Вопросы/задания: Вопросы зимней экзаменационной сессии по алгебре
Описание
Характеристики вопросов/заданий
Список файлов
Вопросы зимней экзаменационной сессии по алгебре.
1 курс, 3 поток
Е. С. Голод
1. Приведение матрицы к ступенчатому виду посредством элементарных преобразований.
2. Решение и исследование систем линейных уравнений посредством приведения
к ступенчатому виду. Случай однородной системы.
3. Инъективные, сюръективные и биективные отображения, композиция отображений,
её ассоциативность. Тождественное и обратное отображения.
4. Подсчет числа инъективных отображений и подмножеств. Формула бинома Ньютона.
5. Понятие группы перестановок. Разложение перестановки в произведение транспозиций
и независимых циклов.
6. Четность перестановки.
7. Определитель квадратной матрицы. Свойство полилинейности.
8. Свойство кососимметричности определителя.
9. Поведение определителя при элементарных преобразованиях. Ступенчатый вид квадратной матрицы.
Вычисление определителя посредством приведения к треугольному виду. Критерий невырожденности
матрицы в терминах ступенчатого вида.
10. Теорема Крамера. Применение к однородным системам.
11. Правило Крамера.
12. Транспонирование матрицы. Неизменность определителя при транспонировании.
13. Определитель с углом нулей.
14. Разложение определителя по строке (столбцу). Фальшивое разложение.
15. Определитель Вандермонда. Приложение к задаче интерполяции.
16. Операции над матрицами и их свойства.
17. Элементарные матрицы. Разложение произвольной матрицы в произведение элементарных
и ступенчатой и разложение невырожденной матрицы в произведение элементарных.
18. Определитель произведения матриц.
19. Решение матричного уравнения AX=B посредством элементарных преобразований.
20. Единичная и обратная матрицы (единственность, существование, способы вычисления).
21. Линейная зависимость векторов и её свойства. Критерий равенства определителя нулю
в терминах линейной зависимости.
22. Основная лемма о линейной зависимости.
23. Базис системы векторов.
24. Алгоритм выбора базиса для конечной системы векторов.
25. Ранг системы векторов и его свойства.
26. Подпространство, линейная оболочка, её размерность.
27. Свойства множеств решений однородных и неоднородных систем линейных уравнений.
28. Базис и размерность подпространства решений однородной системы линейных уравнений.
Задание произвольного подпространства R^n. Системы однородных линейных уравнений.
29. Факторизационный ранг матрицы и его совпадение с рангом её систем столбцов и строк.
30. Ранг произведения матриц. Совпадение ранга матрицы с числом ненулевых строк
в ступенчатом виде.
31. Выражение ранга матрицы через её миноры.
32. Критерий совместности и определённости системы линейных уравнений в терминах рангов
матриц (теорема Кронеккера-Капелли).
33. Разделение неизвестных на главные и свободные в совместной системе линейных уравнений
без использования приведения к ступенчатому виду.
34. Понятие кольца и поля (простейшие свойства, обратимые элементы, делители нуля).
35. Степени элемента в кольце и группе.
36. Построение кольца многочленов от одной переменной над коммутативным кольцом с единицей.
Свойства старшего члена, делители нуля, обратимые элементы.
37. Деление с остатком в кольце многочленов от одной переменной над полем.
38. НОД. Алгоритм Евклида.
39. Свойства взаимно простых многочленов. НОК.
40. НОД(f,g)=fu+gv
41. Функции, соответствующие многочленам. Теорема Безу. Кратность корня.
42. Операция дифференцирования в кольце многочленов. Поведение кратности корни при
дифференцировании. Освобождение от кратных корней.
43. Число корней многочлена над полем. Функциональное равенство многочленов. Интерполяционный
многочлен Лагранжа.
44. Формулировка основной теоремы алгебры и её следствия.
45. Лемма Даламбера.
46. Многочлены как функции комплексного переменного. Доказательство основной теоремы алгебры.
47. Граница корней многочлена.
48. Разложение на множители многочлена над полем действительных чисел.
49. Теорема Декарта.
50. Теорема Штурма.
51. Неприводимые многочлены над полем и их свойства. Неприводимые многочлены над полями
комплексных и действительных чисел.
52. Однозначное разложение на неприводимые множители в кольце многочленов над полем.
53. Поле рациональных дробей.
54. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших.
55. Формулы Виета.
56. Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический степенной порядок для
термов. Старший член многочлена и его свойства.
57. Симметрические многочлены.
58. Понятие подгруппы. Примеры групп и подгрупп. Циклические подгруппы.
59. Порядок элемента и его совпадение с порядком порождаемой им циклической подгруппы.
60. Порядок степени элемента. Порядок перестановки. Порядок элемента является делителем
порядка группы.
61. Циклические группы. Порождающие элементы, подгруппы.
62. Понятие изоморфизма групп и колец. Примеры изоморфных и неизоморфных групп. Изоморфность
циклических групп одинакового порядка.
Файл скачан с сайта StudIzba.com
При копировании или цитировании материалов на других сайтах обязательно используйте ссылку на источник
Начать зарабатывать
zzyxel
