Ответы к экзамену: Высшая математика. Математический анализ

Темы дисциплины указаны в демо файлах
Список вопросов по Математическому анализу:
1. В каких точках выпукла или вогнута кривая y = 2 − 3x − x²
2. В каком из перечисленных случаев величина называется параметром?
3. Вычислите определенный интеграл ∫ (1/2 ⋅ t + 4t²)dt, t=−1..+1
4. Вычислите определенный интеграл ∫ (x² − 1)³xdx, x=1..2
5. Вычислите определенный интеграл ∫ √(1 − x)dx, x=0..1
6. Вычислите определенный интеграл ∫ √(6x - 2)dx, x=1..3
7. Вычислите определенный интеграл ∫ √(x)dx, x=1..4
8. Вычислите определенный интеграл ∫ 1 / (1 − 2x)³, x=−2..0
9. Вычислите определенный интеграл ∫ 15xdx / (x² - 1)³, x=2..4
10. Вычислите определенный интеграл ∫ 2dt / cos²t, x=0..π/4
11. Вычислите определенный интеграл ∫ 2dx / √(1 - x²), x=0..0,5
12. Вычислите определенный интеграл ∫ 2dx / ∜x, x=1..16
13. Вычислите определенный интеграл ∫ 2eˣdx, x=0..2
14. Вычислите определенный интеграл ∫ 2xdx / √(16 + x²), x=0..3
15. Вычислите определенный интеграл ∫ 2π(1 + x²)dx, x=1..2
16. Вычислите определенный интеграл ∫ 2π√(x)dx, x=1..9
17. Вычислите определенный интеграл ∫ 3dx / √(9 - x²), x=0..3
18. Вычислите определенный интеграл ∫ 3x² - 4x - 1, x=2..3
19. Вычислите определенный интеграл ∫ 3x⁴dx, x=1..2
20. Вычислите определенный интеграл ∫ 4∛(x)dx, x=1..8
21. Вычислите определенный интеграл ∫ 4sin³xcosxdx, x=π/4...π/3
22. Вычислите определенный интеграл ∫ cos(π/3 − x)dx, x=π/6..π/3
23. Вычислите определенный интеграл ∫ dx / ∛(x²), x=1..2
24. Вычислите определенный интеграл ∫ dx / cos²2x, x=π/8..π/6
25. Вычислите определенный интеграл ∫ eˣdx / (eˣ + 5), x=0..1
26. Вычислите определенный интеграл ∫ sin2xdx, x=π/6..π/4
27. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x = 2x – x2 и y = 0
28. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: y = 1/cos^2x , y =0 , x1 = 0 , x2 = 45°
29. Вычислите предел по правилу Лопиталя lim (1 − cos4x) / (1 − cos6x), x⟶0
30. Вычислите предел по правилу Лопиталя lim (cos7x - 1) / (cos3x - 1), x⟶0
31. Вычислите предел по правилу Лопиталя lim (x - arctgx) / x², x⟶0
32. Вычислите предел по правилу Лопиталя lim ln(x² − 8) / (x² − 9), x⟶3
33. Вычислите предел по правилу Лопиталя lim ln(x² − 3) / (x² − 3x + 2), x⟶2
34. Вычислите путь, пройденный точкой за 3 с от начала движения. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением υ = 9t² - 2t - 8
35. Вычислите силу давления воды на одну из стенок аквариума, имеющего длину 30 см и высоту 20 см
36. Вычислите силу давления воды на стенку шлюза, длина которого 20 м и высота 5 м, считая шлюз доверху заполненным водой
37. График какой функции симметричен относительно оси ординат?
38. Даны дифференциальные уравнения. Укажите среди них линейные уравнения 1) y' - 3y= xe³ˣ; 2) y' - 3y = y³e³ˣ; 3) y' + y / (x + 4) = tgx / (x + 4); 4) y' + y² / (x + 4) = tgx / (x + 4)
39. Даны дифференциальные уравнения. Укажите среди них однородные уравнения 1) (x² + y² + 2xy)dx + 2xydy = 0; 2) (x² + y² + 2x)dx + 2xydy = 0; 3) y' = (y/x)² + y/x + 49; 4) y' = (y/x)² + x; 5) y' = (x + 7y) / 7y; 6) y' = (x + 7) / 7y
40. Исследуйте ряд на сходимость 1 / 3 - 1 / 4 + 1 / 5 - 1 / 6 + … + (-1)ⁿ⁺¹ ⋅ 1 / (n + 2) + ...
41. Исследуйте ряд на сходимость 5 / 1 - 7 / 2 + 9 / 3 - … + (-1)ⁿ⁺¹ ⋅ (2n + 3) / n + …
42. Исследуйте функцию y=x^3+3x^2на экстремумы
43. Как называется решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных?
44. Какая из перечисленных функций не относится к алгебраическим функциям?
45. Какая из перечисленных функций не относится к трансцендентным функциям?
46. Какая кривая y = f(x) называется выпуклой на интервале (a, b)?
47. Какая поверхность называется графиком функции n переменных?
48. Какая функция называется четной?
49. Какая функция называется явной?
50. Какая функция у = f(x) называется возрастающей на промежутке X?
51. Какова область определения функции? 1/f(x)
52. Каково необходимое условие возрастания функции?
53. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением?
54. Какую подстановку используют при решении уравнений Бернулли?
55. Какую работу совершает сила в 8 H при растяжении пружины на 6 см?
56. На каком из рисунков изображена область определения функции? z = ln(2 - x + y) / √(x + y)
57. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3√x , x = -1 , y = 0
58. Найдите ∫ ((x + 1) / (x² + 1))dx
59. Найдите ∫ (2 / x² − 4 / √x + 3∛(x²))dx
60. Найдите ∫ (2/x³ - 4/√x + 3∛(x²))dx
61. Найдите ∫ (3 + 5x)⁴dx
62. Найдите ∫ (3x - x²)dx
63. Найдите ∫ √(x)dx / (1 + x)
64. Найдите ∫ √(x)dx / (x + 1)
65. Найдите ∫ √(x)dx
66. Найдите ∫ ∛(x²)dx
67. Найдите ∫ 1/2 ⋅ t²dt
68. Найдите ∫ 2dx / (3 - 4x)
69. Найдите ∫ 3dt / 2t
70. Найдите ∫ dx / cos²(1 − 2x)
71. Найдите ∫ lnxdx / x
72. Найдите ∫ xe^(x²)
73. Найдите ∫ xⁿ⁻¹dx
74. Найдите вертикальные асимптоты к графику функции y = 5x / (x² − x)
75. Найдите интеграл ∫ ((x + 9) / (x² + 9))dx
76. Найдите интеграл ∫ (5 + 2x)⁸dx
77. Найдите интеграл ∫ dx / sin²(2x + 5)
78. Найдите интеграл ∫ ln³xdx / x
79. Найдите интервал сходимости ряда x / 1 + x² / (1 ⋅ 2) + x³ / (1 ⋅ 2 ⋅ 3) + … + xⁿ / n! + …
80. Найдите интервал сходимости ряда x / 3! + x² / 4! + x³ / 5! + … + xⁿ / (n + 2)! + …
81. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = x^2 на промежутке [-1; 3]
82. Найдите наименьшее значение функции f(x) = x^3 - 9x^2 - 5 на отрезке [0; 3]
83. Найдите область определения функции z = √(1 - xy) / (x² - y²)
84. Найдите область определения функции z = √(y + 2x) / (4 - xy)
85. Найдите общее решение уравнения (3x + 2)dy + (y + 2)dx = 0
86. Найдите общее решение уравнения (x + y)dx + xdy = 0
87. Найдите общее решение уравнения 3y' = y² / x² + 10 ⋅ y / x + 10
88. Найдите общее решение уравнения x² ⋅ d²y / dx² = 2
89. Найдите общее решение уравнения x⁴y'' = 5
90. Найдите общее решение уравнения xy' - y = 0
91. Найдите общее решение уравнения xy²dy = (x³ + y³)dx
92. Найдите общее решение уравнения y' - y / x = x(x + 2)
93. Найдите общее решение уравнения y' - y / x = x
94. Найдите общее решение уравнения y' +y/x = sinx/x
95. Найдите общее решение уравнения y' = (y / x)² + y / x + 4
96. Найдите общее решение уравнения y' − y / x = xcos2x
97. Найдите общее решение уравнения y'' - 9y = 0
98. Найдите общее решение уравнения y'' - y = 0
99. Найдите общее решение уравнения y'' + 2y' - 3y = 0
100. Найдите общее решение уравнения y'' + 2y' = 5e³ˣ
101. Найдите общее решение уравнения y'' − 9y = e²ˣ
102. Найдите общее решение уравнения y'' − 9y = e²ˣ
103. Найдите общее решение уравнения y′ = sin x + 2
104. Найдите общее решение уравнения y′′ = cos x
105. Найдите первообразную для функции f(x) = ∛x + 1
106. Найдите первообразную для функции f(x) = 15 / 4∜x
107. Найдите первообразную для функции f(x) = 5x^4
108. Найдите площадь области, ограниченной кривой y = 1/4 x^3, прямыми x = -4, x = -2 и осью Ох
109. Найдите площадь фигуры, заключенной между кривой , прямыми , x = 2 и осью Ox
110. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x + 3 и y = x² + 1
111. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 6x – x^2, y = 0
112. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2+1, y = 0, x = 0, x = 2
113. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² - 5x + 6, y = 0
114. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами: y = −x², y = x² − 2x − 4
115. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми y = 4x, x = 4 и осью Ox
116. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми y = 5x, x = 2 и осью Ox
117. Найдите полный дифференциал функции z = sinxy + x²y²
118. Найдите полный дифференциал функции z = x²y + xy²
119. Найдите предел lim ((2 + x) / (3 + x))ˣ, x⟶∞
120. Найдите предел lim (√(1 - x) - √(1 + x))² / x², x⟶0
121. Найдите предел lim (√(1 + 3x) - √(2x + 6)) / (x² - 5x), x⟶5
122. Найдите предел lim (√(5 - x) - 2) / (√(2 - x) - 1), x⟶1
123. Найдите предел lim (√(x + 4) − 3) / (x² − 25), x⟶5
124. Найдите предел lim (√(x + 5) - 2) / (√(x + 10) - 3), x⟶-1
125. Найдите предел lim (1 - 5 / x)ˣ, x⟶∞
126. Найдите предел lim (1 - 7 / x)ˣ, x⟶∞
127. Найдите предел lim (1 − cos6x) / x², x⟶0
128. Найдите предел lim (1 - cos8x) / x², x⟶0
129. Найдите предел lim (1 + 3 / x)³ˣ, x⟶∞
130. Найдите предел lim (2x³ + 3x² + x) / (x² + 4), x⟶∞
131. Найдите предел lim (5x⁶ + 7) / (x² + 1), x⟶∞
132. Найдите предел lim (x / (x + 1))ˣ, x⟶∞
133. Найдите предел lim (x / (x + 6))ˣ, x⟶∞
134. Найдите предел lim (x² + 4x) / (x − 1), x⟶−2
135. Найдите предел lim 2x / (x - 1), x⟶0
136. Найдите предел lim tg15x / sin3x, x⟶0
137. Найдите предел lim tg3x /sin5x, x⟶0
138. Найдите предел lim tg5x / x, x⟶0
139. Найдите предел lim x / sin10x, x⟶0
140. Найдите производную функции (4x − 7) / (2x − 7)
141. Найдите производную функции f(t) = ln(2cos t)
142. Найдите производную функции f(x) = ln(2 + n / x)
143. Найдите производную функции y = cos(5x⁴ + 2)
144. Найдите производную функции y = x√x∛x
145. Найдите производную функции y = xe^x - e^x
146. Найдите промежутки возрастания или убывания функции y = -2x² + 8x - 1
147. Найдите промежутки возрастания или убывания функции y = −5x² + 2x − 4
148. Найдите промежутки возрастания или убывания функции y = x² − 3x + 1
149. Найдите путь, пройденный точкой за первые 5 с от начала движения. Тело движется прямолинейно со скоростью υ(t) = (3 + 3t²) м/с.
150. Найдите радиус сходимости ряда 1 / 4 + x / 5 + x² / 6 − x³ / 7 + … xⁿ / (n + 4) + …
151. Найдите радиус сходимости ряда x / (1 ⋅ 2) + x² / (2 ⋅ 2²) + x³ / (3 ⋅ 2³) + … + xⁿ / (n ⋅ 2ⁿ) + …
152. Найдите радиус сходимости ряда x / 1 + x² / 2 + x³ / 3 + … + xⁿ / n + …
153. Найдите среднюю скорость движения тела, совершаемого по закону, для промежутка времени от t₁ = 2 до t₂ = 4
154. Найдите точки максимума (минимума) функции y = −5x² − 2x + 2
155. Найдите точки максимума (минимума) функции y = −x² + 4x
156. Найдите точки максимума (минимума) функции y = x / (1 + x²)
157. Найдите точку перегиба кривой y = -x³ + 6x² - 15x + 10
158. Найдите точку перегиба кривой y = 1/3 ⋅ x³ - x
159. Найдите частное решение дифференциального уравнения y′ + 4y = 2, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 6
160. Найдите частное решение уравнения 2sdt = tds, если при t = 1 s = 2
161. Найдите частное решение уравнения ds = (4t - 3)dt, если при t = 0 s = 0
162. Найдите частное решение уравнения xdx = dy, если при x = 1 y = 0
163. Найдите частные производные второго порядка функции z = x³y⁴ + ycosx
164. Найдите частные производные второго порядка функции z = xy + xsin y
165. Найдите частные производные функции двух переменных z = xeʸ + yeˣ
166. Найдите частные производные функции двух переменных z = xsin y + ysin x
167. Найдите частные производные функции трех переменных z = (t⁴ + 3x²) ⋅ cosy
168. Найдите lim tg(xy) / x, x⟶0, y⟶4
169. Определите поведение функции y = 2x^2 + x - 1 при x = -3
170. Относительно чего симметричен график нечетной функции?
171. При решении каких уравнений используют подстановку y/x = t?
172. Процесс нахождения производной называется...
173. Разложите в степенной ряд f(x) = arctg 3x
174. Разложите в степенной ряд f(x) = sin 2x
175. Решите уравнение x'' - 2x' = 0
176. Решите уравнение y'' − 4y = 0
177. Сила в 6 кГ растягивает пружину на 8 см. Какую работу она производит?
178. Сколько первообразных может иметь каждая функция?
179. Скорость падающего в пустоте тела определяется по формуле v = 9,8t м/сек. Какой путь пройдет тело за первые 10 секунд падения?
180. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите линейное уравнение
181. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите однородное уравнение
182. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение Бернулли
183. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение с разделяющимися переменными
184. Среди перечисленных уравнений укажите линейные уравнения первого порядка: 1) y' + y² / (x + 2) = eˣ; 2) y' - y / (x + 2) = eˣ ⋅ (x + 2); 3) y' - y / x = cos²(y/x); 4) y' - y / x = cos²x
185. Укажите какая из сумм является интегральной
186. Укажите необходимое условие экстремума
187. Укажите необходимый признак сходимости ряда
188. Укажите область определения функции √(x² − 2x − 8) + √x
189. Укажите область определения функции y = √(x² - 5)
190. Укажите область определения функции y = √(x² − 9x - 22) + 1 / √x
191. Укажите область определения функции y = ∛(x² + 1)
192. Укажите область определения функции y = 1 / (4 - x)²
193. Укажите общее решение дифференциального уравнения (2x +1)dy = y²dx = 0
194. Укажите общее решение уравнения y' - y / (x + 2) = x⁴(x + 2)
195. Укажите общее решение уравнения y' − y / x = x ⋅ 1 / cos²x
196. Укажите формулу для производной произведения функций u и v, если они дифференцируемы в некоторой точке и их произведение также дифференцируемо в этой точке
197. Укажите формулу интегрирования по частям
198. Укажите частное решение дифференциального уравнения y′ + 2y = 4, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 5
199. Чему равен неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций?
200. Чему равна производная постоянной функции?
201. Чему, согласно правилу Лопиталя, равен предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, если последний существует?
202. Число F(X0) называется наибольшим значением функции на отрезке [a; b], если
203. Что называется, асимптотой кривой?
204. Что называется, критическими точками второго рода?
205. Что называется, порядком дифференциального уравнения?