1й_курс_2й_семестр_Лекция_06 (959045)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1й курс. 2й семестр. Лекция 61Лекция 6. «Колебания» (продолжение).Свободные затухающие колебания. Декремент и логарифмический декремент колебаний. Вынужденные колебания. Установившиеся вынужденные колебания. Механический резонанс.mРассмотрим движение тела в вязкой среде под действием квазиупругойсилы вблизи положения равновесия (например, поршня на пружине).ХБудем считать, что сила сопротивления пропорциональна скорости тела:FСОПР = −r ⋅ v , где r – коэффициент сопротивления (Н⋅с/м)Уравнение движения поршня можно записать в виде ma = − kx − rvилиx + 2β x + ω20 x = 0rkгде введены обозначения 2β = , ω02 = .

Это уравнение называется уравнением свободныхmmзатухающих колебаний.Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий2 x 2mv 2 kx 22 x WМЕХ =+= m  + ω0  .222 2(Если r=0, то получаем уравнение свободных незатухающих колебаний x + ω02 x = 0 с периодом2πT0 =.) Для затухающих колебаний механическая энергия не остаётся постояннойω02dWМЕХ d   x 22 x  + ω02 xx ) = mx ( = m  + ω0   = m ( xxx + ω02 x ) = mx ( −2β x ) = − rx 2 < 0dtdt   22  а убывает.

Поэтому с течением времени колебания затухают.λtРешение ищем уравнения свободных затухающих в виде x = e . Подставим в уравнениеи, после сокращений, получаем характеристическое уравнениеλ 2 + 2β ⋅ λ + ω02 = 0Дискриминант квадратного уравнения D = 4 β 2 − 4ω02 ,−2β ± 4β 2 − 4ω02значения корней λ1,2 == − β ± β 2 − ω02 .2Тогда решение уравнения должно иметь видx = C1eλ1t + C2 eλ2t = C1e(− β +)β 2 −ω02 t+ C2 e(−β −)β 2 −ω02 t(= e− β t C1et β 2 −ω02+ C2 e− t β 2 −ω02),где С1 и С2 – постоянные коэффициенты.iωtВоспользуемся формулой Эйлера: e = cos (ωt ) + i sin (ωt ) , где i = −1 .Видно, что если β 2 − ω02 > 0 , то решение не описывает колебания.Колебания будут наблюдаться, если β 2 − ω02 < 0 . Введем обозначение ω 2 = ω02 − β 2 .Тогдаβ 2 − ω02 = −ω 2 = i ⋅ ω и решение уравнения будет иметь видx = A0 e − β t sin ( ωt + ϕ )- оно описывает свободные колебания циклической частоты ω, затухающие с течением време2π2πни. Где циклическая частота затухающих колебаний ω = ω02 − β2 , а период T ==.ωω02 − β2Необходимым условием колебательного движения является неравенство β < ω0 .1й курс.

2й семестр. Лекция 62Величина A = A0 e−βt является амплитудой затухающих колебаний. С течением времени амплитуда убывает – говорят, что колебания затухают. Временем затухания (временем релаксации)называется время, за которое амплитуда убывает в е разxtA (t )A (t + τ)=A0 e −βtA0 e−β( t +τ )= e , eβτ = e , τ =1.βτ1=.T βTДекремент затухания – отношение амплитуд колебаний через периодA(t )A0 e −βt∆=== eβ T .−β( t +T )A ( t + T ) A0 e1Логарифмический декремент затухания δ = ln ∆ = β T . Поэтому N e = .δπВеличина Q = πN e = называется добротностью колебательной системы.δkA2 kA0 2 e −2βt=.Энергию колебаний в момент времени t можно определить как W =22−2 β t +TkA0 2 e −2βt kA0 2 e ( ) kA0 2 e−2βtУбыль энергии за один период W1 − W2 =−=1 − e −2βT )(222W1Рассмотрим отношение запасенной энергии к убыли энергии=.W1 − W2 1 − e −2βTПри малом логарифмическом декременте затухания δ = β T << 1 воспользуемся разложением2π1 − e −2βT = 1 − (1 − 2βT + ...) ≈ 2βT .

Учитывая, T =, ω = ω02 − β2 и при малых β ω ≈ ω0ωW11ωQ====.W1 − W2 2β T 2β 2π 2β2π 2πωДля затухающих свободных колебаний добротность характеризует скорость убыванияэнергии при малых затуханиях.Число полных колебаний, совершаемое системой за это время N e =1й курс.

2й семестр. Лекция 63Фазовый портрет свободных затухающих колебаний.Закон колебательного движения x = A0 e −βt sin ( ωt + α ) .Скорость при колебанияхvx = x = −βA0 e−βt sin ( ωt + α ) + ωA0 e −βt cos ( ωt + α )pxИмпульс px = mvx = − mβ A0 e −βt sin ( ωt + α ) + mωA0 e−βt cos ( ωt + α )Так как sin ( ωt + α ) =xp + mβxxи cos ( ωt + α ) = x, то−β tA0 emωA0 e −βt22 x   px + mβ x +=1sin ( ωt + α ) + cos ( ωt + α ) = −β t −β t  A0 e   mωA0 e Фазовая траектория представляет собой сужающуюся к нулевой точке спираль. Вращение происходит по часовой стрелке.Вынужденные колебания.Рассмотрим движение тела в вязкой среде вблизи положения равновесия под действиемквазиупругой силы и некоторой периодической силы F ( t ) = F0 cos ( Ωt + α ) .22Второй закон Ньютона ma = − kx − rv + F ( t ) перепишем в видеx + 2βx + ω02 x = f 0 cos ( Ωt + α )где введены обозначения 2β =Frk, ω02 = , f 0 = 0 . Это уравнение называется уравнением выmmmнужденных колебаний.Решением этого обыкновенного дифференциального уравнения является сумма решенийоднородного и частного решения неоднородного уравнений.Однородное уравнениеx + 2β x + ω20 x = 0является уравнением свободных затухающих колебаний.Yf0Частное решение неоднородного уравненияΩt+αx + 2βx + ω02 x = f 0 cos ( Ωt + α )AB2AB1будем искать в виде x = A cos ( ω t + α ) .

Изобразим уравнениеBωBt+αB0AB3XBBBна амплитудно-векторной диаграмме, на которой величинеω02 xB = ω02 AB cos ( ωB t + α B ) соответствует вектор AB1 , такой чтоAB1 = ω02 AB . Так какπxB = −ωB AB sin ( ωB t + α B ) = ωB AB cos  ωB t + α B +  , то величине2π2β xB = 2βωB AB cos  ωB t + α B +  соответствует вектор AB 2 , повернутый относительно вектора2πAB1 на угол , длина которого AB 2 = 2βωB AB .2Величине xB = −ωB 2 AB cos ( ωB t + α B ) = ωB 2 AB cos ( ωB t + α B + π ) соответствует вектор AB 3 , повернутый на угол π относительно вектора AB1 и AB 3 = ωB 2 AB .В правой части уравнения величине f 0 cos ( Ωt + α ) соответствует вектор f 0 .Уравнению x + 2βx + ω02 x = f 0 cos ( Ωt + α )будет соответствовать векторная суммаAB1 + AB 2 + AB 3 = f 0 .1й курс.

2й семестр. Лекция 6YAB3θf0Ωt+αAB2AB1Так как длины векторов не меняются, то это равенство возможнотолько для случая ωB = Ω . Таким образом, вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы.Из диаграммы следует, что при этом должно выполняться равен2ство f 02 = ( AB1 − AB 3 ) + AB2 2 , поэтому получаем2f 02 = ( ω02 AB − Ω 2 AB ) + ( 2βΩAB ) .ωBt+αB0X42Откуда находим амплитуду вынужденных колебаний:f0AB =.22 22 2( ω0 − Ω ) + 4β ΩОбозначим через θ = α − α B - разность фаз вынуждающей силы и вынужденных колебаний.AB 22βωB AB2βΩИз диаграммы следует, что tg θ =: tg θ = 2= 2.2AB1 − AB 3ω0 AB − ωB AB ω0 − Ω 2Таким образом, при ω0 > Ω получаем, что θ>0 – вынужденные колебания отстают пофазе от вынуждающей силы, а при ω0 < Ω - вынужденные колебания опережают по фазе вынуждающую силу.Следствие.

Под действием периодической силы тело совершает два вида колебаний - свободные затухающие с собственной частотой ω, и вынужденные – с частотой вынуждающей силы.Затухающие с течением времени прекратятся и останутся только вынужденные колебания – ихназывают установившимися.Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды установившихся колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной резонансной частоте системы.Найдем, при какой частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний бу∂ABдет иметь максимальное значение. Для этого найдем экстремум амплитуды:= 0,∂Ω222f 0 Ω ( ω02 − Ω 2 − 2β2 )∂AB1 f 0 2 ( −2Ω ) ( ω0 − Ω ) + 8β Ω=−==0.3232∂Ω222 22 222 22 2( ω0 − Ω ) + 4β Ω( ω0 − Ω ) + 4β Ω(())()Первое решение Ω=0 соответствует постоянной сдвигающей силе и отсутствию вынужденныхколебаний.Второе (ограниченное) решение Ω REZ = ω02 − 2β2 называется резонансной частотой системы.Отсюда вытекает условие возникновения резонанса β <ω0.2Амплитуда колебаний при резонансеf0f0f0AB _ REZ ===.2 2422222 22224βω−4β2βω−2β00( ω0 − ω0 + 2β ) + 4β ( ω0 − 2β )Предельное значение амплитуды вынужденных колебаний при постоянной (сдвигаюfщей) силе (когда Ω=0) – это статическое отклонение на величину A0 B = 02 .ω0A1Рассмотрим отношение B =.A0 B2 222 Ω β Ω1 −    + 4 2    ω0  ω0  ω0 1й курс.

2й семестр. Лекция 6При резонансе оно примет видAB _ REZA0 B=1ββ221− 2 2ω0ω05.Ωи построим графики зависимости амплитуды от частоты для различных знаω0чений параметров. (График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты называется резонансной кривой.).Зависимость резонансной частоты и резонансной амплитуды от параметра затухания0,040,070,10,20,30,4β/ω00,998398718 0,9950880,9899490,9591660,9055390,824621Ω/ω0AB _ REZ12,52004813 7,1781175,0507632,606431,8405251,515848A0 BРезонансная криваяОбозначим x =ABA0 Bβ= 0 , 04ω012108β= 0 , 07ω06β= 0, 2ω04β= 0, 4ω0β= 0 ,1ω0β= 0 ,3ω02x000,20,40,60,811,21,4График зависимости разности фаз от частоты1,61,821й курс. 2й семестр.

Лекция 66θ3β= 0, 4ω02,52β= 0 ,3ω01,5β= 0, 2ω01β= 0 ,1ω0β= 0 , 07ω0β= 0 , 04ω00,5x000,20,40,60,811,21,41,61,82Ширина резонансной кривой ∆Ω R - это интервал частоты, в пределах которого амплитуда колеAбаний отличается от резонансной амплитуды в пределах A ( Ω ) ≥ R . (Или энергия колебаний2отличается не более чем в 2 раза).f0f0Учитывая, что AB _ REZ =и AB =,22 22 22β ω02 − 2β2( ω0 − Ω ) + 4β ΩAB _ REZнаходимИлиAB(ω202(ω− Ω 2 ) + 4β2 Ω 220==2β ω02 − 2β2(ω202− Ω 2 ) + 4β2 Ω 22β ω02 − 2β2.2− Ω 2 ) + 4β2 Ω 2202β ω − 2β2(ω20= 2,2− Ω 2 ) + 4β2 Ω 2 = 2 2β ω02 − 2β2 .2Откуда получаем квадратное уравнение Ω 4 + ( 4β2 − 2ω02 ) Ω 2 + ( ω02 − 4β2 ) = 0 .Дискриминант этого уравнения D = 16β2 ω20 − 48β4 = 16β2 ( ω02 − 3β2 ) .Решение квадратного уравнения(Ω )21,2Так как ( ω − 4β202 2)− ( 4β2 − 2ω20 ) ± 4β=(ω20− 3β2 )= − ( 2β2 − ω02 ) ± 2β2> 0 , то ( Ω2)1,2= ω02 − 2β2 ± 2β(ω20− 3β2 ) > 0 .Откуда находим (только положительные решения)Ω1 = ω02 − 2β2 − 2β(ω20− 3β2 ) и Ω 2 = ω02 − 2β2 + 2β(ω20− 3β2 ) .Поэтому для ширины резонансной кривой получаем∆Ω R = Ω 2 − Ω 2 = ω02 − 2β2 + 2β(ω20− 3β2 ) − ω02 − 2β2 − 2βСледовательно, такой параметр определен при β <ω0.3(ω20− 3β2 ) .(ω20− 3β2 ) .1й курс.

2й семестр. Лекция 6Найдем отношениеΩ REZ=∆Ω RΩ REZпри малом значении β .∆Ω Rω02 − 2β2202ω − 2β + 2βΩ REZ=∆Ω RΩ REZ 2 + 2β7(ω20− 3β2)−20,2ω − 2β − 2β(ω20− 3β2Ω REZ(Ω2REZ− β2 ) − Ω REZ 2 − 2β(Ω2REZ− β2 ))илиΩ REZ Ω REZ≈.∆Ω R2βУчтем, что при малых β выполняется Ω REZ ≈ ω0 ≈ ω , поэтомуΩ REZ Ω REZω2π π≈≈== = Q,2β2β 2βT δ∆Ω Rгде величины ω, δ, Q характеризуют затухающие свободные колебания данной колебательнойсистемы.Рассмотрим также отношениеAB _ REZ1=.A0 Bββ221− 2 2ω0ω0Для малого затухания β:AB _ REZA0≈ω0=Q.2βСледствия.1) Для вынужденных колебаний добротность колебательной системы характеризует резонансные свойства колебательной системы.

Добротность равна отношению резонансной частоты кшироте резонансной кривой (при малом затухании). Отсюдаследует, что чем выше добротность, тем уже («острее») реАВΩзонансная кривая ∆Ω R = REZ .Q2) Добротность при малом затухании также характеризуетАВотношение амплитуды при резонансе к статическому отклонению системы под действием постоянной силой такой же2Aвеличины B _ REZ ≈ Q .A0А0ВΩ∆ΩR.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций