Ответы 1: Элементарные функции и пределы

Теория к РК №1

1. Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела сходящийся последовательности(с доказательством).
2. Ограниченная числовая последовательность. Теорема об ограниченности сходящийся числовой последовательности. Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности (формулировка).
3. Определения по Коши конечного и бесконечного предела функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции. Определение предела функции по Гейне. Теорема о связи двустороннего предела функции в точке с односторонними пределами (с доказательством).
4. Теорема о единственности предела функции(с доказательством).
5. Ограниченные и локально ограниченные функции. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел( с доказательством).
6. Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой ( с доказательством).
7. Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых функций ( с доказательством). Теорема о произведении бесконечно малой на ограниченную (с доказательством).
8. Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функции ( с доказательством).
9. Теорема о пределе суммы, произведения и частного функции (доказательство для функции и последовательности).
10. Теорема о пределе сложной функции (с доказательством).
11. Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел ( с доказательством).
12. Теорема о предельном переходе в неравенстве (доказательство для функции и последовательности).
13. Теорема о пределе промежуточной функции (доказательство для функции и последовательности).
14. Первый замечательный предел (с выводом). Второй замечательный предел (вывод для функций с использованием теоремы Вейерштрасса для последовательностей).
15. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функциях(с доказательством). Выделение главной части.
16. Непрерывность функции действительного переменного в точке. Теорема о непрерывности сложной функции (с доказательством).
17. Точки разрыва и их классификация. Доказательство непрерывности функции многочлена и y=sin x.
18. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировки соответствующей теоремы).