Электротехника Касаткин (967630), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Постояннью интегрирования определяют нз начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации. Будем считать коммутационные ключи идеальными, т, е. что коммутация в заданный момент времени 1 происходит мгновенно. Прн таких коммутациях ток в индуктивном элементе н напряжение на емкостном элементе в начальный момент времени после коммутации г„такие же, как в момент времени, непосредственно прецшествовавшнй коммушции 1 . Эти условия получаются из законов коммутации. В.З. ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ Законы коммутаиии утверждают, что ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе ле могут изменяться скачком.
Докажем сначала закон коммутации для инцуктивного элемента. Предположим, что в течение интервала времени от момента 1~ до момен. та тз ток в индуктивном элементе изменяется от значения 1 (11) до значениа 1 (гэ). ПРн этом сРеднЯЯ мощность измеиениЯ энеРгии магнитного поля индуктивного элемента 1см. (2,5)) будет равна э ди' 1 1 (Н) 11 (Н) Ь! т Если интеРвал вРемени Ьт = (, — 1 ю в течение котоРого пРоисходит изменение тока в индуктивном элементе, стремится к нулю и 1 (тз) Ф чь 1 (1,), то средняя мощность изменения энергии магнитного'поля Е стремится к бесконечности, Так как цепей бесконечно большой мощности не существует, то изменение тока в индуктивном элементе скачком невозможно, Этот вывод и является законом коммутации для индуктивного элемента, который можно записать в следующем виде: 1в (1 ) = 1 (1 ), (5.1) где 1 — момент времени, в который произошла коммутация в цепи.
Закон коммутации для емкостного элемента легко получить по аналогии с доказанным законом коммутации для индуктивного эле- 134 мента. Действительно, сравнивая выражения для энергии магнитною поля индуктивного элемента й'м = /лгз/2 и энергии электрического поля емкостного элемента В' = Си~,/2 [см. (2.13)1, видим, что относительно тока ! и напряжения и, они аналогичны. Следовательно, анализ энергетических процессов в емкостном элементе приведет к выводу; изменение напряжения на емкосгном элементе скачком невозможно, т.
е. (5.2) ис('-) ис(г+) где г — момент времени, в который произошла коммутация в цели. "'г. Те же законы коммутации следуют нэ соотношений и =Ь вЂ” и аг аи . С вЂ”,, так как при изменении скачком тока ! н напряжения 4Й и, получаются бесконечно большие значения напряжения и„н тока гс, что нарушает выполнение законов Кирхгофа. Токи в индуктивных элементах 1 (г ) и напряжения на емкостных элементах и,(г ) непосредственно перед коммутацией называются ' начальными условиями, Есин токи в индуктивных элементах и напряжения на емкостных элементах цепи в момент времени г равны нулю, т.
е. ! (г ) = О; и (г ) = О„то зти условия назьваются нулевыми начальными условиями. В противном случае получаются ненулевые начальные'условия. Взй ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА С ОДНИМ ИНДУКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ и = Ьгй/с!Г; и,= гс и +и=Е; е (5.3) 135 Рассмотрим несколько примеров переходных процессов, возникавацих при коммутации в цепи постоянного тока с одним индуктивным элементом, А.
Подключенне источника постоянной ЗДС к иераэветвленной цепи с резнстнвиым н индуктивным элементамн. Проанализируем переходный процесс в цепи при замыкании ключа К и момент времени г = О (рис. 5.1,а), выполнив последовательно все этапы расчета классическим методом (см. й 5.2). В далмюйшем для сокращения решений математические операции отдельных этапов будем совмещать. !. При выбранных положительных направлениях тока ! и напряжений и„и и составим систему уравнений, описывающих состояние цепи на основе второго закона Кнрхгофа, закона Ома и Закона электро. магнитноя нкгб~клин: Рис. 5.1 Исключая из системы уравнений (5.3) переменные и, и и, получаем неоднородное дифференциальное уравнение лереходного процесса первого порядка б) е"бс ~ ьй/ог + и' = Е.
(5.4) 2. Найдем общее решение неоднородного дифференциального уравнения (5.4) как сумму его частного решения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнение: Хсйгйг + гг = О. Частным решением неоднородного дифференциального уравненна первого порядка (5.4) является иостоянный ток (нет изменения тока и Наг = О) после окончания переходного процесса (который теоретически продолжается бесконечно), т.
е. 1„= Е/г, (5.6) называемый установившимся током. Непосредственной подстановкой легко убедиться, что это частное ренвнне удовлетворяет неоднородному дифференциальному уравнению (5,4), Общее решение однородного дифференциального уравнения (55) называется свободным током Аерг се где р = -г/ь — корень характеристического уравнения (5.7) ьр+ с =О. (5.8) Таким образом, с учетом (5.6) и (5 7) общее решение неоднородного дифференциального уравнения (5.4) имеет внд Š— с с = — + Ае у се (5,9) 3.
Определим ностоянную интегрирования А в общем решеняи (5.9). Для етого обратимся к закону коммутации для индуктивного злемента (5.1) в момент времени замыкания ключа г = О. Так как ток 156 в юадуктивном элементе не может измениться скачком, а до коммутации, т. е. в момент ! = О, он был равен нулю, то 1' (О ) = 0 = ! (О ) = Е/г + А, откуда А = -Е/г. (5.10) Подставив это значение постоянной А в (5.9), получим закон нарастания тока в цепи (рис, 5,1„б); Е (! е — г г) г (5.! 1) где т = Ь/г имеет размерность времени (Гн/Ом или с) и называется постоянной времени цепи. Постоянная времени определяет скорость нарастания тока и равна времени, за которое ток ! достиг бы установивпгегося значения ! = Е/г, если бы скорость его изменения оста- У велась неизменном и равной начальному значению скорости й/е!! ! = Е/Ь.
'~+ Переходный процесс часто можно считать практически закончив. нимся через интервал времени Зт с момента коммутации, когда ток достигнет значения ! (Зт) =0,95Е/г. Так как зависимость тока от времени найдена (5.!1), то нетрудно определить и зависимости от времени напряжений на резистнвном и индуктивном элементах (рис. 5.1, б): = г! = Е(1 е — г/ т) ° и = Š— ' = Ее 'г/г й! г,,гг При 0 < ! < т скорость изменения' тока в цепи можно считать приау1 Е ближенно постоянной и равной — ~ = —, Следовательно, в этом интервале времени приближенно напряжение на резистивном элементе равно г и м — Е! = — ! Ее!г, Е Е о т.
е. «ропорционально интегралу напряженна источника ЭДС Е. Такую цепь принято называть интегрирующей цепью, Прн действии на входе цепи источника изменяюптейся ЭДС е может оказаться, что в некоторые интервалы времени переходного процесса и В и, Дпя этих интервалов времени ток в цепи ! е/г; а напряжение г Е' ея ь' Ые на индуктивном элементе и = Š— - — — прибпиженно пропор- Е ' Ы, г йг 137 ционально скорости изменения напряжения источника ЭДС е. Имея это в виду, эту же цепь называют дифферениируюи)ей целью. Б. Короткое замыкание ка~ушки индуктнвносгн с током.
Рассмотрим переходный процесс в цепи катушки индуктивности с током, аб. ладааяцей кроме индуктивностл Е также сопротивлением г, при замыкании ее накоротко ключом К. Подобные условия имеют место в обмотках электрических мапщн и аппаратов. Для этого представим катушку иидуктнвностн схемой замещения в виде последовательного соединения индуктивного и резистнвного элементов (рис.
5.2,а). Запишем дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи после замыкания ключа: и +и =/.й/г/г+ г/=О. й г (5.12) Так как дифференциальное уравнение (5Л2) однородное (совпа. дает с уравнением (5.5)), то его общее решение содержит только свободную составляахцую (5.7): =Ае '/ (5,13) где г= Ь/г — постоянная времени цепи. Осталось найти значение постоянной А. Для этого опять обратимся к закону коммутации для индуктивного элемента (5.1), Так как до замыкания ключа и, следовательно, в момент времени г =0 в катуш. ке был постоянный ток,равный Е/(г +/1), то 1(0 ) =Е/(г+Я) =/(О ) =А, — е --г т г +К (5,.
14) Ток в катушке индуктивности после коммутации (рис, 5.2, б) под. держивается за счет энергии, накопленной в се магнитном поле. Теперь можно определить и зависимости от времеяи напряжений на резисгивном н индуктивном элементах .(рнс. 5.2, 6): гя и =г/- е — г/г г +К -г/ т и =Š— = — — е дг г+ К В. Размыкание цепи с катушкой индуктивиости.
При раэмыканин неразветвленной электрической цепи с катушкой инлуктивности меж- 1ЗВ Подставив значение постоянной А а (5.13), получим ток в катушке инду ктнвности; Рис. 5.3 Рис. 5.2 ду размыкаюшимися контактами возникает дуговой разряд. Такой разряд наблюдается, например, в скользящих контактах электрического транспорта. Чтобы дугового разряда не было, необходимо параллельно участку цепи между контактами включить резистор.
На рис. 5.3, а приведена схема замещения электрической цепи, в которой катушка нндуктивности представлена последовательным соединением индуктивного Е и резистнвного г элементов, а выключатель представлен в виде параллельного соединения идеального ключа и резистнвного элемента Я. Составим дифференциальное уравнение переходного процесса цепи после размыкания ключа; и + и + и = 1.й/с(г + (г + Я)1 = Е. (5.15) с г Я Это дифференциальное уравнение полностью совпадает (с точностью до обозначений элементов) с уравнением (5А). Следовательно, его общее решение аналогично (5.9): г+ Н ь Ае (5.16) 1=1 +1 у си г+ В где 1 = Е/(г + Я) — установившаяся составляющая тока, равная по- У стояиному току в цепи после размыкания ключа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
