Вопросы/задания: Список экзаменационных вопросов

Файл скачан с сайта StudIzba.com

При копировании или цитировании материалов на других сайтах обязательно используйте ссылку на источник

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

(экзаменационные вопросы)

1 курс, 1 семестр

Линейная алгебра

1. Операции над матрицами и их свойства.

2. Элементарные преобразования матрицы. Приведение к ступенчатому виду.

3. Матрицы элементарных преобразований.

4. Перестановки.

5. Определитель квадратной матрицы. Простейшие свойства.

6. Матрицы и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

7. Разложение определителя по строке (столбцу).

8. Невырожденные матрицы. Обратные матрицы.

9. Линейное пространство. Определение, простейшие свойства. Арифметическое пространство.

10. Линейная зависимость в линейном пространстве.

11. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

12. Ранг произведения матриц. Инвариантность ранга относительно элементарных преобразований.

13. Базис и размерность линейного пространства.

14. Координаты вектора в линейном пространстве. Свойство линейности координат.

15. Переход к другому базису в линейном пространстве.

16. Эквивалентность систем линейных алгебраических уравнений. Элементарные преобразования систем уравнений.

17. Системы с квадратной невырожденной матрицей. Правило Крамера.

18. Критерий совместимости и определенности системы линейных алгебраических уравнений.

19. Исследование и решение системы линейных алгебраических уравнений общего вида.

20. Метод Гаусса исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

21. Геометрические свойства решений однородной системы уравнений. Фундаментальная система решений.

22. Геометрические свойства решений неоднородной системы уравнений.

Аналитическая геометрия

1. Линейные операции над векторами и их свойства.

2. Коллинеарные и компланарные векторы. Геометрический смысл линейной зависимости.

3. Аффинная система координат. Координаты точки.

4. Проекции векторов. Свойство линейности проекций.

5. Формулы преобразования координат.

6. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат.

7. Скалярное произведение векторов.

8. Векторное произведение векторов.

9. Смешанное произведение векторов.

10. Уравнения линии и поверхности. Инвариантность порядка алгебраической линии и поверхности.

11. Уравнение прямой на плоскости, плоскости в пространстве. Критерий параллельности вектора прямой, вектора - плоскости.

12. Взаимное расположение двух прямых на плоскости, плоскостей в пространстве.

13. Пучок прямых на плоскости, плоскостей в пространстве.

14. Полуплоскости (полупространства), определяемые прямой на плоскости (плоскостью в пространстве).

15. Простейшие задачи на прямую и плоскость в прямоугольной декартовой системе координат.

16. Уравнение прямой в пространстве.

17. Взаимное расположение прямой и плоскости.

18. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

19. Эллипс.

20. Гипербола.

21. Парабола.

22. Приведенные уравнения линии второго порядка на плоскости.

23. Классификация линий второго порядка на плоскости.

24. Поверхности второго порядка в пространстве.

Общая алгебра

1. Бинарное отношение. Отношение эквивалентности.

2. Отображения. Обратные отображения.

3. Группы. Основные свойства.

4. Подгруппы. Нормальный делитель.

5. Конечные группы. Теорема Лагранжа.

6. Изоморфизм групп.

7. Кольцо. Основные свойства.

8. Поле. Основные свойства.

9. Кольцо вычетов. Поле вычетов по простому модулю.

10. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа.

11. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент произведения комплексных чисел.

12. Возведение в степень комплексного числа. Формула Муавра.

13. Извлечение корня из комплексного числа.

14. Многочлены. Операции над многочленами.

15. Деление многочленов.

16. Наибольший общий делитель, двух многочленов. Алгоритм Евклида.

17. Корни многочлена. Каноническое разложение многочлена над полем комплексных чисел.

18. Формулы Виета.

19. Каноническое разложение многочлена над полем вещественных чисел.