Книга: Ряды и их приложения

Распознанный текст из изображения:

>. у'

Л-' 'у'

Мииистс~ъстио оь1с1исоо и с~соисио си ° ипоььиооо об; ~.~~ос

~4оскооскос орасио Лсиюя и орсини Трудо~ осо Е~ ооисго З1 пьссшсе тсхиииоскос у ~илии,с им ии Н,Э. Бь; моио

Р"„3, ССНПОГЬЛ

РЯПЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ

Распознанный текст из изображения:

нчожо)снв издввтсь

Ряды в ик прнчож ь

М ПВВПОМ СИОЫЗВ

вя С тч ОВЫЫ свтвВТСТОВИ С . Ой ВЫСЫО В

й ывтемвтию1 '-'::Ф б Уь Об иию кв4оар

ЛЬТОТО ОТ и Учобио-

КОМЯССисй фВКУ 3 г '!йстоввч ской Задачи 1-5. !!ссявдоввть схозямасть данных числовых рядов '

Часть Р. Ствпвяиыв Ояды $ вдвчв !. Ев: ти иятврввд сходимости степенного ряда и ис.-.," следовать сходимость ряда пв коидвх этого интервала.

Звавчв к. По. — эуясь известными аормулами разпожеипп в степенной ряд ф;як1шй б , 5!и х, со> х Ь (4+х~ ~уй~), рвзпохкить дви~ую функцию Дх) в ряд по степенны я«!Х и определять яитврввп схопимостн подученного,репа

задача 3, Рвэпвгвя подыитеграпьную функшао а рип » . иычи,

лить приближенное значение данного определенного интщ;рМщ',Ю:,: "З погрешностью о, не превышающей 0,СО1.

Зада ай 4. Найти первые 4-8 членов разложенчпв'н рнд:::~!:-„е, ' ра частного решения данного днЦереипнмМого";уррйнн~п6~!:";~и~'-;::."';;!~: укаэанных иачельлых условиях.

задача Й~ найти обшее решение лииениож' Фжлрорр!~=";;;:,,: днфференнивльного ура::анании итюрого иоридйа н::.'4ище: ~!;.',""'! пеним и (методоы неопределенных коефФиниещФф'::;::::,:,;:;:;;::;.::::;:,;:~;;,':„";,:,"„

Исследовать структуру иалучэнщэ'Ф Мнюно.' фМЙЙ4~$~й'!;

ЛИИ И Иаы,пбшаа РЕШЕНИЕ ФФОтаатотблкИИЕФО КНИВяфбдиТФЩЁ.

::"'ИИИ,...ЕГО. фГИдайТЕНтапвмуЮ.СНСТЕВчУ.РййЛЕИЭФ И РЮаИМ::З~б~~' ("'," ',.: „; - цфИж:йаотйюе, рен!ение: ' 'Фв ФЙФ) » уФжрйтФ4ф~ц3~$фФ!;,",,'.

-'-в'.","- ".';:„„':,':-:,~!!и$рмйю.уфлониим, Кйу » Ь, фщ6~-4~~у иын!инияу~~~,

"~.";"',:!!'::::::,*';-";'~!~::уфФ~и!й!уо решеяшн и точки .М. '~рФФ4~ е ФМ~и~"::;,~~",.

Распознанный текст из изображения:

Част » , Ш. То'и оиомот » илескн » "я ьы

Задача 1. Фуикаио У ДЪ~, оапанлу » о д иктериало

» » рааложить а тригонометри1оскпй ряд Фурье. Г! » дстроать график фулкилл а' у' » кху и график суммы С » = а,'к~ .кс » лукониого ряда.

Фуи'""ио и= ~'1х) яа~ж -уко д литерал » »

Я 1, разломить а рял Фудьо укадалиого ьила. Постооить гр » » фик леклой фу! » кили ц = фс~ и график суммы у ° 5',',~ иолу ~о » и его ряда.

Распознанный текст из изображения:

'1аст1* ~Ь,'1'Ж~й

3ЙСЧЬ Г~'ОЙ~Я

О.

Я 4

1 4

Фа /

П

с Й~1ЯП+Н

л 1

~)

'~ Л-~

— г~

го

Ж

Е,иъ-ы

~3 131(.:Йл

ге "-~

7.й '' ~ (~а -Щти)

п Рл'~з

сР

ЛН

17

1-Ю

ФВ

+~

~ н.уа в Ь,:(6п2;

(ПИ

~

~ Х 'Гп~-.5ю'~::!о,.":::;:."',.":: '." ', . ' .."

ли .::4="'. -';,""'.",:,Ъ'

х~ ~~ „г' СО,Я—

и+1 .. ~'--':."д

л ФЫ~

'„.-, ~Зф ~~, а" сйп

Распознанный текст из изображения:

У'= гх-Сму

1= — — — дЕ

! „,, с

1 У=е -ху ,, ~р'~ !'-Д';;~ ' — — '~ ~ |~х~а~х сЫх)д » 2 3 ~ ~ д — — о з',,:,",,-х ~,~ /' ~~:~,:,::;::~ » ::::.',::,.':::: '.,;:,,:; ~:.". -'.; " е-,'- .' ' -"' ~ ' " ' " 05 '=,.':::;-'.-'-.':.-:::."-:.'-,'.;:::-',";.-:,"-.-':-."'-,':,,:-'.":;:=-;-:.'-.,-.::."::.'::.-'--,,:::::—.'-':.".::,"'-,':-:.:.::.:- Флуг.д -Е

~К ~~~Д ~ЙД 12Я=2М

:9Ы=П '

=П

~х'-ф~д-Яку Ру:.' ~~с,-~

!

=~х'-фЫ-Ь ~Йи ~ Фа)=г

~х-~~'у'-гМйу дои

~~'-~)~ -.ГУЛАГ~= Уф":~

=Ж МЬк:-йссЫ' у~Ф~

т

'.""!б'~'!'!.". !! ."~

,„„х,

л

г

, 1" ы" ~ -б", со~ Х

~~, 4','л+~~~ЫЯ 4~

41/

Д~ =б

~Х*-Ж'-ЬЦ'~2Я"Мл~и~~Я

9Щ=й МФ~'~

Распознанный текст из изображения:

'1лсть трлтья

~; Фй-~

ф=

-~еуе ф

ф = ~-)< лрп деХеф.по косииуслк~

деУс ~

па каснпуслм

.ГК; деХед

ф~ "т

~7-Х; ~еХеП; по коскпуслм

Распознанный текст из изображения:

и1тгодич!:ск1и! укхтзд1111Л

/! »

~~ !'~,! -,-<у !7 " ' ~ !

! х -Д< х'с(~ !!

1х

,„ф,, „,-, „„Я„( ~, п...Ю-~.

!

и, -хх-!: !! !!х!

!фх ! Х, -1Хкх ! ~Ф ) хХ ~ КХХФ' -. ПО, СИИУСй14;;";; -',-„-,.

„„Т

У1

и

х ху

1х1х1: ' ! 1!1х1-. '!:;ф

'1лст! 1 '1 «-:лоиие сил!х

1='ели хт с, ах~ хт„ - бссхсночиои послед(!оотсл!,писки

се!пест!К-'ли! !х 'и!сел тс В! !1хе копие

2'а„яа, а, ...+ т. "

Лх!

нлзывлется хислоииии ридом.

Сух!ыо П пороых хлоиюи рядо

„~„а,-б1, ... а

лао! !идется ого частичной сух!ххой.

Числовой ряд ллзыоается сходяиымси, осли послсдооотольяость ОГО часттхчи! !х

продел хэ при П -ь охи . Этот продел

.: г'тА-г

и-т о

иазываотси"суммой ряда.' Если'. 4ит4~ ио"су!исстауит„тс.

ряд иаэыпается раскодииа!моя,

р „' 'СКОдяи!ИЕСИ рядЫ И!Иррис.кхСПОЛсеуихтхоя щж'йрцбдйбщпбпцй „,';;„" '.

'пычислелий' аиачеиий ххиуикпйй~'иитохралоа'' и ''тхр » 'Ори ахом .,'.~!'!';:~Е'"

,ри ахом

опт ~'ф ~,'„~-,О . ЭтХх ЫЫ~И~, ~~ РмбИРИП:! б! Щами!СН~~6 -...:,.

б+ФФ х, .

бопьыим„' сумму рид«' ф . ыо!кпо аямейкть:етчх чабекхдтбФ:-:фрй4'-': Г '.? „МОИ !хЩ ! С' Побей ЛОИЕРЕД' ОаДаИИОй СтОПЕт! КХ;тем!С!Уйб::.;:Дситпи:

му 'дик ..'пракстическик: Мелей иаж!хо уметь отхлкчатбх 'рйд!хх!х пйпхйвФк.'„.!:.~:;-.:!

:;,~":;;-":-;:,'-:;:: .;„еся хот; раскодии1иксп! ' Этому пит!росу ' и посеяикипххх."Фее пбйахх:-:,"' ! ";:;::: .,;;:::,: ;;"„::: ":.-:-;:.;:::;:::":.:йЕРхисй,ЧДСхщхПРЕДЛаГЬЕМОГО Дсыа1ИПЕГО Еапа1!ИИ,. Ёф~:,йабййДСФЬ'.:"" " ',. -'-'!'Ё'-;," ":,';:!:„';:!':.':,Ийй' "СхлидИМОСтц,'Хп!СЛОйОГО ряда ОбЫЧ ае аа ' ПЫКаКМя:-~рруаЬ1й1 жх

К!",!!!~!-'ххх! ЕМ.' ЧайтПЧИЫЕ СУММЫ' И ЙСКа'3Ъ:.АМ хеа ' ЗФО -Рбййб!ба.:фЦЙРК1

:х;:;..;.".:,::;:;.-,:,:пб.:: !. ушествует полый рид ир!!о!!акоп, пооиспяёйдсс:пб::4й!кхиФдйцд....',,:.'"

',;.",.";."х::::;«!:::-::-':-"ббл1итКХ- ЧПЕПа ' ряда 'ФЛ СудлтЬ О СКОрпМСхотр ПИ1К'рйоиоймййройЧ~:"-.-',;;:х,;-1

"':::~!::::-':::,:;:::рМа. ДЛИ', раптаикя ИРЕдпат.'аЕМЫК ладки Мсжло 'йСПХ1ЛЬЕСПжЬ,. ","! '-х!':.'.;.":

Распознанный текст из изображения:

!и речислеюлые ииж прививки,

1, П! ебх!тимма ириэиак сходим! сти

Если и!лч гхедится, то его д -!! чпеи стремится к иуюе

«! ««1еции.«ч! !вчем ааэрпстюи!и

=о

и - »

Де!тате !п! !г и!и!эпик!! сходил асти и расходи'!ости рядов с

!1;!1ю ките«! «! !' и! '!лекале!:

П П, «пюк гр!люеюы, ес«оппюи,!Л па устпиоалаиии пера!«.«ез!и! л! » „!у Об«и!! » п !п! !!вми л«1 х рплев

Пл, и! р Еа„и ХВл,и! «д,

» *1 » !

«.! л Л, !ю !п«пп е пекетвгоге помада ЛУ, Г1 .с 8Л 1.. ю 1:и! ~ ав гжги«теи, т! Сха!Гптси и ряд ~,'!Дп

!

! пи г«и ! !!«,к дв р » !вход«топ, то расходится и ряд Я Ол .

и ! л » !

!!. '1И еп! пып !Р при;«гик ер!и!иеинк

! .; !у,! 1г » ч ует кеп !пы'и отличима от нуля,' предел отио««и еб ых чпепев двух редев ири л ае,

~Ъ вЂ”," =с рооп

,1б..; «д1, !!спут г! 6« пипи«капо, т,е. сходятся,::щ~а фдехрдятси

О«ипи!и ! и ии!,

1У, !!! тегрпю,пыд признак

1:е!!и ! у«к г ! пугт такая полок!итаки!я,'':Хчяхд

«! -р, гия пр« » е а а и !рудхш!я.,:-~$~' '. =' ""':-;~".!~..'!-"':Ф,:

» » !кх

и,! рчдв Е!дл межпо рпесл!атриаатЫ4С:,'.~К! »

и ° ! 1К-Р

'луб!1

,! ч

1б «кипи ири !иль!х » к!и!!алиях аргулюдта ',т:.'ЕЕ1!'';:!б

!

гв"

втет ркп и иптегрпл ~ ~дх3сй Сирия! » ! » $~,.

едиеирем!ии!е.

У. П!1пэипк Пвпвл!бара -„''"„е » "

еелп су«югтпует прадед от1101ир1фФ=;

пв к пр дыду!пиму ири д.выдр

'",*фт!"

1ЯД К~ Ол ЯП!Ляотои СХОД » Я$91

л » !

йб

У1, ПГ!!.!«пк !Пипи

Е!1ю! гуш! !.тиует и!и'и!'и 6!тт «IПл » 0, те при лк с »

Э л- » » »

Рип с лх !.ходится и!1« » ™ » !и!схедитгп,

л !

Пествте1чиви! при!!ивки гхедимэсти опека«ерем!ыппхх рпдаи

УП. Приэивк вбс!ипат«од схелимести

!

Если рид, сеетввланиыд иэ абсолютных лоличии чж!иов

дачного з!лакэиерелюииего ряда, сходится, то сходится и эпгакоперамеииый рял (и тогда ои идэыпвется сходили!моя абсол!отиа1.

УЕЕ Приэиак Лайбиииа

!

Если члены зиакочередуюжвгося ряда, моиотоиио убвгаая,

стремятся к нулю ири д - » ее, то ряд сходится; при атом

сумма ряда имеет тот же знак, что и порвый чдеи ряда и !яв

превосходит его по абсолютной аеличиие.

Примечание 1, При использовании призиахов сравлеиид необходимо иметь в запасе некоторый набор рядов, иро хоМрме

уже известно, сходятся ояи или расходятся. Ь"качестве .рядов

ДПЯ СРааяаНИЯ ОбЫЧНО ПРИМОИЯХ » т РЯДЫ ДИРИХДЕ Еэ

сходяи!хеся при х! > » и расходяц!леся при » и!э » -:, ектахх » р „; — ,„:

ряды Х ах!~ ,. составив!диде -из членов..теомефичефрйФ

,дрогрессии, которые, сходятся дри Ре » 1е. » ! 'и".рдрхсддрФЙ';"х!рм"!. !

!!ри » '" '~ а! » Щ,!

, ПрИМЕЧаппв 2. ЕСЛИ. ряд, СаотаалеНщ.~ » йр ИЗП 'абябр!ХурМФф:фа:,- —,-' з ~,,'::,,: .,;,:- лючии., яленоа,' даииоро .знакоперемениого ряде, рщФедитри » :-' 'длз - '.

1, — .! . ! зчахореремеийый ряд мбжет оказаться 'й расходи!д1имся" и » .бхдир!р! » ! '-',

дгцмся (услоит!о). а~щдщ ,'-;:;:::;;;;:;: -'вели дцг:дбиазмвается с домои!ью признаков Дйрхмбереа-,',1итяЁ:~рдр =

то зиаходеремеиийй ряд будет обязательио рас!хбдящммсм (т1ад.":,:,—.!

":.;-::,:.'„;,. 'хах 'его бби!ий члеи ие, будет стремитьси и пулю).

Рассмотрим иесколько примеров иссдедовавия:,св'1мрдфэ~~ф~ф:;,::.;:,;:.;х; в;!::."..1;;:., ''."'.: гясловьск. рядов.

. » ух+ »

,;"-'"ц':..". 1, П име 1 » Ъ

~, '!! » » !!т

е

Ффу

''-'Р" у,хе у

Распознанный текст из изображения:

„ дих показателен степ .ии в аппменатоле и

а) .' ЬЛу

+ а

числителе -' ' л, й

, а общага члиш р"д Ялй йул й » ул- л 7й 2

ш » » н » » рл » "лод » » топ до » !р » » 'н » пну Ш Кок ж

Ряд абсолютных пашши »

ряд, Посл«впуск » » '.го с пом » « » » » ь!о

подет себя да » » ып ряд',

Ледбп » » пп »

Г~'«' й "й ' й й' й'

и » со » сдавать сходпмость ряда на каинах 1того интервала.

Члены д » йнн » « » йо рпиа при раошшших пначапипх Х могут пр:шимать а~ » п ь«иьп » р««а~ » ь » х ливков. Рассмотрим рил абсо«пот-

нь » х в«««шч » » п .й » 5п(Х к » )л ) с- 5"./Х" ц)"

2;~

гт 5п

Пойдем д » я .'тш.а ряда продал от~ » аше » » ня последующего члена

~«утгрФ5- ба~41 иг + 5"

= «««й«, .«„.й ° Ий-й~дт — „.„„, -й«й-«!

5~Х,уцууг,5" ) / т — „г

и ~гт <)г 5 » л "] Мг Х:

и

И соответстии » с признаком » » аламбера ряд абсолютных величии

является сходяшимся при 5)Х-гг) «т', ) Х«уу)« ~~ или

3-" «х 4-'.

4: - Прн этих значениях Х данный.степенной ряд сходйтсн абсорютио. Ряд абсолютных. величии расходится. прн . Фг » ("М? тй й' -, /,К-гу~, г — ' ' 'или Х 43у ' н" Хн4~ » .,- „-*',

» «

й

при этих анвчепиях х данный сто » » инной" ряд 'таки » е,расходи:клФФ'- , - (см'. примечание 2 в чести 1 п » етоднческннл укаевннй)й:,

' Поведение' ряда на концах интернанв скоцймонтй::.фефэт:, '.

Тикая » к«ш » сь а ишго '

' о члена ряда делает очевидным его ма » отан » ос у ьп«аипг

и б, аипг с уасли » енисм н и его стремление к нулю ' Л о, Слепо » » отельна зиакочсрепуюш«рйсп ряд сходи » тсг по » » р » пи » » ~ку Лгибиииа, причем сходимость этп - условная.

Часть П. Стс псиные « » япы

П П~ » те юпл гкап » масти и а

Ст » ч » еп » » йк| ридах » » аэыпает » :я выражение

Е С,~Х-а) . С, +(; (Х-а)+Сг ~Х.-4гт.„+ С (Х-а)."+...,,

ГДЕ б » , б (Лйд, У; г, ) - ВЕНЮСт » » ЕПВЫЕ ПОСттипйив » ву,'у

Х - » кл юстисишш пе сменная.

» й"'!!!~!!,",'!!~~!!!!!!!:,'-~!!!!.'и » 'й! йлй м ьй ййй й~юю йй » Йуйй~км

'„.!;!,;::~'.,;:.;:::,': Й~:.,~й » шпе » » е » (ошен » » ото следует, что этот енвкоче~эдутоудн~Вге » рщ~'

"","':;: ':,:„:,~4щкФн » абсолютно.

,;т;эких » образом, стх ионной ряд, сходится дри

» о » х,«димости. Об«пасть сходимости любого етний"

представляет собой интервал с иентром в точке':,~~~":!,

рдд » » ус уг, -. к -. » пр ) х-с » ) « » и ряд скоди~ф

ряд » «аслодктся (см. (1) гл. Х1, й 3). Интергв4(рб

обычна находят нрн помаши прнэнахов Данйй. ",„,'

П » ШЧер|, Падтн Ш » тсраап СкадИМОЯТН',, »

у й" (~-~Я"

лис

двльнейшего исследовании.,

пш р; о«« » » чн » » х шш;синих х степенной ряд''дфезфФ~~;„;«,.«у » , ь г й ' * н ев ~ццаетон в ~цюснежМ схаюшп » миси, другие - расходпшнмнся. Ииох » есфФ,~$3~','~~ф~~~~!'::!!~:::,';'«:::::,:.",~;;::::,:;;::; 1-,.".'" "'й ' ': ' ' тенет » ый яд схв

Х, ирп которых степенной рпд скодится Иадци9~~е..', ' „,...„,:„:.:,".!!'„;.~~",:;-",-„:;".'."',:..

Распознанный текст из изображения:

н М"'!

,и (( „,~„у~( ~)н ' (-~ с~<с ~~

к~ф

(х-г1""

г„р(+ в1 Хнр (х г1 ' йс х— "861 О кь41;

,кг п( 1

~„р Ф+Ф

~а 5~ 6)30+ЕИ" л~! " ' (Ос Х 44,~

ло

Примор 1, Функиао ~Як ~ . розло~коть о рян

оо отополим (Х- ф

хн нХ"6 Р+ЗФ"Ю ' Х"я ' К+3 '.

ЛнФ

(-1 х-( (;.;.а х ~~.

с4~+уУ+ку.,у

~-('9.с.г; -З ~ Х'сф

тнк кок е Д ( дФ ~'Ф,:

оно

К

„а,„, '-Е ~х-ф" -~~.~.'<рщ~"

и

,оо ь

Распознанный текст из изображения:

5 Мите!. и » о! » ! » ии » э лппо,"ии » к » » й« » « » ли ииллмп » х пуп » » ы »

!э! При это«к Д «х«! » Д ' 1/ «Кэ! оп!!оэ!ел!латая » га даииого у!тлаиапип; длп от!!ока » ии! эиачаллй послодую » ппх пропэподичпх и точка Кэ сладуат дл!и!оо уравиелпе прели » Р! » орви!в!ровать по к Раша!а » э лииайиого ди4 » эсрекииалы!ого уравиоиия молот платя! тстпу!аиш«о число раэ. быть иайдеио оппсаииым выше способа!л. По болсе удобным

П!п!Ы!аар. Плйти л виде ряла Тейлора частное р » сии » ииэ! ди.' для таких урашшиий является метод иоопрэдэпоииых коэ » !« » ! » ифорэиипллм!огз ураапаиия адептов". У = Гпуе Ху~,

Рассмотрим » шлейное ди » 1«! » ереиииальиое уравпоияе аторого

порядка уламштаорпю!иес пачальпому услошпо Д««! = ~ У'эр«4 у'+~«К) У АК) Частиоо решаппе шлем в виде ряда с иачалькымк услсиияыя 1Г » » 0 ! !к«б!/ эла ! л «О » э'а ° Частиоо реп!экие этого уравнения ншем э аиде ряда по степо- П с о. ц(! » - !

кпм К с иеопределоияымя коэКнш!ентаын! !П! урдпиоиия д » » Я » ~ру ! » э ! »

Д » К блК". Ъф,'орали!

Если иачальиые условп ! для уравнения не даны, то в текам'же ! » «Цвраииируя лослодоаательпо липкое уравнепие, по чпм олучпм виде можно попытаться предбтавнть и обшее решение уравнеиия. Продяффереяияруем ряд, дважды.иочлевно « '

у' Енса~!"' У вЂ” „э гуэ у ку 'Кц~ "

Р"-~ «л-МС,М"" ! » » . !«««. » ".!'.Е«!! ! д'.!„.!. дд" д » !. » ! » Р! » ! ФМ:,: д » !:. » ~л » » « » « » « » ~: "",~-''

пеням Х н Все получевйэ!е ряды'-додотавны В данное, ура!!нен1!е." 9" «~~эф$:',;:,;;::,';:,,;'-:"::, !: . ' для определеняя к!оэ44ййиеят » ов' -'Ся 'составляем скоте!му. гргав:-,'

» ', невяй," » прщавннввя 'к!ээ4фндкентьэ » прн:,одяяаковык степе!!Ях Х. Т » » кп«! бр » аом ' ' ' ' ' ' " ', ' ' » ,",'..'!'::::".,"„-''-::::;: » -'' '''-'=',:. „: .. В'- » ЛЕВОй!Н.'.ПРпа«во » й'част » дк',,".полуюенвооо уравяеняя.

.;:-:,:;:,;"-';::, ",;,:..:;::,;;-.;,"'::::! '::";-:.:Мзйет':,',опучитъс!у, 'ч.т » о » :дйк;решеяця этой,снстемы в » се ко, ыУ » !'!'",. «к-У~э — «к„ку!У,, ~О ° з,У ...,,'',''т.',.'-~',"";!":'.','= » :,.' » , '";:",;,;-':- -'-":ВФФЯПВВП » Утд;-.,',,:'-'-4л,«! » Ув4;, '6УРУт вэ!Ре!кеды данейко чеРеэ'ф,' 'и

щ й.=.4'..~.::,'«:.'.:.,-.-,-~,':.::„: » '-',:.';-:-',",- !",',-,,--.- ':: ....:,' ..щ~'..4,',".,':::.ф~ !эефдда » , й,.щ """"'" 'лэп рвиа ир » » ктич

Ю труд о«,!« » оэт!уу » ф.,.яе » и » :.!:, - » » » . » » :,.Ввв!удвэь!тая« .Тердо. функяяя УЯ с ~х принимает вид

° » р . маы пи! » поги'п » о. рядков-';мвгУТ-,'... «"э ф!ш~е!9у"-~ ДУ~. +'~ !

!

Распознанный текст из изображения:

рекурраитпые саотиоишшш ( » 7 и ( » ) позволяет выразить шаба!! кавф!1ипиант ряда через пропыдушие коеф!нннепты и, та ким образам, выписать сколько угалиа члсисв ряда. Олнпко пли иршгпшеакаго использования ряда иелатольиа иметь сга обиш » ! Гиии выражеГГГГый не через предыдувше члеиъГ, а в виде фуикшиГ его номера, Вычнслнв несколько первых коеффнеецтов Рида, иэ соотношении Г » 7 легко полУчим С » н их7 иГш л. Г, иэ соотношения ! » ° ! аиллогичяую формулу для Стл » Г получить значительно труднее. Г » !ошно сделать так; шл шелиа С5, Ск, СГ, подмечаем абшую закономерность в построении этик козЧ » !1ипиентав-

Г'-57л '

2л-Г с кл-5 ~

7л

с

!! истлиии эти иыри » кения в » !юрмулу. т » 7 » убенГдаемся в тлм, ~та получается тождество, Отсюда следует, что фсрмула, ли! аполпкипля Сел Г, составлена верно.

Итлк, абшее реиюниа уравнения- ГГКГЕЕт;вид.

У » ' » ' » » ' » и » " » » тх и » » -..~~ » » «Г » ! » »

Г 5 Г: 'й '':н .."..-Х:".'

й *" *" '. ФР~~гф4. -.

или

,Х 5,~ Г 5 5 5 .. 5 .: й'.,:-: 'я:":::::::ХФ. » .;.'

1 э.у ке у е .','::,. ф4),'.Рр"'.-",.",Р,, '- ~ ~т иасш лией ~!юрмулы хорошо видна струзщ$МГ!.'-"РбяфФФГ:."ЬФФМЙГй'-"'

«ииапиого лвои аролисга уравнетГнт Се~~Е~~Ф~~~~~,' "',!~~~; -...,.!:::::-';;-:;; »

решение соответствуюиюгс одноро4$ФТМс~с '',,„... г"' *Ъ,,'*.-.,:.

4." ':5~!~;~,"~;:.;;:,:,:~.;,"„';; '- ! лишае этога одиородГ » ога уравнении,', Ь,.м,:,'"'"'"',"'"

» аит некоторое частное решеюш дв~. ''

П »

алучив решение в виде ряда » ,ткГчьв1!!7~:",:;~~,.

иа закон абр Гзоиипш его члеиовх ииовдв"-:~~~ф

ли1ь э » юмситарную фуикшпо В нашем;

Г » Г 5 Г 5- к""'

— х + —,, кх'- — «'+- +~-Г7

Л 3, г б! г,у » ... дгл-~,Гэл » Г!Г, "

«хк » Г, » Л

Таким образам, обшее решение уравнения имеет вид

,фй =С ~У+ ~«а~тС,«еф~фГГГ $ "Ц.

Однако для дальнейшей рабаты с функнней Де«эта формула ие обязательна.

Запаням начальные условия для уравнения!

Х, О; ИО) Г!; УЪМий.

Согласно обшей теории Се= ИГО7 » О С » » у(0) «д . Частное

решение нмеет вид .

г '"~ » .7 » „'Ы » ""

Д чЯ т «5'+ Х ' к

Г. Л ЗГ: к55!, .Д «Г " ~йп',фл » ф„~

ВычнсГнГм значение.этаго частного решении и точке Х, » ~;.

УЗ » 5 3~ ' 35, 3 » Л7'

.ГГ. «С, ' е * ' » Гк~ ш~ ~~

эйли. *г,Р..ЯГ. Р5 эа.бГ,лй. Рй7т,ДГ Рй

Ошибка

'зй '. ' 'и

' 5 » ' — ~ » » а

, . Д"Олй = Гхглфа

;' Д: » "2. Н » » » » . » мь У » ~ »

~~-Х)Ц"+ХЦ'-4н Х~-2Х+Л.

а

мишени » е представим в виде ряда Ц~Х СнХ

Уравнение примет внд"'

фХ7ГГ-Г7ГГс х +ха ГГс х -Йслх иК~"ЛГГчЛ,

л » й л » Г л.а

47.

Распознанный текст из изображения:

Част., 1И. Т и,гоиок1ст ~плоские и м

Коэифцциепты опредвллются лз ссюдуюиюй снстемьл

.сели 4уикса~л ДХ) о интерполе (-С С~ ограиичена,

имеет точек раорыаа пороого рода и точек экстремума ие более

калечного числа, то дпц исе можно гостроить тригоиометрич

кид рид фурье:

-' + ~ о, сдФ вЂ” + в„5ит — "' ~

Лж

С,ав

С гС гсб а . С ЗС г 5С *О

I

Сч /6 Сг абсуСа "ди~рСа

Сб=д

С - С*" . Са~ б Я т Зб.бу а ~,Зс а

С,тбСб е56Сб*б

С «(у

где

Х~ Сзт('Сечд'4Сч 0..... * . аа ° Д фас(Х

~ е

С> +5Сб+4 5Сб ~С . Ила-~ ДХ)С~1 ~-

.-б

,у

кта а ~ У(Х~5(д -и — ьй

овраэокд .. с, и,. ' Приве„,' 'э~,,т рлд будбт' с ~одить,~~ лрв ~ь( сй„-,чии-"м

а); в.твд.точках .'Х"'ч интервала. «-~;Ф),'в доторьск

а б С Х + а а - "~ф дедрфрьдалв . суьвбв рвдв . ',,фф1 рщВ(в влвчаи;до фуик

'с! ' рч,С~~~ "б ~СаХ ...:, . „...,,. ц

ьа,

Х ...° .-,Ф' '~-:-: '.": " " - - лй

х' Хт К' .„' . '..',.:,',:.:.::-:-::='.~~„:~:;. «":~;,-': -..-- ".У' 'в -,,-„

ГР Г" Г.д~

','::,:::.-"! -6):,'!афпг'' "-(( » ' -"щчкв рвврьци фущсинв фф' ' -,; то

В аолучеииоя формуле осталась только одиа дрой4всййй~$$(:~ '... - ' ' ":, '-" .(.

с.. и ..„..чь... „,.....,... к. «е~-'':."-'."::::::.":::-::-'::::-':.::-:.".";:"::;::.".""-:::б~ка.4'".'"'!"' 1

'Ф

стсилаим рядами ло ствпеняи Х (каи локвМдр у~', „и и ~~:::,':,:"::"~-":,-~~.:~~~~~~~~~!~~':.-~.,'.' ':,„; 1

се ати члнкщщ лрддчфу~

2 к т.в«

~ "ипиа раорив лри Хай ). Обшве решМФФ ФМФ, —,к:. '4сч б -долаждад с(~икдцл С дер ЕМа ИВ"

дедов число (теорем

в,,-Ф;,'; ...

Бд

Распознанный текст из изображения:

Д, ° ~~ ') Дх)бе + е6.

!1„*д) (!(~-г)сруфсЬ И" — „„,;

,:.,«, ~;:.':;::.,!:.",;::;;:;:,'!!!':,;.:.,;-:::;.;;,:".:"---:;:.:!::::;:";::, . ' М'~оюу(а!

! спп ьлкгю

; ю мол.,пем образом па иа

м ряда имеет

рочл (-~. ф,, ыожсо:.'й'х~( '.

Примоор 2. Построить тригоиомотричесюи! ряд Фурье для

1(уи«ции дф)я яя-Л ири -2 'я4 2.

~Я вЂ” чвтиая (у!!кпх!я;

2 'ух

д х - ~ (у2-Я) (~)( =

ж г

л /б' лс7х

Яя-у+Е~-д х у ~(~~ — "~ с;ч й.

лю ь )7 Я х

ю и ю трьгопомет и

трьгопометрпчос«пй ряд заданного айда,

Г!:

'-'"-; ФВ

,Л!е,.п (!3. Фуп«щ1ю

а «~1

у х

А)

х и х Л

у ~ Х яК --.'; '::,':."::;::.':.'::,':";.:"4

„ю юъ и трогало«ют п1

«ю ~ ' ' рическцд ряд ио сииусаьт,:::,,':-".;;:~!,::""~-~

Строим вспомогательную нечетиую функдию ' г(К!, «оторая на кнтерввле ((~;Я' ! совпадает с даннойД~!~)

Фуикцию г (Х) раэлагаем а' тригонометрический, ряд".

у ° х !' х!х!х(пхх Й;хх!/ х яхххй >(-хХ!х«ххх!~::::::.':::!

ия- СдаххХ+дЙП,РХ) '. ущйф/ ~ед~'., «;Щ~,

фя'«ха'х~~.~хд+!)ух!алх', -я~к~я.,

Распознанный текст из изображения:

СГЛАВЛЕ1Н!Е

1„А,Ф. Вермппт, И,Г, Арлмаловнч. Краткий курс матемптп~епкого лнллиэл. Для отузов. М., "Наука", 1067

2. Н.С. Пискунов, йнФФореипиллыюе и интегрвльяоо исчисл:лпе, Ллн втузов. М., "Наука", 1086.

3, Б.П.,Пемлдоппч, И.А; Мэроп, З.З. Шувллопл, Численные м.толы алалпзл. М., Флэмазтиэ, 1086.

4, А.Ф, Филиппов, Сборпнк зллач по диЦеренпивльным Пмплепплм. М., Фпэматгиэ, 1061.

5, А.Н. Киселев, М.Л. Краснов, Г.И. Макаренко, Сборпик зз,ы ~ по обыкновенпым диЦвренииальным уравнениям. М., Ьысшля ~плолл", 1067.

6. Р.Я. Шастек. Теория рядов. Изд, МВТУ, 1060.

Содержпппе зодлпия Ряды

Мстоппческпе указания,......,...,.................,.........,.„„... "5

Часть П. Степенные ряды ....,.....,....„..............,..... 30

'>

!. Интервал сходнмости ряда ...........,.........,...„.....,. 50

2. Разложение фуикиии в степеиной ряд ......,.......,.... 32

3, Приближеилое вычислеипе значений фуикипй и определеиных иитегрвлов при помоши рядов ....,.......,...„... 37

4, Интегрирование диффереидилльных уравнений с по

5. Иитегрироваиие лииейиых диффереипиальнык уравнений с помошыо рядов.......„:... » .. -,.:. » --.«--. » .:-" ° . °

„,......,';„' „...,..„.....,....,'„,*, ° 46

Часть Б. Тригонометрические ряды ..;„...........;....';... 51