Книга: метода Степенные ряды (Дубограй и ко)

Распознанный текст из изображения:

УДК 517.52

ББК 22. 161

Д79

Рсиси кип й< .<6 Га<ххоии«вся<

ятслы<

УД16 51752 ББК 22.161

® МГГУ им. Н.Э, Баумана. 2005

Дубограй И.В., Дьякова Л,Н„Сьулисвя О.В.

Д7х Стсисииыс рялы: Мсп<личсскис ука <авиа к иьшо:если<о <ивового расчста. — Мл Нзл-во М< ГУ им. !<УЭ наумова. 2005, — 57 сл ил.

Мстоличсскис указ шия солсржа< крагкии <сорстичсский хи<<сроки<, исобколимый лля рабо<ы ио слслуиииим <смач: фуикшшиальиыс рялы. илхожлсиис области смшчосзи глсисииых рялов. разло>ксиис фуикций и с<спенной рял. ириближсииыс вь<числсиия оирслслсииыл ив <сгр<сии<, рсшги<ос лиффсрсши<вльиь<х урви<олий с иочоии <о с <си<с«иых валов, 1!и кажлой <счс иривслсиь< иолробио ра<обраииыс иримсры, когорыс <юмо<5 г сгулситах< ири выиолисиии ломани<с<о залаиия. Дш<ы залачи лля сиз<ос<ох<сльиой робо< ы и условия тииаво< о расчста ио тсмс «Стсисииыс р>шыя

Для самостоягсльиой <заботы стулси гол 2-го ку!зса МГ ГУ ич. НЭ.Баумаиа всех сисциальиостсй. а <икжс:шя рлбо<ы и ау апории иол руковолсгвом ирсиолава< с:и.

Табл. 2. Библио<р. 3 иазв

ВВЕДЕНИЕ ';.:,',:.;.-:;; ';:.':'!::::,"'!':':.„:=.'=:-:-~-"..;4.:

Методические указания предназначены для студен~~~ '" "

щнх тему «Стспен«ые ряды»,

Н работе кратко изложены необходимые для'решеМ~,,

дсния, подробно разобраны решения типовь<х-йфдяю,:о~

нис уделе«о тем частям их решения, где студсент~:::.~.,

пуска<от ошибки при выполнении домашнего.а<<1вя<иия".;:.':,::;:~.::,;"'-:,'-,';.'~"

р!осле каждого раздела даны задачи С'".отВууЮ~

ой работы которая позволит выясн5грь,-';:да' '

уьвосп маз ериал.

, <'," '-„.;ф~ф

Распознанный текст из изображения:

о (см. 11, 2),

!рялахб ~1; Я, ".'::,::;

1г!.1! ляку Дал ам- "ф

3 5 7 (2п!1!, ! 4 7 (3п 2!'

3 5 7 12п ! 1) (2п ! 3!

! 4 7 !3!1-- 2) !3п !

ип — — -- — - =-!пл --"- - !х ! 21...11х ! 2! - !

!хч 2(:

2 2 2

. Фбдасть абсолютной схол1!мое!и я .

олимос1и ряла. Исследуем 1кию 'Жмграиичимх точках нитс ! '

И1г1сраала сх1п1имос1и. 11 <ьчс!аним

4ф

д ' ' . юиис нсооходид. йовери!ь вьии1л!

' учае т!Ос!а!оч!!о т

ю !рудио, Заме.!им, гго

дсиие ря-

7

--В

2

,4'

,ф~"..'" 7 ' "' „сх(п!И!1 я !!6! Ол!(и !!о. Зиач

я"',;-".:,'::.",";;:"-.'.-::."-'-.-;.:,":,:,;$': —,: Едадоаателм1О Р"7! ~. и'

'т'.,";:;"':.";::~::::::::;.::!::!;-".::::,' . ', „ж1лп(х- 3) „,„„„,, я або и!кои и чке х -..

3, Подстайим х:= 5 В рял:

и !

а !

В точке х =-:. 5 степенной рнл сх!е!11 1ся абсолнли

Ответ! область абсолк1пн1й сх1п!1!ь!ос!и,:!111!1юи

Пример 2.4. Пайги о!кис!!, сх!и!имое!!! ряда

7 - 357 "( !)

я;-11.4 7" (3п- 2)

1, Составим рял и.! молулсй и исследуем ело!к> !ц

бара;

1пп! ! ~

/г1„!

147 (3п

Д

ГЛ1С!1ИД!!О,

глс1! ря1!а бол! и!с о!т 11ри1!ьчк схолимости

3 11 !очке х

35 7 (2п ~1. '7 (Зл

Г) ! !!1„"'!" область !

ОСИОГ!

1,сли чнсли ! с'!'с!

!.~И И 1. !М С,1с!1С!1!!О

ке.,!с.ка!ием ииу'! р

1!с!их !сиия 1, Г'умма стсиеи

,1,и ь1!!!ериала сходи

2 1'!е!!еи!1ой ря

1с1,1с схочимости, !!

сумм!а исход!ю!о

5 ( )::.,5'(х)

(111,и этом сходимос

с '~', а„(х =:я~~;-;;:::-:: „::;:;:::::.:.;::;;:

и --О

(2п+1)(2п+3) Зп+!.:1 4:;7',:.„:(Э '--'-'~~':.':.''~а'':;:." ",""М~:;';.-И~~.'" — 2) (Зи+1) *)Я -3'З»,7;:: (2и.+:~: „-:~щ»':;,:~:.;-'-';::;:::;:::;':;,:::- ед! !ду!лего, т, е, ие щ,щолия~4оа:,'~~~.',::,:,:::-::::;.-~~.,':;. 1 — получим расходящийс!я ряд::::,":.' "'".,";:,",':,' -'.".::.'.;!':.';:-";-::::::;!':-',~!.'',!~":,,";~=',;.'= 2

г ~ и

! 11(3~

"-2) 1,2~ ' !босииотиой сходимости радах~ ":: -"'~„""!~,, '~"-''-'~ и ь! е свойства етвгтайцйЖ,;ряааФМ;:.:.:':-::::;-.:~',;.:-',,;.',.' ге1и!Ого ряда явля!сигея иег!рефы$ЙФзй й ряд сходится равиомерно!':а::.:М~! и интервала сходимости, тФ:й~фйЫ,:;„ ного ряда является иалрарйвИФФ:.

мости этого ряда., ":.:::::::::::::::;:::::~,'':.~! «~~~ д можио иочлеиио.дйффФ

ричем сумма нового.фяМ;; ., ',

Распознанный текст из изображения:

3Млрио1м йо (3,4), считлй.1

!)и

, Р()'"''

(2и ! 1)1

н О

~( !)"'

и и

Область скслимис гн ~ни~у

~~ чсииии~ рлдн

3~ ~ ('"; ! ): к с (

Пример 35, Рдиннкп~ь функиин~ /(~)

;н12а ~н~ счсисилм

х!

Х -1

ХС '

1(п (2! )

ВФ2х-

л л

ялЛспк си~Л '01

'1

2

(' н1 '/ с~) Ч)

ч

Дйлесч исиолиун(3, !) и !151, считали ~ 2l, ~н нучнсм

Д

— (яи 2! сис 21) 2

.'И Л~

1) ~1 1)

„(.,~)'

2 (2л ! 1)! (2и)!

к О и н

Зорим, по н пилучсииим рнии.ксиии и!нису ~с ~нуни нсс счспФий 2) >ийииая с иулсний, 1!ииро6усм <ли,слииич н и1н1 рнии и илии айДа 2"„1.'„(21)":

~и 0

' ~4 . ~ , „ (2~)'" '

2 ". „„о (2и 1 1)! л

Д ( (2~)' (21)'

ж~ ф

(21)

ч1

(" !)

ЭЙЛИ М!СЧ

.,'и

1)

„, ( 1)'

) (2ц), ~

( „")'"'

(2п ! 1)1

Оксин!д

1!'пнями

'я1сл< >ин ! и

!!римо! инм (1 1),

Имссм

У(.) (к!

/(нлсс, !

чисм

(Гс! 4~14)

1Ьлучи!

( ~, 1(рсибрн

с~им» иидс! ки!и !ми, Дл !нмсийм и 1

с

(2!)~ ф)Ф':'; "::юй~~!~„-;;,':, "'

Яйся~'

- — (йз:

!синий, ц(и2~..., .... ~ (,!)(Й~М

им, ччи м!никитой!, (-, ц'"ф!2':ййй';,-(:: "~),

с и!лкин чсрс ! йии,и!ойй р~~~~..-,.:,'.:,:,!::,'::::-;,.„;:-',-:,,:~~~!!~~-''

> 3 ! 1 !кл ! и!! фуикцй!оДЖ~ м.~ф+1

)/ 1л 1 Х '*

~ х --1-1-1

2

:,-. (~ .(-':.'2~~:,а1м~ФФ.''

кпопнчуй Формулу (М):.Й ЦРФФ,„' „,

1н

цийесл трй ря46 йМФИФ"...

им той, чтобы вцФ.

Распознанный текст из изображения:

2

и,ил Г ИВЧГИШЯ С Г . ВЫЧИСЛИМ~~~!:

о Гииаковь! Сгс с

Ъ асах трах сумм г ' ' 'с

ем и стеиеиями г, з: с, а и !

Гасм

емь!е с меньшими ... и !

и гп

— -! 4-1-2à !

-2 ! ~~ >п..г( ' !)

Лг ггг- Г( г '>) !

1! 2

. Х,—,'"Р)п, (, „,

и.=

г

и

4Гп с

2). ' (>г --,-)( „, -~

п.

1)гг-! 8л !. 4

6г

гг,

и

г>2 ! л !

0'Гаст' /! !), .! !' (

и 2 гг

х~ (-м;+ )

5л.

с!» и! >ало /(с)

У2! т-6

(х- 1),

Иысем

! х — 1=-г ~

г 1~ г !Зг 4

5Г+ 5

— !г ! Зг - 4 =- (г - 1) (! ! г1Я и-

(à — ! ) (à -1- 4)::::'...'.;:".;.;-',:,"

Представим Волучсинук> дробь В ш>дс суммы простых дробей::::-'-'';

5г -г-5 А

методом неопределенных ко:>ффицислггоси — — — - -- -- +:!!р

(г -1)(Г ! 4) à — 1

ИСКОДИУГО ф !

фу ио!ию чо>к>ю ирслсГГ>В>ГГЬ В Вичс / (х) - + 'а

2

г .— 1 Г+4:;:.'!.

Д е,с помощьго(3 10) получим .. --2- -- -'- — 2 Х»

Далее с

'>

Г 1 1 — Г и О

и

(г~ < 1, обла

'!'ак как

чио, ио (3.! 0

Л и а!>о!'и

3 ( — 1) ег'

~1п О

3 1

г

1>-

Г

-! < 1, облас

!ак >Гак

1-: -3

~:л ..5

5

льио,

х2 1-

с>конча>с

3(х — !)"

.,!и! !

Е ! -2-1-(

и а >,

Г>б.>асгь сколимосги

-= хГ- (О 2)

!!ример 3.8. Раз:н>аюп

я (; с>) г>риц!

!!сцо,>! з3

-(8!х)

-4/3)

— 1/3(

2

3( -4/3)( — 7/

-! =х — !

СтЬ СКОдИМООГИпаЗ>О1Упс:,'рчядла;.,'",",~~~~;,:,'®~!'-',„;::~'.

— Х (-!)" 3(-1)

ть скодимости этоГо ря22а':,',"-".~:~;!~~~" ':

— -2 Х„(х- 11":,'=~:;:::-:3"':-''"~-;;-:":,:-"':: "~

полученною ряда х. г= (О';2)2 >(с",'.,::- й" ь функцию/'(х) = —; — ": ":йо~,'

Б~ ~:.3,;,.:,",.„;,::,".::-':- ""

>ь>ая гп — — — —, х ->' —, ИМОЕ!!1;-'::,;:!";:!'-;:,!;- — ! /3(-4/3~('-".:.'~/~)-':-.~~;.,,

Распознанный текст из изображения:

с

Диффе уя этот ряд пол~ ~им р»зложеиия лляу'и»~

у'=с!+2сах+Зсэх +" +псн.» ! (и ! 1)с„, !».

= ~, (п+ !)с„, !хи;

н 7

У =2с2+3 ° 2с1х+ +п(ц — !)с„х " ! (ц+ 1) цскп х'

,и

+(п+2)(и+!)синях '! ''' = ~х' (ц ! 2)(п ! 1)с„,2х

и О

Подставим эти выражения лля и, г'и 1" в исходное уравнение:

(! — х ) ~~~ (ц+1)(и+2)с„» х" — 4» ) (и-! !1»,, ь»ив

и::-0 н о

— 2,Г н.»н бх — 2,

и 0

,,'' ((и+1) (и+ 2)с„,.х" — (ц и 1) (ц-.— 2)с„,

п=о

--" (ц '- 1) сц ~ и»'" ' — 2сн.»э') -- бх — 2.

Приравнивая коэффициенты ири одинаковых степенях х в обеих

частях равенства, получим систему уравнений для нахождения с„:

х: 2с2 — 2со = —, ~ с~ = со — 1;

о.

х: 2.3.с» — 4с! — 2с~ =б,~с; ==с! 1-1:

1.

х; 3 4 с» — 2са — 4 2 сэ — 2сэ =- О.=-~ сч ==- с, -= со — 1;

2.

х~: 4 5 са-2 3 с~ — 4 3 сз — 2с;:=О,=~

'- с5 = с! = с! + 1;

Следовательно, сх„= с, ) ."' -.,:,;" ":,';-'"! ~:" "~"~" т"

Подставляем найденнь!е ко фф.„:, ",;..:,„;:,:,::,:,;,,-;:,,:!„';;:,",:.',,ф„,„. функции:

1 ==,~ с„х = со+с!х+ ~~ (с2нх2н+С.--',:,:.~~~:.".,,"-,.'"~:,'"'"

н:.- о

= со+ с!х+ '! ((со г).',2и+~~...+~ . ' " '

= со,) х2" + е.,1:.~;;:-"~+~;;~„',- и — -о .,;и~".".::;'::!~~:

Исходное дифференциальное урааиеэини-"'"'~=' " пое второго порядка. Его общее решение: """"""'. следующего вида:

У н н У о.о +У ч,н ="с!!р1'!+у3". где уч и у. — линейно независимь1е ч~ " ющсго однородного уравнения, обряда "=' стему решений; у„„— частное;:р6' уравнения; ус я = соу! +с!у~: — "-',::.Ф, "ч го однородного уравнения.. В йод, ' необходимая структура.Функ!~~:;,""'.' зуют фундаментальную ей~~~,"..

"::З~ф

породного уравнения; у„;н:::;~,:,-.:.!':ч! '

цсодпородного уравнена,'::.";~:::~~:~

Учитывая, что в:-Отв,.' "

функций (см. 3.9) и Чт1~~'":,ф~;;".

че:

3:'.:ч ф,.

Ответ: уо;,',:.;,,'=,'. ',,' '" '

, х ': (2и+!)(2п+2)сан~.~ — 2п(2ц

-4 2ис2и — 2сън =- О ~ сэ„; а =- с2„=- х '~~: (2п+3) (2п+4) с н, ~ — (2п 1- -4. (2и+ ! ) с~,„. ! — 2с2н,. ! = О ~ с.н

— !)с„.„—

со — 1;

1)2цсап, !—

При имер:-:$!4~,

+У = 2008~., '

Распознанный текст из изображения:

2й

п

!2п1!

и!иь-ы и1у

1кмо ~х ихиия и ии1ио

„;„; (, 13 '1. !3 'И, 11ьроПояьиили рз~;и)жьиия и*,В ь иьин ~». ~

ио * ' ь<ь' .о

Ййшфм 1~ьииснис ииоио, !

'ииоьи~ио иои''и иииио иоь~

Чтобы аычиьлль ори~ . ил.оиио о „' ':, ° . ь

и

И(л узко~,о!~о„~,иьиий и ря„

: ьь: озь~и ~иии

мы '1ьйбии1!3, ио иои', "ьии ",'~и*:ии, ~ " '' ьь, ~ оо.

ь'~' дчо11 ~„~о о: ииои ои ь~ ! !4

ьзеиы:и оь 1, .: б' ,... ь !" б!2 ь

а!:- 11.!ЛЯ!111-1б;у ! '1:-! б . '. б ЬЛ!',:,',,2 11~ р. ииоль

: 2,/'

Й,: <' а, -, 11,бб!

О18~."и !~ «" 1ох - ~о*:. ~ 1 . !

Зй;иния;ь!я сиъм)ои ой! о.,и иии риби ! ы

!1рииоид$ и иь ~ иьь; *;и,ииььи ~ ь, > ио ~~, 1,*ии~ирк иииия, илйти п иьрвуа и;н.иои 1ь~ ои;,~оиии и ь:.и "ииьи;,,ь: ри.и«и~ия;!ифФФ1жкдиальио~о Урзвиоиия . и,ии.иыии,и; оь,ьиыь!и,;ьи ~иии ыи:

31/ и' ' х.,у О) 1. и

'Ь "у ~:у

4ФФ4'1: Й) $» 1 у

5(%' ! 11 1~~!,у

2 16

2, 1!римьи

ии пио .инаф

иым "оиоииь '1/: -1 б)х/' ~/

/ЙЯ мь~~уд

о1жьии1ж!!

О, уй!~

~ху О,

!!

и

г

~2ь

Распознанный текст из изображения:

с

6

~,)г~

г~

Ф у

И !с~

-Ф

О О

— ~и

о

СО

И! з.

(1

и о Я

Й=

'~Т~

~ >

+

!

ч~

!

~ ~-~3

б ~

Ы

~И ~

~И~

г)

ги Г3

!

о

~с г

~

„~о

о

ст

! ~4,

гч ~с 1

+( '.

Г.!

3~ 4

ГЧ <б С4 гп

б3

О. ~-

ь х

63

о ~

х р

>с

-~к

в~ 4п

Ф

~

Распознанный текст из изображения:

! г

<~~ г

Б

х

.О Щ

~ с

'ы

У

! г~

с>

о

1~л

о.' о

!!

!!

С

!!

!

л

г.~'

г!

!

г !'

с !

ю

г

1

2 ~к х х

!!

!!

СЧ

!

';:!!::.;::!;!г

'г: ~ г'.

г|

!

с с

1; !!ф,,

ФЭ

г,:

1 1

) Я„

1

!

са,

ж $

г

Л:

Б к .й 05

с с

с

'1;

СЬ

! и !!

и

с о +

Д

!!

!!

,о

.: г1

гп

!!

Распознанный текст из изображения:

СПИСОК'ЛИТ~~А~ф~~'-::;,.:

1. Власова Е.А. Ряды: Учеб.,:,ддя'.":~~~:„'-'-',,~Л~!"'~~~в

Л.П. Кри щенко. М.: Издтво" М~,й~.:.-.;.,!~~!';„'.=" '"'

гематика в техническоМ универ~~':,ф~~~~" """'"

2, Бу, ров Я.С., Никольский С М.,::Вмсу~,'

ные уравнения. Кратные:интегралы,';-~~.:.

ременного. М.: Наука,' 1935;:,";," '-';,:::::.'::,-:!.='~.";;;!='.,!:''!~-".'~~~'=.

1. Осииово м.3. Ряды и их прйягожеиия::.;:М~М~~~~ф

197".

7з.