ДЗ 1: Типовой расчет 1 вариант 13

Типовой расчет по линейной алгебре 13 вариант.
Задание 1.
Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 𝑎1,𝑎2,𝑎3, равную нольвектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости.
𝑎1(3; −1; 0; 2; −1), 𝑎2(1; 1; −1; −1; −1), 𝑎3(7; −5; 2; 8; −1).
Задание 2.
Доказать, что векторы 𝑒1(1; 1; −1), 𝑒2(1; 3; −2), 𝑒3(−4; 1; 2) образуют базис в R 3 . Найти координаты вектора 𝑏 в этом базисе и вектора 𝑐 в исходном, если в исходном базисе 𝑏(1; 22; −11), в новом базисе 𝑐(4; −2; 6).
Задание 3.
Построить ортонормированный базис в линейной оболочке системы векторов 𝑎1(−1; 2; −4; 0),
𝑎2(1; 1; 2; −1), 𝑎3(1; 2; 1; −1), 𝑎4(−2; −1; −4; 1)
Задание 4.
Оператор 𝐴 в пространстве 𝒱 задан соотношением 𝐴(𝑥) = (𝑥, 𝑎)𝑏, где 𝑎(−3; 5; −6), 𝑏(1; −6; 6). Доказать линейность оператора 𝐴 и найти его матрицу в базисе {𝑖, 𝑗, 𝑘}.
Задание 5.
Найти собственные значения и собственные векторы операторов 𝐴 и 𝐵. Если возможно, привести матрицу оператора (𝐴 или 𝐵 или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода.
𝐴 = (−11 −20 −15 𝐵 =( 9 −1 6
6 7 11 −12 −2 −6
4 8 5 ) −18 2 −12)
Задание 6.
Привести квадратичную форму −𝑥² + 4𝑥𝑦 + 6𝑥𝑧 − 5𝑦² − 14𝑦𝑧 − 11𝑧² к диагональному виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
Задание 7.
Привести квадратичную форму 6𝑥²1 +12𝑥1𝑥2 +6𝑥1𝑥3 +𝑥² 2 +4𝑥2𝑥3−2𝑥² 3 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
Задание 8.
Построить кривую 9𝑥² + 6𝑥𝑦 + 9𝑦² = 16.