Электротехника Касаткин (967630), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Для определения постоянной А в (5.16) обратимся к закону коммутации для индуктивного элемента (5.1). До раэмыкания ключа, т. е. и при г = О, в катушке был постоянный ток Е/г . Поэтому по закону коммутации 1 (О ) =Е/г = г (О ) = Е/(г + А) + А, откуда А = Е/г — Е/(г + Я) = КЕ/г(г + Я), 139 Подставив значение постоянной А в (5.16), найдем ток в цепи катушки индуктивности после размыкания ключа (рнс.
53, 6); е / я — — ~1+ — е г+Л г (5.17) где т = Ц (г + я) — постоянная времени цепи, Зная ток в цепи, нетрудно определить зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис. 5,3, б): гб 1 Я и, =и' = — 111+ — е ' (; г+Ю г — г~т 1. и =-И = — ~1+ — е г+ д ег я ц г, Š— г т Е яг г Б.Б. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА С ОДНИМ ЕМКОСТНЫМ ЗЛЕМЕНТОМ Рассмотрим процессы в цепи при зарядке и разрядке емкостного элемента. А. Зарядка емкостного элемента от источника постоянной ЭДС через резнстивньй элемент. Переходный процесс в пепи на рис. 5А описывается неоднородным дифференциальным уравнением на основе впьрого закона Кирхгофа, закона Ома и = и и соотношения между током заг рядки и напряжением в емкостном элементе г =СИи .1ггг 1см.
(2.11)), т. е. и +и =и'+и =гС вЂ” +и =Е. «С с с,ц с (5бб) Общее рещение уравнения (5.18) представляет собой сумму двух составляющих; нст + нс 140 В первый момент времени после размыкання ключа г = 0 напряжение на резистивном элементе Е скачком возрастает от нуля и (О ) = = О до и„(0 ) = Ео/г . Поэтому прн 11 > г между контактамн ключа появляется значительное напряжение, которое и может вызвать дуговой разряд. Первая составляющая соответствует установившемуся режиму "Су (5.19) и равна и = Аел" Сев (5.20) где Р= — 1/гС вЂ” корень характеристического уравнения гСр+ 1 =О. Таким образом, общее решение будет иметь вид и и +и Е+Ае г/гС С Су Сса (5.21) Для определения значения постоянной А в (5.21) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента (5,2), Будем считать, что до замыкания ключа, т.
е. в момент времени ! = О, емкостный элемент не был заряжен. Поэтому и,(О ) = О = и (О, ) = Е + А, откуда А = -Е. Подставив значение постоянной А в (5,21), найдем напряжение на емкоспюм элементе во время зарядки (рис. 5.4, б): е-т~ г) С (5 22) где т = гС имеет размерность времени (Ом ° Ф = Ом А ° с/В = с) и называется постоянной времени цепи. Она, как и постоянная времени цепи на рнс. 5 Л, определяет скорость переходного процесса. Зависимость от времени напряжения на емкостном элементе (см. (5.22) 1 определяет зависимости от времени зарядного тока и напряжения на резистивном элементе (рис. 5.4): яиС ~ — 11'т. =С вЂ” = — е С и =г1 =Ее-'1г Г !41 так как зарядка емкостного злемен- г га закончится, когда напряжение иС 0 ъ ет т будет равно напряжению источника Рис. 5.4 ЭДС.
Вторая составляющая соответствует свободному процессу, т. е. решению однородного дифференциального уравнения первого порядка ди гС С +и =О, ,й С Заметим, что э первый момент после замыкания ключа, т. е. при г = О, ток в цепи с(0,) = Е/г; емкостный элемент в этот момент времени как бы коротко замкнут (напряжение на нем равно нулю). Поэтому при малом значении сопротивления г в цепи может наблюдаться значительный скачок тока, При О < с < т скорость изменения напряжения на емкостном эле- "ис1 менте можно приближенно считать постоянной: — ~ = — „а ш 1,„р гс" Е 1 С напряжение и, = с .= / Есй — пропорциональным интегралу гС гСс напряжения источника ЗДС Е, Если на входе цепи действует источник изменяющейся ЭДС е, то может оказаться, что для моментов времени переходного процесса, в которью и„ь и., приближенно и. = е, а и = л = гС с/и,/~й ь и гСасе/ссс пропорционалыю скорости изменения напряжения источникь.
Следовательно, цепь с последовательным соединением резистивного и емкостного элементов, так же как и цепь с последовательным соединением резистнвного и индуктивного элементов, рассмотренную выше, при определенных условиях можно рассматривать н как интегрирующую, и как днфференцнрующую. В большинстве случаев процесс зарядки можно считать практически закончившимся через испервал времени, равный 3т. Этот интервал времеги может быль достаточно большим (чем больше г и С, тем больше и т), что широко используется, например, в реле времени — устрой.
ствах, срабатывающих по истечении определенного времени. Б. Разрядка емкостного элемента через резистнвиый элемент. В электрическом поле заряженного емкостного элемента сосредоточена энергия 1см. (2.13)), за счет которой емкостный элемент в течение некоторого времени сам может служить источником энергии. После подключения емкостного элемента, предварительно заряженного до напряжения и = Е, к резистивному элементу с сопротивлением г С (рис.
55, а) ток в цепи будет обусловлен изменением заряда а емкостного элемента (2.11): ач аи с = — — = -С вЂ” С (5,23) ас сСс 'г 5) Рис. 5,5 где знак минус указывает„что ток это ток разрядки в контуре цепи, обозначенном на рисунке штрн. ховой пинией, направленный навстречу напряжению иа емкостном элементе. Составим дифференциальное уравнение переходного процесса в контуре, цепи, обозначенном на рнс.
5.5, а штриховой линией, на основе второго закона Кнрхгофа, закона Ома н соотношения (5.23): пис и — и =и' — и =гС вЂ” с+и =О. (5.24) с с с Так как в цепи разрядки емкостного элемента нет источника ЭДС, то дифференциальное уравнение (524) однородное н его общее ре. линие состоит только из свободной составляаяцей (5.20): и = и = Ае '1<гС> с (5.25) Для определения постоянной А в (5,25) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента (5.2).
Так как до коммутации, т. е. и в момент времени г = О, емкостный элемент был заряжен до напряжения источника, то ис(0 ) = Е = ис(0+) = А. Подставив значение постоянной А в (5.25), получим закон изменения напряжения прн разрядке емкостного элемента (рис. 55, 6): и Ее-гИ с где т = гС вЂ” постоянная времени цепи, Разрядный ток найдем ло (5.23): пи, Е г =-С вЂ” =- — е иг Ток разрядки скачком изменяется от нуля до значения )(О,) =Е/г, а затем убывает по экспоненциальному закону (рис. 55, б). Е.в. РАЭРядкА емкОстнОГО зпементА В цепи с Резистивным и инд ктипным зпементлми 143 Больлюе практическое значение имеет цепь разрядки емкостного элемента через последовательно соединенные индуктивный и резистивный элементы, например в генераторах импульсов напряжений с конденсаторами в качестве источников энергии. Предположим, что емкостпый элемент С (рнс.
5.6) был сначала заряжен от источника постоянной ЭДС до напряжения, равного Е (ключ К в положении 1). Затем ключ К переводится в положение 2 и емкостный элемент подключается к последовательно соединенным индуктивному Ь н резистивному г элементам (зги элементы практически могут быль элементами схемы замещения катулжи индуктивпости) . г Емкостнью элемент начинает разряжать.
ся (ток разрядки 1), его заряд ц и напряжение и убывают. При этом энергия элект- С рнческого поля емкостного элемента преобразуется в энергию магнитного поля индуктивного элемента и частично рассеивается в резистивном элементе. Ряс. 5.6 Запишем для контура цепи, обозначенного штриховой линией, дифференциальное уравнение на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и закона электромагнитной индукции: вд -и +и +и =-и +п+Š— =О. С г Е С (5.26) Тяк как положительные направления тока и напряжения на емкост. ном элементе противоположны„т. е.
ток ) — это ток разрядки, то, как и для цепи на рис. 5.5, а, Ии ) =-с — а- вг (5.27) "С С АС г + ГС + РС 0 вг лг (5.28) характеристическое уравнениекоторого ХС)гг + гС)г+ 1 =О. (5.29) Обпюе решение однородного дифференциального~ уравнения второго порядка (5.28) состоит только из свободной составляюшей: и = и = Агел" + Агегг", С Ссв ч(5,30) я Г г 1 где р = — — + — — — — корни характеристического урав- 2Е. 4Е ЕС пения (529), В завнасмости от значений параметров элементов цепи процесс разряшси может быть апериодическим или колебательным. гг г ! При — > — оба корня характеристического уравнения дей- 4Е ЕС ствительные отрицательные и разрядка емкостного элемента имеет 144 После подстановки (5.27) в (52б) получим однородное дифференциальное уравнение цеци второго порядка; г ! апериодический характер; при —, ( — корни комплексные и 4Ь БС сопряженные и разрадка имеет колебательный характер.
А. Колебательиый процесс разрядки. В этом случае корки характеристического уравнения комплексные и сопряженные: р Ь о(ос, (5,31) с,г б = ббб — Ча бг ч с м = lббббб — б'б — бствеииая угловая частота колебательного процесса, Подставив комплексные значения корней в (5.30), получим зависимости от времени при колебательном процессе напряжения на емкостлом элементе и затем по (5.27) разрядного тока: и, = е-Ь'(А,е('"' + А,е-'""'); С' (5.32а) аи С С вЂ” Се Ьс 1 — Б(А,есшос + Аге сшос) т ас +!сао(4сесшос,(ге — (шос) ] (5.326) Для определения постоянных интегрирования Аб и Аг обратимся, как и в других задачах, к законам коммутации дпя индуктивного (сьь (5.1)] и емкостного 1см.
(5,2)] элементов. До коммутации и, в частности в момент времени с = О, непосредственно предшествовавший коммутации, напряжение иа емкостном элементе равнялось ЭДС Е источника, а тока в индуктивном элементе не было. Поэтому ис(0 ) =Е = и,(0,) = А, +,4,; с (О ) = 0 = с (О+) = С(Б(Аб + Аг) — (шо(А, — Аг)], откуда А, = Е(Ь + (оао)(2(осо', Аг = Е(1осо — Ь)!2(осо. Подставим эти значения в (5.32а) и учтем, что по формуле Эйлера (2.25) ейт"'о' = соа саог + (а1п шос. В результате получим зависимость изменения напряжения на емкостном элементе от времени в виде и = — с (шосоошос + Ьз(псаос).
-Ьс (5.33) 145 1 Рис. 5.7 Рис. 5.8 Сумму косинусоидальной и синусоидальной функций можно заменить одной сннусоидальной функцией. Для этого положим, что отношение соо/Б = айй, т. е. будем считать, что соо и Б — катеты прямоугольного треугольника (рис. 5.7), гипотенуза которого 7 =,Д7~7с> ь'. Г- с,гсс Разделив и умножив (5.33) на (/ч/ХС, получим — е а(п(<1ог + тз), Е ~>о ~П:~ (5.34) и по (5.27) разрядный ток будет ооС Е вЂ” Бг . / = -С вЂ” = — е а(псоог. Ис ссоа (5.35) Зависимости (5,34) и (5,35) показывают, что напряжение емкостного элемента и разрядный ток можно рассматривать как синусоидально изменяющиеся во времени величины, но с амплитудамн, уменьшающимися по экспоненциальному закону при постоянной времени т = = 1/Б = 2А/г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
