаГЬЕМОГО Дсыа1ИПЕГО Еапа1!ИИ,. Ёф~:,йабййДСФЬ'.:"" " ',. -'-'!'Ё'-;," ":,';:!:„';:!':.':,Ийй' "СхлидИМОСтц,'Хп!СЛОйОГО ряда ОбЫЧ ае аа ' ПЫКаКМя:-~рруаЬ1й1 жх

К!",!!!~!-'ххх! ЕМ.' ЧайтПЧИЫЕ СУММЫ' И ЙСКа'3Ъ:.АМ хеа ' ЗФО -Рбййб!ба.:фЦЙРК1

:х;:;..;.".:,::;:;.-,:,:пб.:: !. ушествует полый рид ир!!о!!акоп, пооиспяёйдсс:пб::4й!кхиФдйцд....',,:.'"

',;.",.";."х::::;«!:::-::-':-"ббл1итКХ- ЧПЕПа ' ряда 'ФЛ СудлтЬ О СКОрпМСхотр ПИ1К'рйоиоймййройЧ~:"-.-',;;:х,;-1

"':::~!::::-':::,:;:::рМа. ДЛИ', раптаикя ИРЕдпат.'аЕМЫК ладки Мсжло 'йСПХ1ЛЬЕСПжЬ,. ","! '-х!':.'.;.":

Распознанный текст из изображения:

!и речислеюлые ииж прививки,

1, П! ебх!тимма ириэиак сходим! сти

Если и!лч гхедится, то его д -!! чпеи стремится к иуюе

«! ««1еции.«ч! !вчем ааэрпстюи!и

=о

и -»

Де!тате !п! !г и!и!эпик!! сходил асти и расходи'!ости рядов с

!1;!1ю ките«! «! !' и! '!лекале!:

П П, «пюк гр!люеюы, ес«оппюи,!Л па устпиоалаиии пера!«.«ез!и! л!»„!у Об«и!!»п !п! !!вми л«1 х рплев

Пл, и! р Еа„и ХВл,и! «д,

»*1 » !

«.! л Л, !ю !п«пп е пекетвгоге помада ЛУ, Г1 .с 8Л 1.. ю 1:и! ~ ав гжги«теи, т! Сха!Гптси и ряд ~,'!Дп

!

! пи г«и ! !!«,к дв р»!вход«топ, то расходится и ряд Я Ол .

и ! л»!

!!. '1И еп! пып !Р при;«гик ер!и!иеинк

! .; !у,! 1г»ч ует кеп !пы'и отличима от нуля,' предел отио««и еб ых чпепев двух редев ири л ае,

~Ъ вЂ”," =с рооп

,1б..; «д1, !!спут г! 6« пипи«капо, т,е. сходятся,::щ~а фдехрдятси

О«ипи!и ! и ии!,

1У, !!! тегрпю,пыд признак

1:е!!и ! у«к г ! пугт такая полок!итаки!я,'':Хчяхд

«! -р, гия пр«»е а а и !рудхш!я.,:-~$~' '. =' ""':-;~".!~..'!-"':Ф,:

»» !кх

и,! рчдв Е!дл межпо рпесл!атриаатЫ4С:,'.~К!»

и ° ! 1К-Р

'луб!1

,! ч

1б «кипи ири !иль!х »к!и!!алиях аргулюдта ',т:.'ЕЕ1!'';:!б

!

гв"

втет ркп и иптегрпл ~ ~дх3сй Сирия!»!»$~,.

едиеирем!ии!е.

У. П!1пэипк Пвпвл!бара -„''"„е» "

еелп су«югтпует прадед от1101ир1фФ=;

пв к пр дыду!пиму ири д.выдр

'",*фт!"

1ЯД К~ Ол ЯП!Ляотои СХОД»Я$91

л»!

йб

У1, ПГ!!.!«пк !Пипи

Е!1ю! гуш! !.тиует и!и'и!'и 6!тт «IПл» 0, те при лк с»

Э л-»»»

Рип с лх !.ходится и!1« »™ » !и!схедитгп,

л !

Пествте1чиви! при!!ивки гхедимэсти опека«ерем!ыппхх рпдаи

УП. Приэивк вбс!ипат«од схелимести

!

Если рид, сеетввланиыд иэ абсолютных лоличии чж!иов

дачного з!лакэиерелюииего ряда, сходится, то сходится и эпгакоперамеииый рял (и тогда ои идэыпвется сходили!моя абсол!отиа1.

УЕЕ Приэиак Лайбиииа

!

Если члены зиакочередуюжвгося ряда, моиотоиио убвгаая,

стремятся к нулю ири д -» ее, то ряд сходится; при атом

сумма ряда имеет тот же знак, что и порвый чдеи ряда и !яв

превосходит его по абсолютной аеличиие.

Примечание 1, При использовании призиахов сравлеиид необходимо иметь в запасе некоторый набор рядов, иро хоМрме

уже известно, сходятся ояи или расходятся. Ь"качестве .рядов

ДПЯ СРааяаНИЯ ОбЫЧНО ПРИМОИЯХ»т РЯДЫ ДИРИХДЕ Еэ

сходяи!хеся при х! > » и расходяц!леся при »и!э»-:, ектахх»р „; — ,„:

ряды Х ах!~ ,. составив!диде -из членов..теомефичефрйФ

,дрогрессии, которые, сходятся дри Ре »1е.»! 'и".рдрхсддрФЙ';"х!рм"!. !

!!ри» '" '~ а!» Щ,!

, ПрИМЕЧаппв 2. ЕСЛИ. ряд, СаотаалеНщ.~»йр ИЗП 'абябр!ХурМФф:фа:,- —,-' з ~,,'::,,: .,;,:- лючии., яленоа,' даииоро .знакоперемениого ряде, рщФедитри»:-' 'длз - '.

1, — .! . ! зчахореремеийый ряд мбжет оказаться 'й расходи!д1имся" и».бхдир!р!» ! '-',

дгцмся (услоит!о). а~щдщ ,'-;:;:::;;;;:;: -'вели дцг:дбиазмвается с домои!ью признаков Дйрхмбереа-,',1итяЁ:~рдр =

то зиаходеремеиийй ряд будет обязательио рас!хбдящммсм (т1ад.":,:,—.!

":.;-::,:.'„;,. 'хах 'его бби!ий члеи ие, будет стремитьси и пулю).

Рассмотрим иесколько примеров иссдедовавия:,св'1мрдфэ~~ф~ф:;,::.;:,;:.;х; в;!::."..1;;:., ''."'.: гясловьск. рядов.

. »ух+ »

,;"-'"ц':..". 1, П име 1» Ъ

~, '!!»» !!т

е

Ффу

''-'Р" у,хе у

Распознанный текст из изображения:

„ дих показателен степ .ии в аппменатоле и

а) .' ЬЛу

+ а

числителе -' ' л, й

, а общага члиш р"д Ялй йул й»ул- л 7й 2

ш»»н»» рл»"лод»»топ до»!р»»'н»пну Ш Кок ж

Ряд абсолютных пашши»

ряд, Посл«впуск»»'.го с пом»«»»»ь!о

подет себя да»»ып ряд',

Ледбп»»пп»

Г~'«' й "й ' й й' й'

и »со»сдавать сходпмость ряда на каинах 1того интервала.

Члены д»йнн»«»йо рпиа при раошшших пначапипх Х могут пр:шимать а~»п ь«иьп» р««а~»ь»х ливков. Рассмотрим рил абсо«пот-

нь»х в«««шч»»п .й» 5п(Х к»)л ) с- 5"./Х" ц)"

2;~

гт 5п

Пойдем д»я .'тш.а ряда продал от~»аше»»ня последующего члена

~«утгрФ5- ба~41 иг + 5"

= «««й«, .«„.й ° Ий-й~дт — „.„„, -й«й-«!

5~Х,уцууг,5" ) / т — „г

и ~гт <)г 5»л "] Мг Х:

и

И соответстии» с признаком»»аламбера ряд абсолютных величии

является сходяшимся при 5)Х-гг) «т', ) Х«уу)« ~~ или

3-" «х 4-'.

4: - Прн этих значениях Х данный.степенной ряд сходйтсн абсорютио. Ряд абсолютных. величии расходится. прн . Фг»("М? тй й' -, /,К-гу~, г — ' ' 'или Х 43у ' н" Хн4~».,- „-*',

» «

й

при этих анвчепиях х данный сто»»инной" ряд 'таки»е,расходи:клФФ'- , - (см'. примечание 2 в чести 1 п»етоднческннл укаевннй)й:,

' Поведение' ряда на концах интернанв скоцймонтй::.фефэт:, '.

Тикая»к«ш»сь а ишго '

' о члена ряда делает очевидным его ма»отан»ос у ьп«аипг

и б, аипг с уасли»енисм н и его стремление к нулю ' Л о, Слепо»»отельна зиакочсрепуюш«рйсп ряд сходи»тсг по»»р»пи»»~ку Лгибиииа, причем сходимость этп - условная.

Часть П. Стс псиные «»япы

П П~»те юпл гкап»масти и а

Ст»ч»еп»»йк| ридах»»аэыпает»:я выражение

Е С,~Х-а) . С, +(; (Х-а)+Сг ~Х.-4гт.„+ С (Х-а)."+...,,

ГДЕ б», б (Лйд, У; г, ) - ВЕНЮСт»»ЕПВЫЕ ПОСттипйив»ву,'у

Х - »кл юстисишш пе сменная.

»й"'!!!~!!,",'!!~~!!!!!!!:,'-~!!!!.'и»'й! йлй м ьй ййй й~юю йй» Йуйй~км

'„.!;!,;::~'.,;:.;:::,': Й~:.,~й»шпе»»е»(ошен»»ото следует, что этот енвкоче~эдутоудн~Вге»рщ~'

"","':;: ':,:„:,~4щкФн» абсолютно.

,;т;эких» образом, стх ионной ряд, сходится дри

»о»х,«димости. Об«пасть сходимости любого етний"

представляет собой интервал с иентром в точке':,~~~":!,

рдд»»ус уг, -. к -. »пр ) х-с») «»и ряд скоди~ф

ряд»«аслодктся (см. (1) гл. Х1, й 3). Интергв4(рб

обычна находят нрн помаши прнэнахов Данйй. ",„,'

П»ШЧер|, Падтн Ш»тсраап СкадИМОЯТН',,»

у й" (~-~Я"

лис

двльнейшего исследовании.,

пш р; о««»»чн»»х шш;синих х степенной ряд''дфезфФ~~;„;«,.«у», ь г й ' * н ев ~ццаетон в ~цюснежМ схаюшп»миси, другие - расходпшнмнся. Ииох»есфФ,~$3~','~~ф~~~~!'::!!~:::,';'«:::::,:.",~;;::::,:;;::; 1-,.".'" "'й ' ': ' ' тенет»ый яд схв

Х, ирп которых степенной рпд скодится Иадци9~~е..', ' „,...„,:„:.:,".!!'„;.~~",:;-",-„:;".'."',:..

Распознанный текст из изображения:

н М"'!

,и (( „,~„у~( ~)н ' (-~ с~<с ~~

к~ф

(х-г1""

г„р(+ в1 Хнр (х г1 ' йс х— "861 О кь41;

,кг п( 1

~„р Ф+Ф

~а 5~ 6)30+ЕИ" л~! " ' (Ос Х 44,~

ло

Примор 1, Функиао ~Як ~ . розло~коть о рян

оо отополим (Х- ф

хн нХ"6 Р+ЗФ"Ю ' Х"я ' К+3 '.

ЛнФ

(-1 х-( (;.;.а х ~~.

с4~+уУ+ку.,у

~-('9.с.г; -З ~ Х'сф

тнк кок е Д ( дФ ~'Ф,:

оно

К

„а,„, '-Е ~х-ф" -~~.~.'<рщ~"

и

,оо ь

Распознанный текст из изображения:

5 Мите!. и »о!»!»ии»э лппо,"ии»к»»й«»«»ли ииллмп»х пуп»»ы»

!э! При это«к Д «х«!» Д ' 1/ «Кэ! оп!!оэ!ел!латая »га даииого у!тлаиапип; длп от!!ока»ии! эиачаллй послодую»ппх пропэподичпх и точка Кэ сладуат дл!и!оо уравиелпе прели»Р!»орви!в!ровать по к Раша!а»э лииайиого ди4»эсрекииалы!ого уравиоиия молот платя! тстпу!аиш«о число раэ. быть иайдеио оппсаииым выше способа!л. По болсе удобным

П!п!Ы!аар. Плйти л виде ряла Тейлора частное р»сии»ииэ! ди.' для таких урашшиий является метод иоопрэдэпоииых коэ»!«»!»ифорэиипллм!огз ураапаиия адептов". У = Гпуе Ху~,

Рассмотрим »шлейное ди»1«!»ереиииальиое уравпоияе аторого

порядка уламштаорпю!иес пачальпому услошпо Д««! = ~ У'эр«4 у'+~«К) У АК) Частиоо решаппе шлем в виде ряда с иачалькымк услсиияыя 1Г»»0 ! !к«б!/ эла ! л «О» э'а ° Частиоо реп!экие этого уравнения ншем э аиде ряда по степо- П с о. ц(!»- !

кпм К с иеопределоияымя коэКнш!ентаын! !П! урдпиоиия д»» Я» ~ру !» э !»

Д»К блК". Ъф,'орали!

Если иачальиые условп ! для уравнения не даны, то в текам'же !»«Цвраииируя лослодоаательпо липкое уравнепие, по чпм олучпм виде можно попытаться предбтавнть и обшее решение уравнеиия. Продяффереяияруем ряд, дважды.иочлевно « '

у' Енса~!"' У вЂ” „э гуэ у ку 'Кц~ "

Р"-~ «л-МС,М"" !»». !«««.»".!'.Е«!! ! д'.!„.!. дд" д»!. »!» Р!»! ФМ:,: д»!:. » ~л»»«»«» «»~: "",~-''

пеням Х н Все получевйэ!е ряды'-додотавны В данное, ура!!нен1!е." 9" «~~эф$:',;:,;;::,';:,,;'-:"::, !: . ' для определеняя к!оэ44ййиеят»ов' -'Ся 'составляем скоте!му. гргав:-,'

» ', невяй,"»прщавннввя 'к!ээ4фндкентьэ»прн:,одяяаковык степе!!Ях Х. Т»»кп«! бр »аом ' ' ' ' ' ' " ', ' '»,",'..'!'::::".,"„-''-::::;:»-'' '''-'=',:. „: .. В'-»ЛЕВОй!Н.'.ПРпа«во»й'част»дк',,".полуюенвооо уравяеняя.

.;:-:,:;:,;"-';::, ",;,:..:;::,;;-.;,"'::::! '::";-:.:Мзйет':,',опучитъс!у, 'ч.т»о»:дйк;решеяця этой,снстемы в»се ко, ыУ»!'!'",. «к-У~э — «к„ку!У,, ~О ° з,У ...,,'',''т.',.'-~',"";!":'.','=»:,.'», '";:",;,;-':- -'-":ВФФЯПВВП»Утд;-.,',,:'-'-4л,«!»Ув4;, '6УРУт вэ!Ре!кеды данейко чеРеэ'ф,' 'и

щ й.=.4'..~.::,'«:.'.:.,-.-,-~,':.::„:»'-',:.';-:-',",- !",',-,,--.- ':: ....:,' ..щ~'..4,',".,':::.ф~ !эефдда», й,.щ """"'" 'лэп рвиа ир»»ктич

Ю труд о«,!«»оэт!уу»ф.,.яе» и»:.!:, - »»». »»:,.Ввв!удвэь!тая« .Тердо. функяяя УЯ с ~х принимает вид

° » р . маы пи!»поги'п»о. рядков-';мвгУТ-,'... «"э ф!ш~е!9у"-~ ДУ~. +'~ !

!

Распознанный текст из изображения:

рекурраитпые саотиоишшш (»7 и (») позволяет выразить шаба!! кавф!1ипиант ряда через пропыдушие коеф!нннепты и, та ким образам, выписать сколько угалиа члсисв ряда. Олнпко пли иршгпшеакаго использования ряда иелатольиа иметь сга обиш»! Гиии выражеГГГГый не через предыдувше члеиъГ, а в виде фуикшиГ его номера, Вычнслнв несколько первых коеффнеецтов Рида, иэ соотношении Г»7 легко полУчим С»н их7 иГш л. Г, иэ соотношения !» ° ! аиллогичяую формулу для Стл»Г получить значительно труднее. Г»!ошно сделать так; шл шелиа С5, Ск, СГ, подмечаем абшую закономерность в построении этик козЧ»!1ипиентав-

Г'-57л '

2л-Г с кл-5 ~

7л

с

!! истлиии эти иыри»кения в»!юрмулу. т»7» убенГдаемся в тлм, ~та получается тождество, Отсюда следует, что фсрмула, ли! аполпкипля Сел Г, составлена верно.

Итлк, абшее реиюниа уравнения- ГГКГЕЕт;вид.

У»'»'»»'»и» "»»тх и»» -..~~»» «Г»!»»

Г 5 Г: 'й '':н .."..-Х:".'

й *" *" '. ФР~~гф4. -.

или

,Х 5,~ Г 5 5 5 .. 5 .: й'.,:-: 'я:":::::::ХФ. ».;.'

1 э.у ке у е .','::,. ф4),'.Рр"'.-",.",Р,, '- ~ ~т иасш лией ~!юрмулы хорошо видна струзщ$МГ!.'-"РбяфФФГ:."ЬФФМЙГй'-"'

«ииапиого лвои аролисга уравнетГнт Се~~Е~~Ф~~~~~,' "',!~~~; -...,.!:::::-';;-:;;»

решение соответствуюиюгс одноро4$ФТМс~с '',,„... г"' *Ъ,,'*.-.,:.

4." ':5~!~;~,"~;:.;;:,:,:~.;,"„';; '- ! лишае этога одиородГ»ога уравнении,', Ь,.м,:,'"'"'"',"'"

»аит некоторое частное решеюш дв~. ''

П»

алучив решение в виде ряда»,ткГчьв1!!7~:",:;~~,.

иа закон абр Гзоиипш его члеиовх ииовдв"-:~~~ф

ли1ь э»юмситарную фуикшпо В нашем;

Г» Г 5 Г 5- к""'

— х + —,, кх'- — «'+- +~-Г7

Л 3, г б! г,у» ... дгл-~,Гэл»Г!Г, "

«хк»Г,»Л

Таким образам, обшее решение уравнения имеет вид

,фй =С ~У+ ~«а~тС,«еф~фГГГ $ "Ц.

Однако для дальнейшей рабаты с функнней Де«эта формула ие обязательна.

Запаням начальные условия для уравнения!

Х, О; ИО) Г!; УЪМий.

Согласно обшей теории Се= ИГО7»О С»»у(0) «д . Частное

решение нмеет вид .

г '"~ » .7» „'Ы»""

Д чЯ т «5'+ Х ' к

Г. Л ЗГ: к55!, .Д «Г " ~йп',фл»ф„~

ВычнсГнГм значение.этаго частного решении и точке Х,» ~;.

УЗ» 5 3~ ' 35, 3» Л7'

.ГГ. «С, ' е * ' » Гк~ ш~ ~~

эйли. *г,Р..ЯГ. Р5 эа.бГ,лй. Рй7т,ДГ Рй

Ошибка

'зй '. ' 'и

' 5» ' — ~»»а

, . Д"Олй = Гхглфа

;' Д: »"2. Н»»»» .»мь У»~ »

~~-Х)Ц"+ХЦ'-4н Х~-2Х+Л.

а

мишени»е представим в виде ряда Ц~Х СнХ

Уравнение примет внд"'

фХ7ГГ-Г7ГГс х +ха ГГс х -Йслх иК~"ЛГГчЛ,

л»й л»Г л.а

47.

Распознанный текст из изображения:

Част., 1И. Т и,гоиок1ст ~плоские и м

Коэифцциепты опредвллются лз ссюдуюиюй снстемьл

.сели 4уикса~л ДХ) о интерполе (-С С~ ограиичена,

имеет точек раорыаа пороого рода и точек экстремума ие более

калечного числа, то дпц исе можно гостроить тригоиометрич

кид рид фурье:

-' + ~ о, сдФ вЂ” + в„5ит — "' ~

Лж

С,ав

С гС гсб а . С ЗС г 5С *О

I

Сч /6 Сг абсуСа "ди~рСа

Сб=д

С - С*" . Са~ б Я т Зб.бу а ~,Зс а

С,тбСб е56Сб*б

С «(у

где

Х~ Сзт('Сечд'4Сч 0..... * . аа ° Д фас(Х

~ е

С> +5Сб+4 5Сб ~С . Ила-~ ДХ)С~1 ~-

.-б

,у

кта а ~ У(Х~5(д -и — ьй

овраэокд .. с, и,. ' Приве„,' 'э~,,т рлд будбт' с ~одить,~~ лрв ~ь( сй„-,чии-"м

а); в.твд.точках .'Х"'ч интервала. «-~;Ф),'в доторьск

а б С Х + а а - "~ф дедрфрьдалв . суьвбв рвдв . ',,фф1 рщВ(в влвчаи;до фуик

'с! ' рч,С~~~ "б ~СаХ ...:, . „...,,. ц

ьа,

Х ...° .-,Ф' '~-:-: '.": " " - - лй

х' Хт К' .„' . '..',.:,',:.:.::-:-::='.~~„:~:;. «":~;,-': -..-- ".У' 'в -,,-„

ГР Г" Г.д~

','::,:::.-"! -6):,'!афпг'' "-((»' -"щчкв рвврьци фущсинв фф' ' -,; то

В аолучеииоя формуле осталась только одиа дрой4всййй~$$(:~ '... - ' ' ":, '-" .(.

с.. и ..„..чь... „,.....,... к. «е~-'':."-'."::::::.":::-::-'::::-':.::-:.".";:"::;::.".""-:::б~ка.4'".'"'!"' 1

'Ф

стсилаим рядами ло ствпеняи Х (каи локвМдр у~', „и и ~~:::,':,:"::"~-":,-~~.:~~~~~~~~~!~~':.-~.,'.' ':,„; 1

се ати члнкщщ лрддчфу~

2 к т.в«

~ "ипиа раорив лри Хай ). Обшве решМФФ ФМФ, —,к:. '4сч б -долаждад с(~икдцл С дер ЕМа ИВ"

дедов число (теорем

в,,-Ф;,'; ...

Бд

Распознанный текст из изображения:

Д, ° ~~ ') Дх)бе + е6.

!1„*д) (!(~-г)сруфсЬ И" — „„,;

,:.,«, ~;:.':;::.,!:.",;::;;:;:,'!!!':,;.:.,;-:::;.;;,:".:"---:;:.:!::::;:";::, . ' М'~оюу(а!

! спп ьлкгю

; ю мол.,пем образом па иа

м ряда имеет

рочл (-~. ф,, ыожсо:.'й'х~( '.

Примоор 2. Построить тригоиомотричесюи! ряд Фурье для

1(уи«ции дф)я яя-Л ири -2 'я4 2.

~Я вЂ” чвтиая (у!!кпх!я;

2 'ух

д х - ~ (у2-Я) (~)( =

ж г

л /б' лс7х

Яя-у+Е~-д х у ~(~~ — "~ с;ч й.

лю ь )7 Я х

ю и ю трьгопомет и

трьгопометрпчос«пй ряд заданного айда,

Г!:

'-'"-; ФВ

,Л!е,.п (!3. Фуп«щ1ю

а «~1

у х

А)

х и х Л

у ~ Х яК --.'; '::,':."::;::.':.'::,':";.:"4

„ю юъ и трогало«ют п1

«ю ~ ' ' рическцд ряд ио сииусаьт,:::,,':-".;;:~!,::""~-~

Строим вспомогательную нечетиую функдию ' г(К!, «оторая на кнтерввле ((~;Я' ! совпадает с даннойД~!~)

Фуикцию г (Х) раэлагаем а' тригонометрический, ряд".

у ° х !' х!х!х(пхх Й;хх!/ х яхххй >(-хХ!х«ххх!~::::::.':::!

ия- СдаххХ+дЙП,РХ) '. ущйф/ ~ед~'., «;Щ~,

фя'«ха'х~~.~хд+!)ух!алх', -я~к~я.,

Распознанный текст из изображения:

СГЛАВЛЕ1Н!Е

1„А,Ф. Вермппт, И,Г, Арлмаловнч. Краткий курс матемптп~епкого лнллиэл. Для отузов. М., "Наука", 1067

2. Н.С. Пискунов, йнФФореипиллыюе и интегрвльяоо исчисл:лпе, Ллн втузов. М., "Наука", 1086.

3, Б.П.,Пемлдоппч, И.А; Мэроп, З.З. Шувллопл, Численные м.толы алалпзл. М., Флэмазтиэ, 1086.

4, А.Ф, Филиппов, Сборпнк зллач по диЦеренпивльным Пмплепплм. М., Фпэматгиэ, 1061.

5, А.Н. Киселев, М.Л. Краснов, Г.И. Макаренко, Сборпик зз,ы ~ по обыкновенпым диЦвренииальным уравнениям. М., Ьысшля ~плолл", 1067.

6. Р.Я. Шастек. Теория рядов. Изд, МВТУ, 1060.

Содержпппе зодлпия Ряды

Мстоппческпе указания,......,...,.................,.........,.„„... "5

Часть П. Степенные ряды ....,.....,....„..............,..... 30

'>

!. Интервал сходнмости ряда ...........,.........,...„.....,. 50

2. Разложение фуикиии в степеиной ряд ......,.......,.... 32

3, Приближеилое вычислеипе значений фуикипй и определеиных иитегрвлов при помоши рядов ....,.......,...„... 37

4, Интегрирование диффереидилльных уравнений с по

5. Иитегрироваиие лииейиых диффереипиальнык уравнений с помошыо рядов.......„:...».. -,.:.»--.«--.».:-" ° . °

„,......,';„' „...,..„.....,....,'„,*, ° 46

Часть Б. Тригонометрические ряды ..;„...........;....';... 51