Сборка "Теорема, определение и Докаательство" по курсу для подготовки к Экзамену

Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности. Ограниченная числовая последовательность. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности (с доказательством). Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности (формулировка). Определения по Коши конечного и бесконечного предела функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции. Определение предела функции по Гейне. Теорема о связи двустороннего предела функции в точке с односторонними пределами (с доказательством). Теорема о единственности предела функции (формулировка). Ограниченные и локально ограниченные функции.

Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой (с доказательством). Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых функций (с доказательством). Теорема о произведении бесконечно малой на ограниченную функцию (с доказательством). Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций (с доказательством). Первый замечательный предел (с выводом). Второй замечательный предел (без вывода). Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функциях (с доказательством). Непрерывность функции действительного переменного в точке.

Теорема о непрерывности сложной функции (формулировка). Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировки соответствующих теорем). Производная функции в точке. Касательная к графику функции, геометрический смысл производной. Вывод уравнений касательной и нормали к графику функции. фференцируемость функции в точке. Теорема о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной (с доказательством). Связь дифференцируемости и непрерывности функции (с доказательством). Основные правила дифференцирования. Вывод формул для вычисления производных суммы, произведения, частного. Дифференциал функции (определение, геометрический смысл).

Инвариантность формы записи дифференциала первого порядка (с доказательством). Сравнение на бесконечности порядков роста показательной, степенной и логарифмических функций. Понятие экстремума. Формулировка необходимого условия существования экстремума дифференцируемой функции. Понятие выпуклой (вверх, вниз) функции (ее графика). Асимптоты функции. Вывод уравнения наклонной асимптоты. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций (доказательство для функций или последовательностей по выбору). Теорема о пределе сложной функции.

Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел. Теорема о предельном переходе в неравенстве (доказательство для функций или последовательностей по выбору). Теорема о пределе промежуточной функции (доказательство для функций или последовательностей по выбору). Теорема о дифференцируемости сложной функции. Теорема о дифференцируемости обратной функции. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Теорема Бернулли – Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций. Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа (формулировка и доказательство соответствующих теорем). Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания дифференцируемой функции.

Достаточное условие локального экстремума функции по ее первой производной. Достаточное условие локального экстремума функции по ее второй производной. Достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции. Необходимое условие для существования точек перегиба графика функции. Достаточное условие для существования точек перегиба графика функции. .