1й_курс_2й_семестр_Лекция_03 (959042)
Текст из файла
1й курс. 2й семестр. Лекция 31Лекция 3. Закон сохранения момента импульса.Момент силы. Момент импульса материальной точки и механической системы. Уравнениемоментов механической системы. Закон сохранения момента импульса механической системы.Математическое замечание.Векторным произведением двух ненулевых векторов a = ( ax ,a y ,az ) и b = ( bx ,by ,bz ) на зывается вектор s = a × b , который в декартовой системе координат определяется по формуле ex e y ezs = ax a y az = ex ( a y bz − az by ) + ey ( az bx − ax bz ) + ez ( ax by − a y bx ) .bx by bz Величина c = a ⋅ b sin α (площадь прямоугольника на векторах a и b ).Свойства векторного произведения. 1) Вектор s направлен перпендикулярно к плоскости векторов a и b . Поэтому для любого вектора d , лежащего в плоскости (линейно независимых) векторов a и b (т.е.
d = λ1a + λ 2b ), получаем c ,d = 0 . Следовательно, если два ненулевых вектора a и b параллельны, то s = a ×b = 0 .d da db2) Производная по времени – это векторa ×b =×b + a ×.dtdtdtДействительно, (базисные векторы постоянные) ex ey ezd dd a ×b =ax a y az =ex ( a y bz − az by ) + ey ( az bx − a xbz ) + ez ( ax by − a y bx ) =dtdtdtbx by bz= ex a y bz + a y bz − a z by − az by + ey a z bx + az bx − a x bz − ax bz + ez a x by + ax by − a y bx − a y bx == ex ( a y bz − a z by ) + ey ( a z bx − a x bz ) + ez ( a x by − a y bx ) + ex a y bz − az by + ey az bx − ax bz + ex e y ez ex e y ez dadb+ ez a xby − a y bx = a x a y a z + ax a y az =×b + a ×dtdtbx by bz bx by bz( )(()()())()((())())Вектор момента импульса Вектором момента импульса относительно точки О называется L = R × p ,где R - радиус-вектор из точки О, p = mv - вектор импульса точки.
ВекторpL направлен перпендикулярно к плоскости векторов R и p . Точку О иногда называют полюсом.LRНайдем производную от вектора момента импульсаdL dR dp=× p + R× .dt dt dtOdR Первое слагаемое в правой части:× p = v × ( mv ) = 0 . Так как в инерциdt1й курс. 2й семестр. Лекция 32dp альной системе отсчета по второму закону Ньютона (в импульсной форме)= F , то второеdt dp слагаемое имеет вид R ×= R× F .dt Величина M O F = R × F называется моментом силы F относительно точки О.( )Окончательно получаем уравнение динамики вращательного движения точки:dL = MO F .dtПроизводная от вектора момента импульса относительно точки равна моменту действующих сил относительно этой точки.( )Свойства момента силы.
1) M O F ⊥ R и M O F ⊥ F .F( )( )R||2) В декартовых координатах ex ey ez M O F = x y z = ex ( yFz − zFy ) + ey ( zFx − xFz ) + ez ( xFy − yFx ) .RR⊥Fx Fy FzOили M O = M Ox + M Oy + M Oz - вектор момента силы относительно точки равен сумме моментов силы относительно координатных осей. 3) Момент суммы сил равен сумме моментов каждой из сил M O ∑ Fi = ∑ M O Fi . i i4) Сумма моментов сил относительно точки ∑i M O Fi = ∑i Ri × Fi при переходе к другой точке О1 , при которой Ri = Ri1 + R1 изменится по правилу ∑i M O Fi = ∑i Ri1 + R1 × Fi = ∑i Ri1 × Fi + ∑i R1 × Fi = M O1 + R1 × ∑i Fi .
Следовательно, момент сил не изменится, если ∑ Fi = 0 .( )( )( )( )()()()i 5) Пусть R = R⊥ + R|| , где R⊥ ⊥ F , R|| || F тогда M O F = R × F = R⊥ × F .( )Следовательно, если две одинаковые силы лежат на одной прямой, то их моменты одинаковые.Эта прямая называется линией действия силы F . Длина вектора R⊥ называется плечом силыотносительно точки О.Момент силы относительно оси.Как следует из определения момент силы, координаты вектора моменты силы относительно координатных осей определяются формуламиM Ox F = yFz − zFy , M Oy F = zFx − xFz , M Oz F = xFy − yFx .( )( )( )Рассмотрим нахождение момента силы относительно некоторой оси z.
Для этого надорассмотреть вектор момента силы относительно некоторой точки О на этой оси и найти проекцию вектора момента силы на эту ось.Свойства момента силы относительно оси z.1) Проекция вектора момента силы на ось z не зависит от выбора точки О. Возьмем на оси z дверазные точки О1 и О2 и найдем моменты силы F относительно этих точек. M 1 = R1 × F , M 2 = R2 × F .1й курс.
2й семестр. Лекция 3zM2zFR2M2O2R213 Разность векторов M 1 − M 2 = R1 − R2 × F перпендикулярна вектору R1 − R2 = R21 , лежащему на оси z. Следовательно, еслирассмотреть орт оси z – вектор k , то проекции на ось z M 1z − M 2 z = M 1 ,k − M 2 ,k = M 1 − M 2 ,k = 0(()) () ()равны между собой. Следовательно, момент силы относительноосиопределен однозначно.M1R1Если момент силы относительно некоторой точки на оси раO1вен нулю, то равен нулю момент силы относительно этой оси.2) Если вектор силы F параллелен оси z, то момент силы относительно оси равен нулю M z = 0 . Действительно вектор момента силы относительно любойточки на оси должен быть перпендикулярен вектору силы, поэтому он также перпендикуляренпараллельной оси – проекция вектора момента силы на эту ось будет равна нулю.
Следователь но, если F = F⊥ + F разложение вектора силы на компоненту F параллельную оси, и компоненту F⊥ , перпендикулярную оси, тоM z F = M z F + M z F⊥ = M z F⊥ .M1z( )( )( )( )3) Если вектор силы и ось не параллельны, но лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен нулю. Действительно, в этом случае вектор момента силы относительнолюбой точки на оси направлен перпендикулярноzэтой плоскости (т.к. вектор R тоже лежит в этойFплоскости). Можно сказать и иначе. Если рассмотретьточку пресечения линии действия силыlπОи прямой z, то момент силы относительно этойF⊥ Аточки равен нулю, поэтому и момент силы относительно оси равен нулю.MkИтак, чтобы найти момент силы F относительно оси z, надо:1) найти проекцию силы F⊥ на любую плоскость π перпендикулярную этой оси и указать точку О - точку пересечения этой плоскости с осью z;2) найти плечо силы F⊥ относительно оси – т.е.
расстояние от линии действия силы l (вплоскости π) до прямой z – длину отрезка ОА;3) найти величину момента силы M k = F⊥ ⋅ OA и направление по правилу правого винта(буравчика).Правило правого винта в данном случае: вектор момента силы вдоль оси направлен так, чтовектор F⊥ задает вращение в плоскости π вокруг точки О по часовой стрелке.4) Если на оси z указано положительное направление (говорят, что ось ориентирована), тоуказать знак проекции момента силы.Момент импульса механической системы.Рассмотрим суммарный момент импульса системы относительно некоторой точки О. L = ∑ Li = ∑ Ri × piii При переходе к другой точке О1 радиус-векторы точек системы преобразуются Ri = R1i + R1 ,поэтому1й курс.
2й семестр. Лекция 34 L = ∑ R1i + R1 × pi = ∑ R1i × pi + R1 × pi = ∑ R1i × pi + R1 × ∑ pi iii i Суммарный импульс системы равен импульсу центра масс ∑ pi = pCi L = L1 + R1 × pC .В системе отсчета, где центр масс системы покоится pC = 0 , суммарный момент импульса независит от точки, относительно которой он вычисляется.Если рассматривается движение твердого тела, то возможное движение в этом случае –это вращение вокруг центра масс.
В этом смысле момент импульса описывает вращательноедвижение.Найдем производную от суммарного момента импульса dpi dL= ∑ Ri ×= ∑ Ri × Fi .dtdtiiСилы, действующие на точки системы, разделим на внутренние, действующие между точками системы и внешние – со стороны тел, не входящих в систему: Fi = Fi ВНУТР + Fi ВНЕШ . dL= ∑ Ri × Fi ВНУТР + Fi ВНЕШ = ∑ Ri × Fi ВНУТР + ∑ Ri × Fi ВНЕШ .dtiiiВнутренние силы подчинятся третьему закону Ньютона - они лежат на прямых линиях, попарносоединяющих точки, противоположны по направлению и одинаковы по величинеFi ВНУТР = − Fj ВНУТР .Для каждой из таких пар сил можно ввести одинаковое плечо Rij ⊥ , поэтому ∑ Ri × Fi ВНУТР = ∑ R⊥ij × Fi ВНУТР + R⊥ij × Fj ВНУТР = ∑ R⊥ij × Fi ВНУТР + Fj ВНУТР = 0 .()(())(i)(i)iОкончательно dL= ∑ Ri × Fi ВНЕШ = ∑ M O Fi ВНЕШ .dtiiУравнение динамики вращательного движения системы точек dL= ∑ M O Fi ВНЕШ .dtiПокоординатное равенствоdLydLxdLz= ∑ M Ox Fi ВНЕШ ,= ∑ M Oy Fi ВНЕШ ,= ∑ M Oz Fi ВНЕШ .dtdtdtiiiПроизводная от вектора суммарного момента импульса системы равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему.((()))()()Момент импульса твердого тела.Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью ω.
Выделим в теле малую частицу массой ∆mi. Найдем момент импульса этой частицыотносительно некоторой точки О на оси вращения. Если радиус-вектор точки ri , а вектор им пульса pi , то вектор момента импульса Li = ri × pi приложен к точке О и направлен перпендикулярно к векторам ri и pi под некоторым углом βi к оси z. Траекторией частицы ∆mi являетсяокружность, а вектор импульса pi направлен по касательной к этой окружности. Следовательно, угол между векторами ri и pi равен 900. Поэтому величина Li = ri pi .
Пусть ri ⊥ - радиус ок-1й курс. 2й семестр. Лекция 3ружности – траектории частицы. Тогдаpi = ∆mi vi = ∆mi ⋅ ri ⊥ ω . Рассмотрим проекцию вектора момента импульса на ось z: Liz = Li cos βi .zУчитывая, что cos βi = sin αi , получаем:Liz = ri pi cos βi = ri ∆mi ⋅ ri ⊥ ω sin αi . Но ri ⊥ = ri sin αi .ТогдаLiz = ∆mi ⋅ ri ⊥ 2 ωДля всего телаLz = ∑ Liz = ∑ ∆mi ⋅ ri ⊥ 2 ω = ω∑ ∆mi ⋅ ri ⊥ 2 .piri⊥∆miiβiLi5iiВ выражение входят параметры движениячастиц, которые не зависят от положения точки О.Поэтому величина момента импульса вдоль оси zне зависит от положения точки на оси, для которойона вычисляется.В этом выражении величинаI z = ∑ ∆mi ⋅ ri ⊥ 2αiriOiназывается моментом инерции твердого тела относительно оси z (единица измерения кг⋅м2).Для сплошных телI z = ∫∫∫ r⊥ 2 dm .mУравнение динамики вращательного движениятвердого тела вокруг неподвижной оси.Момент импульса твердого тела при вращательном движении вокруг оси z вычисляетсякакLz = I z ω .Тогда уравнение динамики:dLz d= ( I z ω) .dtdtЕсли тело твердое, то I z = const , поэтому, с учетом того, чтоdω= ε (угловое ускорение), полуdtчаемI z ε = M zВНЕШЭто уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси: угловое ускорение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси прямо пропорционально величине момента внешних сил относительно этой оси.
Момент инерции играетроль меры инертности при вращательном движении.Примеры на вычислении момента инерции.1) Момент инерции тонкого кольца (прямого цилиндра) массы m и радиуzса R относительно оси z, перпендикулярной плоскости кольца, проходящей через центр кольцаI z = ∑ ∆mi ⋅ ri ⊥ 2 = R 2 ∑ ∆mi = mR 2 .ii2) Момент инерции диска (сплошного цилиндра) массы m и радиуса R относительно оси z, перпендикулярной плоскости диска, проходящей черезцентр диска (сплошного цилиндра).Выделим тонкий цилиндр радиусом r и толщиной dr.rdr1й курс. 2й семестр.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
