Электротехника Касаткин (967630), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для построения соответствующих зависимостей можно сначала пои строить вспомогательные экспоненты 1 — е для напряжения -Бг шо Ч/Е С Е (рис. 5.8) и з — е ' для тока, Кривые изменения напряжения и шоь тока (рис. 5.8) должны вписаться в пределы, ограниченные укаэанными вспомогательными экспонентами.
Для нахождения характерных точек кривой изменения напряжения на емкостном элементе; таких как ис(0) = Е и ис(г) = О, на рисунке показана точкамн вспомогательная кривая — синусоида. 7еа пс(0-) "Е лс(0+) А'+ Аг' >ся с (О ) = 0= с (О+) = -С вЂ” = — С(Р>А! + РгАг), „! т. е, р>Е Аг= < О- Р! Рг Р>Е А>= — — ) О, Рг Р\ Подсшвив найденные значения постоянных интегрирования в (5,30), получим напряжение на емкостном элементе: и, = — е»' + — е»' с Рг Р! Р! Рг и ток разрядки: с = -С вЂ” = — — (е»' — еСгг ). 'С"С Р>»гЕС с > с а>с Рг Р! Кривые изменения напряжения и тока показаны на рнс. 5.9, где штриховыми линиями нанесены также вспомогательнью экспоненты. В течение всего переходного процесса напряжение н ток остаются положительными, т.
е, разрядка емкостного элемента апериоднческая. Зля предельного случая апериоднческого процесса при ггС'(4Ь г) = л 1/(АС) характеристическое уравнение имеет два одинаковых денствительных корня Р! = Рг = Р = -г1(2Ь) (кратные корни). Прн кратных корнях общее решение дифференциального уравнения (5.28) отличается от (5.30) и записывается в виде и, = (А! + Агс)е' гас. 5.9 Б.
Апернодический процесс разрядки. Если — ) —, то действнмг сс* тельные корни характеристического уравнения (5.29) имеют отрицательнью различные значения, причем Рг < Р < О. Для нахождения А ! ! н Аг в общем решении (530) воспользуемся аналогично предыдущему законами коммутации для емкостного н индуктивного элементов: где постоянные А1 и Аэ определяются на основании законов коммута- ции. Напряжение на емкостном элементе и ток во время предельного апериоцического процесса разрядки Г 2* и — — г и =Е(1+ — г~е "; 1= — ге эь с-„— „~ * Б.т.
ПОДКЛЮЧЕНИЕ НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ С ИНДХКТИВНЫМ, РЕЗИСТИВНЫМ И ЕМКОСТНЫМ ЭЛЕМЕНТАМИ к источника постоянной эдс В отличие от процесса разрядки емкостного элемента в цепи на рис. 5.б, описываемого однородным дифференциальным уравнением (5.28), процесс зарядки в аналогичной цепи от источника постоянной ЭДС Е (рис. 5АО, а) описьшаается неоднородным дифференциальным уравнением В и, йи ЕС вЂ”,С +гС вЂ” С+и =Е.
Ж' Вг С Репюние этого уравнения представляет собой наложение установившегося н свс бодного процессов ис = ис„+ "с се где составляющая свободного процесса совпадает с (5.30), а состав- ляющая установившегося процесса и,„= Е (зарядка до напряжения, равного ЭДС), т. е. общее репюние для напряжении на емкостном эле- менте, имеет вид и = Е 4 А1е"" + Азе"' (5.36а) и зарядный ток иис 1 = С вЂ” С = Р, СА1ер'~ + РзСАэерэ~, А' (5.3бб) Рис.
5.10 148 До замыкания ключа напряжения на емкостном элементе и тока в цепи не было. Поэтому в соответствии с законамн коммутации получим для момента замыкания ключа (г = О) два уравнения для определеннядвухлостоянных А1 н Аз. ис(0 ) =О=ис(0+) =Е+ А~+ Ат', / (О ) = 0 = / (О ) = Р,А~ 4 РтАт, откуда определяются постоянные: А~ = РтГ/(Ро Рг) Аг = Р~Е/(Рз Р~). Ограничимся здесь анализом колебательного 1см, (5.31)1 процесса зарядки. Выполнив преобразования, аналогичные переходу от (5.33) к (5.34), получим зависимости изменения во время напряжения на емкостном элементе н зарядного тока (рнс.
5.10, б): ис ис + ис =Е е а(п(итого И; — бо,. С Су Сов що Ч/ЕС Нис Е 1 = С вЂ” = — е з(пшот. й шоа Напряжение на емкостном элементе достигает наибольшего значения в момент времени г = я/оэо. Оно тем больше„чем постоянная времени т = 1/б больше периода собственных колебаний То = 2я/шо, и в пределе может превышать почти в 2 раза установившееся напряжение. Такое перенапряжение может быль опасно для изоляции высоковольтных установок. Чтобы исключить перенапряжение, нужно осуществить апериодическнй режим зарядки, например включить последовательно в цепьдобавочный резистор, Е.В.
ПОДКЛЮЧЕНИЕ НЕРАЭВЕТВЛЕННОЯ ЦЕПИ С ИНДУКТИВНЫМ И РЕЗИСТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТАМИ К ИСТОЧНИКУ СИНУСОИДАЛЬНОЯ ЭДС В нераэветвленной цепи (рис, 5,11, а) с источником синусоидальной ЗДС е = и = (/ атп(шт + $и), прн установившемся режиме синусондальный ток согласно (2.46) / = 1 а(п(шг + Ф вЂ” р), ю и ,д. ( -о„~/.г+/М вЂ” ° уж* '. и- ° ч( ж! )— аргумент коьюлексного сопротивления цепи; $„— начальная фаза. 149 Неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса, воэниканацего после замыкания ключа, подобно уравнению (5А), т. е.
имеет вид и +и = ййЦЙ1+ г1=е. Х. Его общее решение равно сумме свободной 1см. (5.7)1 и установивпюйся составляххцих тока; Г 1=1 +1 =У в1п(оэг + ф — р)+Ае У се И М На основании закона коммутации для индуктивного элемента [см, (5,1)) в момент времени 1 =О справедливо соотношение 1 (О ) - "О = 1' (О ) = У в(п(й„— р) + А, откуда определяется постоянная интегрирования: А = -У в(л(Ԅ— р). Подставив значение постоянной А в общее решение, найдем зависи. мость тока от времени: 1' =1 + 1 =- г в(ц(щг + й„— е) — ! в1п(Ԅ— р)~ '1~, где г = Е/ г — постоянная времени цепи. Таким образом, во время переходного процесса ток в цепи состоит нз синусоидальной составляющей и свободной составляющей, убывающей зкспоненциально (рис. 5.11, б). Практически через интервал вре.
мели Зг после замыкания ключа свободной составляющей можно пре. небречь. 150 Рис. 5,11 Если момент коммутации (г = 0) выбран так, что начальная фаза напряжения источника й„= р, то свободная составляюшая тока равна ~улю, т. е. переходного процесса нет и в цепи сразу устанавливается синусоидальный ток. Если начальная фаза напряжения источника $ = у + я/2, то интенсиви ность переходного процесса будет наибольшая. В момент времени г = = Т12 = я/ш максимум тока будет наибольшим и в пределе при т > Т близким к 22 Аналогично рассчитывается переходный процесс при подключении источника синусондальной ЗДС к цепи с последовательно соединенными резистивным и емкостным элементами и в других случаях.
И здесь переходный процесс зависит от начальной фазы напряжения источника: он отсутствует при Ф„= Р + а/2, где Р = агстй 1-1/(1сСг) ] ( О, и выражен наиболее сильно при Ф„= р, когда максимальное напряжение на емкостном элементе может почти в 2 раза превысить амплитуду установившегося напряжения. Такое перенапряжение может привести к пробою изоляции в высоковольтных установках.
Е.В. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Операторный метод не обладает физической наглядностью в силу своей глубокой математической формализации, но в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени г) в область функций комплексного переменного р, в которой дифференциальнью уравнения преобразуются в алгебраические. Такое преобразование называется прямым.
Полученное решение алгебраических уравнений обратным преобразованием переносится в область действительного переменного. Строгое обоснование метода дается в курсе математики. Здесь познакомимся лишь с техникой применения операторного метода. Для прямого преобразования функций времени Ят) применяется преобразование Лапласа ОО р(р) = 1' е Р'г(г)бг, (5.37) е что сокращенно записывается так: р'(г) ц,г'(т) 3.
где функция времени г'(г) — однозначная, называемая оригиналом, определенная при г > О, интегрируемая в интервале времени 0 — ° и равная нулю при г < 0; Р(р) — функция комплексного переменного р и + /сс при Кар = о > О, называемая лапласовым изображением. 151 2. Теорема об интегрировании (5.39) Таблица 5,1, Ижя)ряжения функций ио Лаинесу Функция орисннея с (С) Изображение функции Е(р) Вия функции Выражение функции ,(,) ~0 ири с<0 ь1 прис>0 (единичная функция) -ас е ,-ас с) — а 0 (Р + а)(Р+ )5) -ас -))с е — е 152 Примем, что начало переходного процесса в цепи соответствует моменту времени с =О.
В табл. 5.1 приведены примеры иэображения простых функций. Отметим некоторые свойства преобразования Лапласа, называемые также теоремами. 1. Теорема о сложении или линейность преобразования 1,(аЯ(С) + азГз(С)) = ас1. (Гс(С)) + атЬ(тт(С)), (5.38) 3. Теорема о дифференцировании Ь(сп" (Г))с2г) = рЕ(р) — 7 (О ). (5.40) 4. Теорема запаздывания Ь12'(г — Т)1 = е р~Ь12'(г)] = е р~Г(р), (5.41) Преобразование (5.37) позволяет получить соотношения между напряжением и(г) = и и током 1(г) = с в операторной форме для реэистивного, индуктивного и емкастного элементов. Изображение напряжения на резистнвном элементе и (г) = Н(г) по (5.25) У, (р) = г 1' с р'1(г)с11 = г1(р).
о (5.42) Выражение (5.42) называется законом Ома в операторной форме для резистивного элемента (рнс. 5.12, а) . сд Изображение напряжения и = Ь вЂ” на индуктивном элементе по ос (5.38) и (5.40) Ц (р) = -Ь1 (0) + рй!(р), (5.43) где 1(0) =1(0 ) =1(0+) — ток в индуктивном элементе в момент ком- мутации г = О, учитыванлцнй начальные условия (5,1), Напряжение на емкостном элементе, начиная с момента времени г =0 возникновения переходного процесса в общем случае, нС(г) нС(0) '1(Г) + Х 1(г)4 С о где ис(0) = ис(0 ) = и,(0+) — напряжение на емкостном элементе, соответствующее начальному условию (52) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
