Теория к экзамену по КИРиТФКП

1. Знать определение двойного интеграла и его основные свойства. Доказательство теоремы о среднем для двойного интеграла, а так же следствие из нее. 2. Доказательство теоремы о формуле Грина для выпуклой односвязной области в R 2 . Доказательство ее применимости в случае нарушения условия выпуклости области, а так же в случае в случае нарушения условия односвязности области. 3. Теорема о четырех эквивалентных условиях независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования (с док-ом). 4. Знать определение числового ряда, сходящегося числового ряда, знакоположительного числового ряда, знакопеременного и знакочередующегося числовых рядов. Доказательство необходимого признака сходимости числового ряда.

Критерий Коши сходимости числового ряда. 5. Доказать признак сравнения и предельный признак сравнения числовых рядов. 6. Доказать интегральный признак Коши для знакоположительных числовых рядов. Ряды Дирихле. 7. Доказать признак Даламбера для знакоположительных числовых рядов и его предельный вариант. 8. Доказать признак Коши (с радикалом) для знакоположительных числовых рядов и его предельный вариант. 9. Доказать признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница. 10. Доказать теорему о сходимости абсолютно сходящегося числового ряда. Сформулировать теоремы о перестановках членов абсолютно и условно сходящихся рядов.

11. Знать определение функционального ряда, равномерной сходимости функционального ря- да. Уметь доказывать: теорему о равномерной сходимости степенного ряда, признак Вейерштрасса. 12. Знать определение степенного ряда и интервала сходимости степенного ряда. Доказать теорему об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда внутри интервала сходимости. 13. Доказать теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенных рядов. 14. Доказать теорему Абеля. Следствия из теоремы Абеля (6 свойств, свойство об абсолютной сходимости на границе круга сходимости с док-ом). 15. Доказать теорему о необходимых условиях дифференцируемости функции комплексного переменного.

Сформулировать следствие из нее. 16. Доказать теорему о достаточных условиях дифференцируемости функции комплексного переменного. 17. Действительная и мнимая части аналитической функции как сопряженные гармонические функции. Нахождение аналитической функции по ее действительной (мнимой) части. 18. Дать определение интеграла от функции комплексного переменного. Сформулировать его основные свойства. 19. Сформулировать и доказать теорему Коши для односвязной области и следствие из нее. 20. Сформулировать и доказать теорему об интегральной формуле Коши. 21. Дать определение аналитичности функции комплексного переменного в области и в точке. Доказать бесконечную дифференцируемость аналитической функции.

22. Доказать теорему Тейлора для функции f(z), аналитической в области G. 23. Классификация конечных изолированных особых точек аналитической функции. Дока- зать необходимое и достаточное условие устранимой особой точки, полюса порядка m. Доказать теорему о виде ряда Лорана в окрестности полюса m-го порядка. 24. Определение изолированной особой точки z0 = ∞ аналитической функции. Классификация бесконечно удалённых изолированных особых точек аналитических функций и вид ряда Лорана в окрестности этих точек. 25. Определение вычета функции комплексного переменного в её изолированной особой точке (в том числе и в бесконечно удалённой). Связь вычета с разложением в ряд Лорана в окрестности данной точки.

Вывод формулы для вычисления вычета в полюсе порядка m. 26. Сформулировать и доказать теорему Коши о вычетах и теорему о сумме вычетов, аналитической функции, имеющей в C лишь изолированные особые точки. 27. Определение логарифмической функции Ln z комплексного переменного z. Свойства Ln z. Главное значение ln z логарифмической функции Ln z. Общая показательная и степенная функции. 28. Определение функций sin z и cos z комплексного переменного z. Их свойства. 29. Определение функций e z , sin z, cos z комплексного переменного z. Вывести формулы Эй- лера. Вывести свойства функции e z . 30. Постановка и решение задачи о наилучшей аппроксимации. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля (формулировки).

Ряд Фурье. 31. Сформулировать теорему Дирихле. Разложение в неполный тригонометрический ряд функций, заданных на интервале (0; l) (разложение по синусам и косинусам). Разложение в тригонометрический ряд функций, заданных на интервале (−l; l). Разложение в тригонометрический ряд функций, заданных на произвольном интервале (a; b)..