Курсовая работа: Аппроксимация функции

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1. Описание теоретических основ
   1. Методы аппроксимации
   2. Теории методов аппроксимации
   3. Теории методов интерполяции
2. Аппроксимация исходных данных и сравнительный анализ полученных значений
   1. Выбрать аппроксимирующие функции в зависимости от условий задачи, обосновать выбор
   2. Аппроксимировать данные выбранными методами, определить погрешности аппроксимаций.
   3. Построить графики функций: исходной, полученных аппроксимирующих и зависимостей погрешностей.
   4. Провести анализ полученных результатов и выбрать оптимальную аппроксимирующую функцию.
3. Построение интерполяционного многочлена в форме Ньютона. При построении интерполяционных многочленов использовать чётные узлы.

Вариант 12

Среднее время Точ пребывания заявки в очереди многоканальной системы массового обслуживания с неограниченным числом заявок выражается формулой:

Точ

𝜌𝑛+1∗𝑃0

𝑛!∗𝑛∗(1−)

𝑛

Рассчитанная по формуле зависимость n = f (r) при постоянных значениях

𝑃0, Точ, λ приведена в таблице.

Необходимо найти зависимость числа обслуживающих бригад n, обеспечивающих заданное среднее время пребывания заявки в очереди от ρ (где Точ=0,25 час). Интенсивность потока заявок величина постоянная (λ=32 ед/час).

РЕФЕРАТ

Курсовая работа содержит 40 страниц текстового документа формата А4, включающего 24 рисунка, 2 таблицы, 38 формул, 2 приложения 14 использованных источников.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ, ТЕОРИИ АППРОКСИМАЦИИ, МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ПОЛИНОМ НЬЮТОНА, ПОГРЕШНОСТЬ, MS EXCEL, MAPLE, VBA, PASCAL.

Цель работы заключалось в аппроксимации исходных данных различными методами, и проведении сравнения и анализа полученных результатов. Всё решение должно происходить на компьютере при помощи электронных таблиц Microsoft Excel, с помощью пакета прикладных программ Maple и языка программирования ABC Pascal.

Объект исследования – аппроксимирующий ряд исходных данных. Предметом исследования является решение и анализ аппроксимирующих данных численными методами при использовании электронных таблиц Microsoft Excel, средств пакета прикладных программ Maple и языка программирования ABC Pascal.

В процессе курсовой работы были изучены: методы аппроксимации; теория аппроксимации; теория интерполяции; метод наименьших квадратов. В практической части работы были аппроксимированы исходные данные выбранными методами, построены графики исходной функции, полученных аппроксимирующих функций и зависимостей погрешностей; проведен анализ полученных результатов и выполнена аппроксимация полученного решения методом наименьших квадратов, произведен расчет погрешности аппроксимации, а также был построен интерполяционный многочлен по формуле Ньютона. Текстовый документ содержит листинги прикладных программ, которые использовались в ходе выполнения курсовой работы, а именно Microsoft Excel, Maple, язык программирования ABC Pascal.

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................................. 5

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ............................................................................. 7
   1. Теория аппроксимации............................................................................... 7
      1. Метод наименьших квадратов (МНК).................................................. 7
      2. Непрерывная аппроксимация............................................................... 9
      3. Точечная аппроксимация...................................................................... 9
   2. Теория интерполяции................................................................................ 11
      1. Интерполяционный полином Лагранжа............................................. 13
      2. Интерполяционный полином Ньютона.................................................. 14
      3. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона............ 16
2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ............................................................................. 18
   1. Аппроксимация функции методом наименьших квадратов..................... 18
      1. Ошибка аппроксимации и ошибка корреляции................................. 22
   2. Интерполяционный полином Ньютона.................................................... 28
   3. Интерполяция сплайнами.......................................................................... 30
   4. Анализ полученных результатов............................................................. 32

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................................................................... 35

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ................................................... 36

ПРИЛОЖЕНИЕ А................................................................................................. 38

ПРИЛОЖЕНИЕ Б.................................................................................................. 40

ВВЕДЕНИЕ

Современная промышленность и вычислительная техника развиваются каждый день, и в связи с этим современная инженерная практика не редко встречается с задачами, точное решение которых сильно затруднено или практически невозможно. В подобных случаях специалисты прибегают к приближённым вычислениям. Вследствие этого численные методы получили широкое распространение и большое значение в сфере вычислений.

Численные (вычислительные) методы – раздел математики, который изучает способы приближённого решения математических задач, которые либо не решаются точными аналитическими методами, либо решение подобными методами не рационально в виду его чрезмерной сложности. Примерами типовых задач являются численное дифференцирование, численное интегрирование, численное решение уравнений и другие.

Основная задача численных методов сводится к получению конечномерной математической модели (задаче). В большинстве случаев этого можно добиться при помощи методов аппроксимации исходной задачи, в процессе аппроксимации происходит замена изначальной функции на более простую функцию, вид которой зависит от нескольких параметров, с помощью которых можно получить решение с необходимой точностью. После аппроксимации задачи требуется составить вычислительный алгоритм, то есть указать последовательность арифметических и логических действий, которые выполняются на электронно- вычислительной машине (ЭВМ). Полученное значение принимается за приближённое значение исходной математической задачи с требуемой точностью приближения.

Вследствие того, что численные методы направленны на нахождение приближённых решений задач, которые не решаются точными методами, то возникает определённая погрешность, которая обусловлена тремя факторами при численном решении математических задач.

Первая причина – это погрешность исходных данных. Математическая модель содержит определённые параметры, которые зависят от исходных данных, которые в большинстве случаев получают в ходе экспериментов. Вследствие этого невозможно избежать погрешности в измерениях исходных данных. Эта погрешность называется неустранимой погрешностью.

Вторая причина заключается в том, что при аппроксимации исходного ряда данных возникает погрешность, которая зависит от выбранного метода аппроксимации и называется погрешность метода.

И третья причина заключается в конечной разрядности чисел, представляемая в ЭВМ, может привести к ошибкам округления, которые накапливаются в процессе решения и влияют на конечный ответ.

Цель данной курсовой работы заключается в изучении таких численных методов, как: метод Лагранжа, метод Ньютона, метод наименьших квадратов. Также необходимо изучить теоретические положения методов аппроксимации и интерполяции. После этого будет произведена аппроксимация методом наименьших квадратов и построение интерполяционного многочлена в форме Ньютона по чётным узлам.

Для проведения расчётов, необходимых для решения поставленной задачи использованы: язык программирования Pascal, пакет прикладных программ Maple и пакет программ Microsoft Excel.