Книга: Ряды и их приложения
Описание
Характеристики
Список файлов
- Ряды и их приложения
- рр
- EPSN7692.jpg 194.47 Kb
- EPSN7693.jpg 187.56 Kb
- EPSN7694.jpg 179.94 Kb
- EPSN7695.jpg 191.36 Kb
- EPSN7696.jpg 203.6 Kb
- EPSN7697.jpg 211.74 Kb
- EPSN7698.jpg 216.88 Kb
- EPSN7699.jpg 214.86 Kb
- EPSN7700.jpg 218.15 Kb
- EPSN7701.jpg 205.26 Kb
- EPSN7702.jpg 216.37 Kb
- EPSN7703.jpg 200.2 Kb
- EPSN7704.jpg 212.8 Kb
- EPSN7705.jpg 226.03 Kb
- EPSN7706.jpg 238.27 Kb
- EPSN7707.jpg 240.68 Kb
- EPSN7708.jpg 198.06 Kb
- EPSN7709.jpg 198.36 Kb
- EPSN7710.jpg 172.51 Kb
- EPSN7711.jpg 179.07 Kb
- EPSN7712.jpg 203.5 Kb
- EPSN7713.jpg 219.5 Kb
- EPSN7714.jpg 196.08 Kb
- EPSN7715.jpg 230.69 Kb
- EPSN7716.jpg 181.03 Kb
- EPSN7717.jpg 202.27 Kb
- EPSN7718.jpg 183.66 Kb
- EPSN7719.jpg 194.29 Kb
- EPSN7720.jpg 170.16 Kb
Распознанный текст из изображения:
>. у'
Л-' 'у'
Мииистс~ъстио оь1с1исоо и с~соисио си ° ипоььиооо об; ~.~~ос
~4оскооскос орасио Лсиюя и орсини Трудо~ осо Е~ ооисго З1 пьссшсе тсхиииоскос у ~илии,с им ии Н,Э. Бь; моио
Р"„3, ССНПОГЬЛ
РЯПЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ
Распознанный текст из изображения:
нчожо)снв издввтсь
Ряды в ик прнчож ь
М ПВВПОМ СИОЫЗВ
вя С тч ОВЫЫ свтвВТСТОВИ С . Ой ВЫСЫО В
й ывтемвтию1 '-'::Ф б Уь Об иию кв4оар
ЛЬТОТО ОТ и Учобио-
КОМЯССисй фВКУ 3 г '!йстоввч ской Задачи 1-5. !!ссявдоввть схозямасть данных числовых рядов '
Часть Р. Ствпвяиыв Ояды $ вдвчв !. Ев: ти иятврввд сходимости степенного ряда и ис.-.," следовать сходимость ряда пв коидвх этого интервала.
Звавчв к. По. — эуясь известными аормулами разпожеипп в степенной ряд ф;як1шй б , 5!и х, со> х Ь (4+х~ ~уй~), рвзпохкить дви~ую функцию Дх) в ряд по степенны я«!Х и определять яитврввп схопимостн подученного,репа
задача 3, Рвэпвгвя подыитеграпьную функшао а рип » . иычи,
лить приближенное значение данного определенного интщ;рМщ',Ю:,: "З погрешностью о, не превышающей 0,СО1.
Зада ай 4. Найти первые 4-8 членов разложенчпв'н рнд:::~!:-„е, ' ра частного решения данного днЦереипнмМого";уррйнн~п6~!:";~и~'-;::."';;!~: укаэанных иачельлых условиях.
задача Й~ найти обшее решение лииениож' Фжлрорр!~=";;;:,,: днфференнивльного ура::анании итюрого иоридйа н::.'4ище: ~!;.',""'! пеним и (методоы неопределенных коефФиниещФф'::;::::,:,;:;:;;::;.::::;:,;:~;;,':„";,:,"„
Исследовать структуру иалучэнщэ'Ф Мнюно.' фМЙЙ4~$~й'!;
ЛИИ И Иаы,пбшаа РЕШЕНИЕ ФФОтаатотблкИИЕФО КНИВяфбдиТФЩЁ.
::"'ИИИ,...ЕГО. фГИдайТЕНтапвмуЮ.СНСТЕВчУ.РййЛЕИЭФ И РЮаИМ::З~б~~' ("'," ',.: „; - цфИж:йаотйюе, рен!ение: ' 'Фв ФЙФ) » уФжрйтФ4ф~ц3~$фФ!;,",,'.
-'-в'.","- ".';:„„':,':-:,~!!и$рмйю.уфлониим, Кйу » Ь, фщ6~-4~~у иын!инияу~~~,
"~.";"',:!!'::::::,*';-";'~!~::уфФ~и!й!уо решеяшн и точки .М. '~рФФ4~ е ФМ~и~"::;,~~",.
Распознанный текст из изображения:
Част » , Ш. То'и оиомот » илескн » "я ьы
Задача 1. Фуикаио У ДЪ~, оапанлу » о д иктериало
» » рааложить а тригонометри1оскпй ряд Фурье. Г! » дстроать график фулкилл а' у' » кху и график суммы С » = а,'к~ .кс » лукониого ряда.
Фуи'""ио и= ~'1х) яа~ж -уко д литерал » »
Я 1, разломить а рял Фудьо укадалиого ьила. Постооить гр » » фик леклой фу! » кили ц = фс~ и график суммы у ° 5',',~ иолу ~о » и его ряда.
Распознанный текст из изображения:
'1аст1* ~Ь,'1'Ж~й
3ЙСЧЬ Г~'ОЙ~Я
О.
Я 4
1 4
Фа /
П
с Й~1ЯП+Н
л 1
~)
'~ Л-~
— г~
го
Ж
Е,иъ-ы
~3 131(.:Йл
ге "-~
7.й '' ~ (~а -Щти)
п Рл'~з
сР
ЛН
17
1-Ю
ФВ
+~
~ н.уа в Ь,:(6п2;
(ПИ
~
~ Х 'Гп~-.5ю'~::!о,.":::;:."',.":: '." ', . ' .."
ли .::4="'. -';,""'.",:,Ъ'
х~ ~~ „г' СО,Я—
и+1 .. ~'--':."д
л ФЫ~
'„.-, ~Зф ~~, а" сйп
Распознанный текст из изображения:
У'= гх-Сму
1= — — — дЕ
! „,, с
1 У=е -ху ,, ~р'~ !'-Д';;~ ' — — '~ ~ |~х~а~х сЫх)д » 2 3 ~ ~ д — — о з',,:,",,-х ~,~ /' ~~:~,:,::;::~ » ::::.',::,.':::: '.,;:,,:; ~:.". -'.; " е-,'- .' ' -"' ~ ' " ' " 05 '=,.':::;-'.-'-.':.-:::."-:.'-,'.;:::-',";.-:,"-.-':-."'-,':,,:-'.":;:=-;-:.'-.,-.::."::.'::.-'--,,:::::—.'-':.".::,"'-,':-:.:.::.:- Флуг.д -Е
~К ~~~Д ~ЙД 12Я=2М
:9Ы=П '
=П
~х'-ф~д-Яку Ру:.' ~~с,-~
!
=~х'-фЫ-Ь ~Йи ~ Фа)=г
~х-~~'у'-гМйу дои
~~'-~)~ -.ГУЛАГ~= Уф":~
=Ж МЬк:-йссЫ' у~Ф~
т
'.""!б'~'!'!.". !! ."~
,„„х,
л
г
, 1" ы" ~ -б", со~ Х
~~, 4','л+~~~ЫЯ 4~
41/
Д~ =б
~Х*-Ж'-ЬЦ'~2Я"Мл~и~~Я
9Щ=й МФ~'~
Распознанный текст из изображения:
'1лсть трлтья
~; Фй-~
ф=
-~еуе ф
ф = ~-)< лрп деХеф.по косииуслк~
деУс ~
па каснпуслм
.ГК; деХед
ф~ "т
~7-Х; ~еХеП; по коскпуслм
Распознанный текст из изображения:
и1тгодич!:ск1и! укхтзд1111Л
/! »
~~ !'~,! -,-<у !7 " ' ~ !
! х -Д< х'с(~ !!
1х
,„ф,, „,-, „„Я„( ~, п...Ю-~.
!
и, -хх-!: !! !!х!
!фх ! Х, -1Хкх ! ~Ф ) хХ ~ КХХФ' -. ПО, СИИУСй14;;";; -',-„-,.
„„Т
У1
и
х ху
1х1х1: ' ! 1!1х1-. '!:;ф
'1лст! 1 '1 «-:лоиие сил!х
1='ели хт с, ах~ хт„ - бссхсночиои послед(!оотсл!,писки
се!пест!К-'ли! !х 'и!сел тс В! !1хе копие
2'а„яа, а, ...+ т. "
Лх!
нлзывлется хислоииии ридом.
Сух!ыо П пороых хлоиюи рядо
„~„а,-б1, ... а
лао! !идется ого частичной сух!ххой.
Числовой ряд ллзыоается сходяиымси, осли послсдооотольяость ОГО часттхчи! !х
продел хэ при П -ь охи . Этот продел
.: г'тА-г
и-т о
иазываотси"суммой ряда.' Если'. 4ит4~ ио"су!исстауит„тс.
ряд иаэыпается раскодииа!моя,
р „' 'СКОдяи!ИЕСИ рядЫ И!Иррис.кхСПОЛсеуихтхоя щж'йрцбдйбщпбпцй „,';;„" '.
'пычислелий' аиачеиий ххиуикпйй~'иитохралоа'' и ''тхр » 'Ори ахом .,'.~!'!';:~Е'"
,ри ахом
опт ~'ф ~,'„~-,О . ЭтХх ЫЫ~И~, ~~ РмбИРИП:! б! Щами!СН~~6 -...:,.
б+ФФ х, .
бопьыим„' сумму рид«' ф . ыо!кпо аямейкть:етчх чабекхдтбФ:-:фрй4'-': Г '.? „МОИ !хЩ ! С' Побей ЛОИЕРЕД' ОаДаИИОй СтОПЕт! КХ;тем!С!Уйб::.;:Дситпи:
му 'дик ..'пракстическик: Мелей иаж!хо уметь отхлкчатбх 'рйд!хх!х пйпхйвФк.'„.!:.~:;-.:!
:;,~":;;-":-;:,'-:;:: .;„еся хот; раскодии1иксп! ' Этому пит!росу ' и посеяикипххх."Фее пбйахх:-:,"' ! ";:;::: .,;;:::,: ;;"„::: ":.-:-;:.;:::;:::":.:йЕРхисй,ЧДСхщхПРЕДЛаГЬЕМОГО Дсыа1ИПЕГО Еапа1!ИИ,. Ёф~:,йабййДСФЬ'.:"" " ',. -'-'!'Ё'-;," ":,';:!:„';:!':.':,Ийй' "СхлидИМОСтц,'Хп!СЛОйОГО ряда ОбЫЧ ае аа ' ПЫКаКМя:-~рруаЬ1й1 жх
К!",!!!~!-'ххх! ЕМ.' ЧайтПЧИЫЕ СУММЫ' И ЙСКа'3Ъ:.АМ хеа ' ЗФО -Рбййб!ба.:фЦЙРК1
:х;:;..;.".:,::;:;.-,:,:пб.:: !. ушествует полый рид ир!!о!!акоп, пооиспяёйдсс:пб::4й!кхиФдйцд....',,:.'"
',;.",.";."х::::;«!:::-::-':-"ббл1итКХ- ЧПЕПа ' ряда 'ФЛ СудлтЬ О СКОрпМСхотр ПИ1К'рйоиоймййройЧ~:"-.-',;;:х,;-1
"':::~!::::-':::,:;:::рМа. ДЛИ', раптаикя ИРЕдпат.'аЕМЫК ладки Мсжло 'йСПХ1ЛЬЕСПжЬ,. ","! '-х!':.'.;.":
Распознанный текст из изображения:
!и речислеюлые ииж прививки,
1, П! ебх!тимма ириэиак сходим! сти
Если и!лч гхедится, то его д -!! чпеи стремится к иуюе
«! ««1еции.«ч! !вчем ааэрпстюи!и
=о
и - »
Де!тате !п! !г и!и!эпик!! сходил асти и расходи'!ости рядов с
!1;!1ю ките«! «! !' и! '!лекале!:
П П, «пюк гр!люеюы, ес«оппюи,!Л па устпиоалаиии пера!«.«ез!и! л! » „!у Об«и!! » п !п! !!вми л«1 х рплев
Пл, и! р Еа„и ХВл,и! «д,
» *1 » !
«.! л Л, !ю !п«пп е пекетвгоге помада ЛУ, Г1 .с 8Л 1.. ю 1:и! ~ ав гжги«теи, т! Сха!Гптси и ряд ~,'!Дп
!
! пи г«и ! !!«,к дв р » !вход«топ, то расходится и ряд Я Ол .
и ! л » !
!!. '1И еп! пып !Р при;«гик ер!и!иеинк
! .; !у,! 1г » ч ует кеп !пы'и отличима от нуля,' предел отио««и еб ых чпепев двух редев ири л ае,
~Ъ вЂ”," =с рооп
,1б..; «д1, !!спут г! 6« пипи«капо, т,е. сходятся,::щ~а фдехрдятси
О«ипи!и ! и ии!,
1У, !!! тегрпю,пыд признак
1:е!!и ! у«к г ! пугт такая полок!итаки!я,'':Хчяхд
«! -р, гия пр« » е а а и !рудхш!я.,:-~$~' '. =' ""':-;~".!~..'!-"':Ф,:
» » !кх
и,! рчдв Е!дл межпо рпесл!атриаатЫ4С:,'.~К! »
и ° ! 1К-Р
'луб!1
,! ч
1б «кипи ири !иль!х » к!и!!алиях аргулюдта ',т:.'ЕЕ1!'';:!б
!
гв"
втет ркп и иптегрпл ~ ~дх3сй Сирия! » ! » $~,.
едиеирем!ии!е.
У. П!1пэипк Пвпвл!бара -„''"„е » "
еелп су«югтпует прадед от1101ир1фФ=;
пв к пр дыду!пиму ири д.выдр
'",*фт!"
1ЯД К~ Ол ЯП!Ляотои СХОД » Я$91
л » !
йб
У1, ПГ!!.!«пк !Пипи
Е!1ю! гуш! !.тиует и!и'и!'и 6!тт «IПл » 0, те при лк с »
Э л- » » »
Рип с лх !.ходится и!1« » ™ » !и!схедитгп,
л !
Пествте1чиви! при!!ивки гхедимэсти опека«ерем!ыппхх рпдаи
УП. Приэивк вбс!ипат«од схелимести
!
Если рид, сеетввланиыд иэ абсолютных лоличии чж!иов
дачного з!лакэиерелюииего ряда, сходится, то сходится и эпгакоперамеииый рял (и тогда ои идэыпвется сходили!моя абсол!отиа1.
УЕЕ Приэиак Лайбиииа
!
Если члены зиакочередуюжвгося ряда, моиотоиио убвгаая,
стремятся к нулю ири д - » ее, то ряд сходится; при атом
сумма ряда имеет тот же знак, что и порвый чдеи ряда и !яв
превосходит его по абсолютной аеличиие.
Примечание 1, При использовании призиахов сравлеиид необходимо иметь в запасе некоторый набор рядов, иро хоМрме
уже известно, сходятся ояи или расходятся. Ь"качестве .рядов
ДПЯ СРааяаНИЯ ОбЫЧНО ПРИМОИЯХ » т РЯДЫ ДИРИХДЕ Еэ
сходяи!хеся при х! > » и расходяц!леся при » и!э » -:, ектахх » р „; — ,„:
ряды Х ах!~ ,. составив!диде -из членов..теомефичефрйФ
,дрогрессии, которые, сходятся дри Ре » 1е. » ! 'и".рдрхсддрФЙ';"х!рм"!. !
!!ри » '" '~ а! » Щ,!
, ПрИМЕЧаппв 2. ЕСЛИ. ряд, СаотаалеНщ.~ » йр ИЗП 'абябр!ХурМФф:фа:,- —,-' з ~,,'::,,: .,;,:- лючии., яленоа,' даииоро .знакоперемениого ряде, рщФедитри » :-' 'длз - '.
1, — .! . ! зчахореремеийый ряд мбжет оказаться 'й расходи!д1имся" и » .бхдир!р! » ! '-',
дгцмся (услоит!о). а~щдщ ,'-;:;:::;;;;:;: -'вели дцг:дбиазмвается с домои!ью признаков Дйрхмбереа-,',1итяЁ:~рдр =
то зиаходеремеиийй ряд будет обязательио рас!хбдящммсм (т1ад.":,:,—.!
":.;-::,:.'„;,. 'хах 'его бби!ий члеи ие, будет стремитьси и пулю).
Рассмотрим иесколько примеров иссдедовавия:,св'1мрдфэ~~ф~ф:;,::.;:,;:.;х; в;!::."..1;;:., ''."'.: гясловьск. рядов.
. » ух+ »
,;"-'"ц':..". 1, П име 1 » Ъ
~, '!! » » !!т
е
Ффу
''-'Р" у,хе у
Распознанный текст из изображения:
„ дих показателен степ .ии в аппменатоле и
а) .' ЬЛу
+ а
числителе -' ' л, й
, а общага члиш р"д Ялй йул й » ул- л 7й 2
ш » » н » » рл » "лод » » топ до » !р » » 'н » пну Ш Кок ж
Ряд абсолютных пашши »
ряд, Посл«впуск » » '.го с пом » « » » » ь!о
подет себя да » » ып ряд',
Ледбп » » пп »
Г~'«' й "й ' й й' й'
и » со » сдавать сходпмость ряда на каинах 1того интервала.
Члены д » йнн » « » йо рпиа при раошшших пначапипх Х могут пр:шимать а~ » п ь«иьп » р««а~ » ь » х ливков. Рассмотрим рил абсо«пот-
нь » х в«««шч » » п .й » 5п(Х к » )л ) с- 5"./Х" ц)"
2;~
гт 5п
Пойдем д » я .'тш.а ряда продал от~ » аше » » ня последующего члена
~«утгрФ5- ба~41 иг + 5"
= «««й«, .«„.й ° Ий-й~дт — „.„„, -й«й-«!
5~Х,уцууг,5" ) / т — „г
и ~гт <)г 5 » л "] Мг Х:
и
И соответстии » с признаком » » аламбера ряд абсолютных величии
является сходяшимся при 5)Х-гг) «т', ) Х«уу)« ~~ или
3-" «х 4-'.
4: - Прн этих значениях Х данный.степенной ряд сходйтсн абсорютио. Ряд абсолютных. величии расходится. прн . Фг » ("М? тй й' -, /,К-гу~, г — ' ' 'или Х 43у ' н" Хн4~ » .,- „-*',
» «
й
при этих анвчепиях х данный сто » » инной" ряд 'таки » е,расходи:клФФ'- , - (см'. примечание 2 в чести 1 п » етоднческннл укаевннй)й:,
' Поведение' ряда на концах интернанв скоцймонтй::.фефэт:, '.
Тикая » к«ш » сь а ишго '
' о члена ряда делает очевидным его ма » отан » ос у ьп«аипг
и б, аипг с уасли » енисм н и его стремление к нулю ' Л о, Слепо » » отельна зиакочсрепуюш«рйсп ряд сходи » тсг по » » р » пи » » ~ку Лгибиииа, причем сходимость этп - условная.
Часть П. Стс псиные « » япы
П П~ » те юпл гкап » масти и а
Ст » ч » еп » » йк| ридах » » аэыпает » :я выражение
Е С,~Х-а) . С, +(; (Х-а)+Сг ~Х.-4гт.„+ С (Х-а)."+...,,
ГДЕ б » , б (Лйд, У; г, ) - ВЕНЮСт » » ЕПВЫЕ ПОСттипйив » ву,'у
Х - » кл юстисишш пе сменная.
» й"'!!!~!!,",'!!~~!!!!!!!:,'-~!!!!.'и » 'й! йлй м ьй ййй й~юю йй » Йуйй~км
'„.!;!,;::~'.,;:.;:::,': Й~:.,~й » шпе » » е » (ошен » » ото следует, что этот енвкоче~эдутоудн~Вге » рщ~'
"","':;: ':,:„:,~4щкФн » абсолютно.
,;т;эких » образом, стх ионной ряд, сходится дри
» о » х,«димости. Об«пасть сходимости любого етний"
представляет собой интервал с иентром в точке':,~~~":!,
рдд » » ус уг, -. к -. » пр ) х-с » ) « » и ряд скоди~ф
ряд » «аслодктся (см. (1) гл. Х1, й 3). Интергв4(рб
обычна находят нрн помаши прнэнахов Данйй. ",„,'
П » ШЧер|, Падтн Ш » тсраап СкадИМОЯТН',, »
у й" (~-~Я"
лис
двльнейшего исследовании.,
пш р; о«« » » чн » » х шш;синих х степенной ряд''дфезфФ~~;„;«,.«у » , ь г й ' * н ев ~ццаетон в ~цюснежМ схаюшп » миси, другие - расходпшнмнся. Ииох » есфФ,~$3~','~~ф~~~~!'::!!~:::,';'«:::::,:.",~;;::::,:;;::; 1-,.".'" "'й ' ': ' ' тенет » ый яд схв
Х, ирп которых степенной рпд скодится Иадци9~~е..', ' „,...„,:„:.:,".!!'„;.~~",:;-",-„:;".'."',:..
Распознанный текст из изображения:
н М"'!
,и (( „,~„у~( ~)н ' (-~ с~<с ~~
к~ф
(х-г1""
г„р(+ в1 Хнр (х г1 ' йс х— "861 О кь41;
,кг п( 1
~„р Ф+Ф
~а 5~ 6)30+ЕИ" л~! " ' (Ос Х 44,~
ло
Примор 1, Функиао ~Як ~ . розло~коть о рян
оо отополим (Х- ф
хн нХ"6 Р+ЗФ"Ю ' Х"я ' К+3 '.
ЛнФ
(-1 х-( (;.;.а х ~~.
с4~+уУ+ку.,у
~-('9.с.г; -З ~ Х'сф
тнк кок е Д ( дФ ~'Ф,:
оно
К
„а,„, '-Е ~х-ф" -~~.~.'<рщ~"
и
,оо ь
Распознанный текст из изображения:
5 Мите!. и » о! » ! » ии » э лппо,"ии » к » » й« » « » ли ииллмп » х пуп » » ы »
!э! При это«к Д «х«! » Д ' 1/ «Кэ! оп!!оэ!ел!латая » га даииого у!тлаиапип; длп от!!ока » ии! эиачаллй послодую » ппх пропэподичпх и точка Кэ сладуат дл!и!оо уравиелпе прели » Р! » орви!в!ровать по к Раша!а » э лииайиого ди4 » эсрекииалы!ого уравиоиия молот платя! тстпу!аиш«о число раэ. быть иайдеио оппсаииым выше способа!л. По болсе удобным
П!п!Ы!аар. Плйти л виде ряла Тейлора частное р » сии » ииэ! ди.' для таких урашшиий является метод иоопрэдэпоииых коэ » !« » ! » ифорэиипллм!огз ураапаиия адептов". У = Гпуе Ху~,
Рассмотрим » шлейное ди » 1«! » ереиииальиое уравпоияе аторого
порядка уламштаорпю!иес пачальпому услошпо Д««! = ~ У'эр«4 у'+~«К) У АК) Частиоо решаппе шлем в виде ряда с иачалькымк услсиияыя 1Г » » 0 ! !к«б!/ эла ! л «О » э'а ° Частиоо реп!экие этого уравнения ншем э аиде ряда по степо- П с о. ц(! » - !
кпм К с иеопределоияымя коэКнш!ентаын! !П! урдпиоиия д » » Я » ~ру ! » э ! »
Д » К блК". Ъф,'орали!
Если иачальиые условп ! для уравнения не даны, то в текам'же ! » «Цвраииируя лослодоаательпо липкое уравнепие, по чпм олучпм виде можно попытаться предбтавнть и обшее решение уравнеиия. Продяффереяияруем ряд, дважды.иочлевно « '
у' Енса~!"' У вЂ” „э гуэ у ку 'Кц~ "
Р"-~ «л-МС,М"" ! » » . !«««. » ".!'.Е«!! ! д'.!„.!. дд" д » !. » ! » Р! » ! ФМ:,: д » !:. » ~л » » « » « » « » ~: "",~-''
пеням Х н Все получевйэ!е ряды'-додотавны В данное, ура!!нен1!е." 9" «~~эф$:',;:,;;::,';:,,;'-:"::, !: . ' для определеняя к!оэ44ййиеят » ов' -'Ся 'составляем скоте!му. гргав:-,'
» ', невяй," » прщавннввя 'к!ээ4фндкентьэ » прн:,одяяаковык степе!!Ях Х. Т » » кп«! бр » аом ' ' ' ' ' ' " ', ' ' » ,",'..'!'::::".,"„-''-::::;: » -'' '''-'=',:. „: .. В'- » ЛЕВОй!Н.'.ПРпа«во » й'част » дк',,".полуюенвооо уравяеняя.
.;:-:,:;:,;"-';::, ",;,:..:;::,;;-.;,"'::::! '::";-:.:Мзйет':,',опучитъс!у, 'ч.т » о » :дйк;решеяця этой,снстемы в » се ко, ыУ » !'!'",. «к-У~э — «к„ку!У,, ~О ° з,У ...,,'',''т.',.'-~',"";!":'.','= » :,.' » , '";:",;,;-':- -'-":ВФФЯПВВП » Утд;-.,',,:'-'-4л,«! » Ув4;, '6УРУт вэ!Ре!кеды данейко чеРеэ'ф,' 'и
щ й.=.4'..~.::,'«:.'.:.,-.-,-~,':.::„: » '-',:.';-:-',",- !",',-,,--.- ':: ....:,' ..щ~'..4,',".,':::.ф~ !эефдда » , й,.щ """"'" 'лэп рвиа ир » » ктич
Ю труд о«,!« » оэт!уу » ф.,.яе » и » :.!:, - » » » . » » :,.Ввв!удвэь!тая« .Тердо. функяяя УЯ с ~х принимает вид
° » р . маы пи! » поги'п » о. рядков-';мвгУТ-,'... «"э ф!ш~е!9у"-~ ДУ~. +'~ !
!
Распознанный текст из изображения:
рекурраитпые саотиоишшш ( » 7 и ( » ) позволяет выразить шаба!! кавф!1ипиант ряда через пропыдушие коеф!нннепты и, та ким образам, выписать сколько угалиа члсисв ряда. Олнпко пли иршгпшеакаго использования ряда иелатольиа иметь сга обиш » ! Гиии выражеГГГГый не через предыдувше члеиъГ, а в виде фуикшиГ его номера, Вычнслнв несколько первых коеффнеецтов Рида, иэ соотношении Г » 7 легко полУчим С » н их7 иГш л. Г, иэ соотношения ! » ° ! аиллогичяую формулу для Стл » Г получить значительно труднее. Г » !ошно сделать так; шл шелиа С5, Ск, СГ, подмечаем абшую закономерность в построении этик козЧ » !1ипиентав-
Г'-57л '
2л-Г с кл-5 ~
7л
с
!! истлиии эти иыри » кения в » !юрмулу. т » 7 » убенГдаемся в тлм, ~та получается тождество, Отсюда следует, что фсрмула, ли! аполпкипля Сел Г, составлена верно.
Итлк, абшее реиюниа уравнения- ГГКГЕЕт;вид.
У » ' » ' » » ' » и » " » » тх и » » -..~~ » » «Г » ! » »
Г 5 Г: 'й '':н .."..-Х:".'
й *" *" '. ФР~~гф4. -.
или
,Х 5,~ Г 5 5 5 .. 5 .: й'.,:-: 'я:":::::::ХФ. » .;.'
1 э.у ке у е .','::,. ф4),'.Рр"'.-",.",Р,, '- ~ ~т иасш лией ~!юрмулы хорошо видна струзщ$МГ!.'-"РбяфФФГ:."ЬФФМЙГй'-"'
«ииапиого лвои аролисга уравнетГнт Се~~Е~~Ф~~~~~,' "',!~~~; -...,.!:::::-';;-:;; »
решение соответствуюиюгс одноро4$ФТМс~с '',,„... г"' *Ъ,,'*.-.,:.
4." ':5~!~;~,"~;:.;;:,:,:~.;,"„';; '- ! лишае этога одиородГ » ога уравнении,', Ь,.м,:,'"'"'"',"'"
» аит некоторое частное решеюш дв~. ''
П »
алучив решение в виде ряда » ,ткГчьв1!!7~:",:;~~,.
иа закон абр Гзоиипш его члеиовх ииовдв"-:~~~ф
ли1ь э » юмситарную фуикшпо В нашем;
Г » Г 5 Г 5- к""'
— х + —,, кх'- — «'+- +~-Г7
Л 3, г б! г,у » ... дгл-~,Гэл » Г!Г, "
«хк » Г, » Л
Таким образам, обшее решение уравнения имеет вид
,фй =С ~У+ ~«а~тС,«еф~фГГГ $ "Ц.
Однако для дальнейшей рабаты с функнней Де«эта формула ие обязательна.
Запаням начальные условия для уравнения!
Х, О; ИО) Г!; УЪМий.
Согласно обшей теории Се= ИГО7 » О С » » у(0) «д . Частное
решение нмеет вид .
г '"~ » .7 » „'Ы » ""
Д чЯ т «5'+ Х ' к
Г. Л ЗГ: к55!, .Д «Г " ~йп',фл » ф„~
ВычнсГнГм значение.этаго частного решении и точке Х, » ~;.
УЗ » 5 3~ ' 35, 3 » Л7'
.ГГ. «С, ' е * ' » Гк~ ш~ ~~
эйли. *г,Р..ЯГ. Р5 эа.бГ,лй. Рй7т,ДГ Рй
Ошибка
'зй '. ' 'и
' 5 » ' — ~ » » а
, . Д"Олй = Гхглфа
;' Д: » "2. Н » » » » . » мь У » ~ »
~~-Х)Ц"+ХЦ'-4н Х~-2Х+Л.
а
мишени » е представим в виде ряда Ц~Х СнХ
Уравнение примет внд"'
фХ7ГГ-Г7ГГс х +ха ГГс х -Йслх иК~"ЛГГчЛ,
л » й л » Г л.а
47.
Распознанный текст из изображения:
Част., 1И. Т и,гоиок1ст ~плоские и м
Коэифцциепты опредвллются лз ссюдуюиюй снстемьл
.сели 4уикса~л ДХ) о интерполе (-С С~ ограиичена,
имеет точек раорыаа пороого рода и точек экстремума ие более
калечного числа, то дпц исе можно гостроить тригоиометрич
кид рид фурье:
-' + ~ о, сдФ вЂ” + в„5ит — "' ~
Лж
С,ав
С гС гсб а . С ЗС г 5С *О
I
Сч /6 Сг абсуСа "ди~рСа
Сб=д
С - С*" . Са~ б Я т Зб.бу а ~,Зс а
С,тбСб е56Сб*б
С «(у
где
Х~ Сзт('Сечд'4Сч 0..... * . аа ° Д фас(Х
~ е
С> +5Сб+4 5Сб ~С . Ила-~ ДХ)С~1 ~-
.-б
,у
кта а ~ У(Х~5(д -и — ьй
овраэокд .. с, и,. ' Приве„,' 'э~,,т рлд будбт' с ~одить,~~ лрв ~ь( сй„-,чии-"м
а); в.твд.точках .'Х"'ч интервала. «-~;Ф),'в доторьск
а б С Х + а а - "~ф дедрфрьдалв . суьвбв рвдв . ',,фф1 рщВ(в влвчаи;до фуик
'с! ' рч,С~~~ "б ~СаХ ...:, . „...,,. ц
ьа,
Х ...° .-,Ф' '~-:-: '.": " " - - лй
х' Хт К' .„' . '..',.:,',:.:.::-:-::='.~~„:~:;. «":~;,-': -..-- ".У' 'в -,,-„
ГР Г" Г.д~
','::,:::.-"! -6):,'!афпг'' "-(( » ' -"щчкв рвврьци фущсинв фф' ' -,; то
В аолучеииоя формуле осталась только одиа дрой4всййй~$$(:~ '... - ' ' ":, '-" .(.
с.. и ..„..чь... „,.....,... к. «е~-'':."-'."::::::.":::-::-'::::-':.::-:.".";:"::;::.".""-:::б~ка.4'".'"'!"' 1
'Ф
стсилаим рядами ло ствпеняи Х (каи локвМдр у~', „и и ~~:::,':,:"::"~-":,-~~.:~~~~~~~~~!~~':.-~.,'.' ':,„; 1
се ати члнкщщ лрддчфу~
2 к т.в«
~ "ипиа раорив лри Хай ). Обшве решМФФ ФМФ, —,к:. '4сч б -долаждад с(~икдцл С дер ЕМа ИВ"
дедов число (теорем
в,,-Ф;,'; ...
Бд
Распознанный текст из изображения:
Д, ° ~~ ') Дх)бе + е6.
!1„*д) (!(~-г)сруфсЬ И" — „„,;
,:.,«, ~;:.':;::.,!:.",;::;;:;:,'!!!':,;.:.,;-:::;.;;,:".:"---:;:.:!::::;:";::, . ' М'~оюу(а!
! спп ьлкгю
; ю мол.,пем образом па иа
м ряда имеет
рочл (-~. ф,, ыожсо:.'й'х~( '.
Примоор 2. Построить тригоиомотричесюи! ряд Фурье для
1(уи«ции дф)я яя-Л ири -2 'я4 2.
~Я вЂ” чвтиая (у!!кпх!я;
2 'ух
д х - ~ (у2-Я) (~)( =
ж г
л /б' лс7х
Яя-у+Е~-д х у ~(~~ — "~ с;ч й.
лю ь )7 Я х
ю и ю трьгопомет и
трьгопометрпчос«пй ряд заданного айда,
Г!:
'-'"-; ФВ
,Л!е,.п (!3. Фуп«щ1ю
а «~1
у х
А)
х и х Л
у ~ Х яК --.'; '::,':."::;::.':.'::,':";.:"4
„ю юъ и трогало«ют п1
«ю ~ ' ' рическцд ряд ио сииусаьт,:::,,':-".;;:~!,::""~-~
Строим вспомогательную нечетиую функдию ' г(К!, «оторая на кнтерввле ((~;Я' ! совпадает с даннойД~!~)
Фуикцию г (Х) раэлагаем а' тригонометрический, ряд".
у ° х !' х!х!х(пхх Й;хх!/ х яхххй >(-хХ!х«ххх!~::::::.':::!
ия- СдаххХ+дЙП,РХ) '. ущйф/ ~ед~'., «;Щ~,
фя'«ха'х~~.~хд+!)ух!алх', -я~к~я.,
Распознанный текст из изображения:
СГЛАВЛЕ1Н!Е
1„А,Ф. Вермппт, И,Г, Арлмаловнч. Краткий курс матемптп~епкого лнллиэл. Для отузов. М., "Наука", 1067
2. Н.С. Пискунов, йнФФореипиллыюе и интегрвльяоо исчисл:лпе, Ллн втузов. М., "Наука", 1086.
3, Б.П.,Пемлдоппч, И.А; Мэроп, З.З. Шувллопл, Численные м.толы алалпзл. М., Флэмазтиэ, 1086.
4, А.Ф, Филиппов, Сборпнк зллач по диЦеренпивльным Пмплепплм. М., Фпэматгиэ, 1061.
5, А.Н. Киселев, М.Л. Краснов, Г.И. Макаренко, Сборпик зз,ы ~ по обыкновенпым диЦвренииальным уравнениям. М., Ьысшля ~плолл", 1067.
6. Р.Я. Шастек. Теория рядов. Изд, МВТУ, 1060.
Содержпппе зодлпия Ряды
Мстоппческпе указания,......,...,.................,.........,.„„... "5
Часть П. Степенные ряды ....,.....,....„..............,..... 30
'>
!. Интервал сходнмости ряда ...........,.........,...„.....,. 50
2. Разложение фуикиии в степеиной ряд ......,.......,.... 32
3, Приближеилое вычислеипе значений фуикипй и определеиных иитегрвлов при помоши рядов ....,.......,...„... 37
4, Интегрирование диффереидилльных уравнений с по
5. Иитегрироваиие лииейиых диффереипиальнык уравнений с помошыо рядов.......„:... » .. -,.:. » --.«--. » .:-" ° . °
„,......,';„' „...,..„.....,....,'„,*, ° 46
Часть Б. Тригонометрические ряды ..;„...........;....';... 51
