1й_курс_2й_семестр_Лекция_01 (959040), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Так длина вектора не может быть отрицательной, то производная от длины пути тоже не может быть отрицательной – это значит, что длина пути не убывает:V = V = L ( t ) ≥ 0 .Таким образом, перемещение точки за интервал времени (в декартовой системе координат)t2t2t2t2 t2 ∆R = ∫ vdt ⇔ ∆x = ∫ v x dt, ∆y = ∫ v y dt , ∆z = ∫ v z dt . Длина пути L = ∫ v dt .t1t1t1t1t11й курс.

2й семестр. Лекция 1Ускорение.В общем случае вектор скорости V тоже зависит от времени, т.е. его координаты являютсяфункциями времени V = ( VX (t); VY (t); VZ (t) ) , следовательно, по аналогии с вышеизложеннымможно ввести вектор среднего ускорения и вектор мгновенного ускорения, равный мгновенному изменению вектора скорости – он называется вектором ускорения a = V′ ( t ) , компоненты которого определяются равенствамиax = v x , a y = v y , az = v z .4Единицы измерения величины ускорения м/с2.В дальнейшем будут рассматриваться только гладкие траектории, а именно – такие траектории, у которых движение точкиописывается непрерывно дифференцируемыми функциями.

В частности, среди них не могут быть такие у которых касательная неопределена однозначно!Движение по прямой (прямолинейное движение).Движение с постоянной скоростью.Если величина вектора скорости точки не меняется, то длина пути вычисляется какL = V ⋅ ( t - t 0 ) , где t0 – начальный момент отсчета времени.Пусть теперь постоянно направление вектора скорости. В этом случае траектория точки лежит на прямой линии. Всегда можно таким образом ввести систему координат, чтобы этойпрямой являлась, например, ось Х. Тогда во все моменты времени остальные координаты Y=0 иZ=0.

Вектор скорости должен касаться траектории, поэтому он также лежит на этой прямой и длянего также VY=0, VZ=0. Таким образом, при прямолинейном движении радиус-вектор описываетсяодной координатой Х(t), R = ( X(t); 0;0 ) ; вектор скорости одной координатой VX(t),V = ( VX (t);0; 0 ) и ускорение тоже одной координатой aX(t), a = ( aX (t); 0; 0 ) . Поэтому в данномслучае можно не использовать векторное представление, а только числовое – рассматривая толькосоответствующую координату. О направлении вектора можно судить по знаку координаты - есликоордината соответствующего вектора положительная, то вектор направлен в положительном направлении оси Х. Тогдаttt0t0∆x = ∫ v x dt , ∆v x = ∫ ax dtВ частном случае равноускоренного (равнопеременного движения) ax = const2a ⋅ ( t − t0 )x = x0 + v0 x ⋅ ( t − t0 ) + x2v x = v 0 x + a x ⋅ ( t − t0 ) ,где x0, v0x – значения координаты и скорости в начальный момент времени t=t0.В общем случае движения с постоянным ускорением можно записать2a ⋅ ( t - t0 )vX=v0X + aX⋅(t-t0), x = x 0 + v0X ⋅ ( t - t 0 ) + X,22aY ⋅ ( t - t 0 )vY=v0Y + aY⋅(t-t0), y = y0 + v0Y ⋅ ( t - t 0 ) +,22aZ ⋅ ( t - t 0 )vZ=v0Z + aZ⋅(t-t0), z = z 0 + v0Z ⋅ ( t - t 0 ) +.2или, в векторной форме1й курс.

2й семестр. Лекция 152 ( t - t0 ) R = R 0 + v0 ⋅ ( t - t 0 ) + a ⋅, v = v0 + a ⋅ ( t - t 0 ) .2траекторией тела может быть прямая или парабола, в зависимости от начальных условий.Закон сложения скоростей и ускорений.При описании движения точки все системы отсчета является равноправными. Рассмотримкак преобразуются кинематические величины при переходе от одной системы отсчет к другой.Ограничимся системами отсчета, которые движутся друг относительно друга поступательно.Положение некоторой точки А можно задать в системе отсчета 1 радиус-вектором R1 , всистеме отсчета 2 – радиус-вектором R2 . Если задан вектор, задающий положения начала отсчетодной системы отсчета относительно другой, то R2 = R1 + R21Тогда получаем уравнения связи для скоростей и ускорений v 2 = v1 + v 21 , a2 = a1 + a21 ,dR21 da21где v 21 =, a21 =- векторы скорости и ускорения второй системы отсчет относительноdtdtпервой.Системой отсчета, сопутствующей данной точке называется такая система отсчета, в которой вектор скорости данной точки является нулевым (т.е.

точка покоится в данной системе отсчета).Пример. Сопутствующей системой отсчета для водителя автомобиля является система, связаннаяс автомобилем, так как в этой системе отсчета водитель покоится.♣Математические сведенияСкалярное произведение двух векторов a = ( ax ,a y ,az ) и b = ( bx ,by ,bz ) в декартовой системе координат вычисляется как a,b = ax bx + a y by + az bz . С другой стороны a,b = a ⋅ b cos α в любой системе координат.( )( )Выводы из этих формул.1) Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то этивекторы перпендикулярны друг другу.2) Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины 2 ( a,a ) = a , откуда для длины вектора a = ( a,a ) .3) Определимединичныйвекторнаправлениядлялюбоговектораbкак вектор bτb = .

Он не зависит от длины вектора b , а зависит, только от его направлеbaαbAz1R1z2R2R12y1x1y2x2ния. Причем длина этого вектора равна единице: b b  τb = ( τb , τb ) =  ,  = 1 .b b Чтобы найти проекцию вектора a на вектор b , надонайти проекцию на его направление  a,b b( a )b = a ⋅ cos α = =  a,  = ( a, τb ) . b b4) Если вектор непрерывно меняется в зависимостиот какого-то параметра, то этот вектор можно диф-( )1й курс.

2й семестр. Лекция 16ференцировать по этому параметру. Пусть, например, координаты вектора зависят от времениdaa = ( ax ( t ) ,a y ( t ) ,az ( t ) ) , тогда вектор c , координаты которого определяются равенствами cx = x ,dtda yda y dacy =, cx =называется производным от вектора a , т.е. c =.dtdtdt5) Производная от скалярного произведения двух векторовda ydbydaxdbxd ddazdbz  da   db a,b = ( ax bx + a y by + az bz ) =bx +by +bz + ax+ ay+ az=  ,b  +  a, dtdtdtdtdtdtdtdt  dt   dt d 2d  da В частности,a = ( a,a ) = 2  ,a  .dtdt dt 6) Если длина вектора a = const не меняется, но сам вектор не постоянен a ≠ const , то получаем,2d 2  da что из условия a = const вытекаетa =  ,a  = 0 , т.е. эти векторы ортогональны другdt dt da другу:⊥ a .

В некоторой системе координат вектор a вращается вокруг своего начала.dtdaнаправлен по касательной кВ этом случае конец вектора a описывает окружность, а векторdtda этой окружности в сторону поворота a и, очевидно,⊥a.dtДвижение точки на плоскости.Если траектория точки лежит в плоскости, то такое движение называется «плоским». Вэтом случае векторы скорости и ускорения также лежат в этой плоскости для любого моментавремени.Рассмотрим сопутствующую систему отсчета (эта система отсчета движется вместе с точкой).

Тогда вектор ускорения можно представить в виде суммы двух векторов - вектора a t , параллельного вектору скорости и вектора an , перпендикулярного вектору скорости a = at + an .Вектор ускорения at называется тангенциальным или касательным ускорением, а вектор ускорения an называется нормальным (перпендикулярным) ускорением.vВведем единичный вектор для направления скорости τv = .

Этот вектор направлен по каvсательной к траектории в ту же сторону, что и вектор скорости. Тогда для ускорения должно быть d v a=v=τv + v τ v .dtВ этом выражении первое слагаемое определяет вектор, параллельный вектору скорости, а второе d vτv и an = v τ v .– перпендикулярный (так как τv ⊥ τv ), поэтому at =dt d vВектор at =τv (тангенциальное или касательное ускорение) отвечает за изменение моdtдуля вектора скорости. Проекция на касательное направлениеd v d v .( at )v = ( at , τv ) =( τv , τv ) =dtdtЕсли модуль (длина) вектора скорости увеличивается, то величина проекции на касательноенаправление вектора ускорения положительная и at направлен в ту же сторону, что и вектор скорости v . И наоборот - если модуль вектора скорости уменьшается, то вектор касательного ускорения направлен против вектора скорости.( )( )( )1й курс. 2й семестр.

Лекция 17 Вектор нормального ускорения an = v τv направлен в ту же сторону, что и вектор τv , т.е. всторону поворота вектора скорости, следовательно, он отвечает за изменение направления вектораскорости.Для того чтобы получить явную формулу для величины нормальyного ускорения рассмотрим движение точки по окружности радиуса R.vПусть окружность лежит в плоскости z=0. Радиус-вектор точки на окружRности R = ( R cos α ,R sin α , 0 ) . Вектор скорости точкиα v= R = ( −α ⋅ R sin α ,α ⋅ R cos α ,0 ) , вектор ускорения точкиx ⋅ R sin α − α 2 ⋅ R cos α , α ⋅ R cos α − α 2 ⋅ R sin α , 0 )a = v = ( −αВведем обозначения:dαназывается угловой скоростью (единица измерения 1/с),dtd 2α- касательным ускорением называется величина ε = 2 (единица измерения 1/с2).dtТогда v = ( −ωR sin α ,ωR cos α ,0 ) и величина скоростиv = ω R.

RРассмотрим проекцию вектора ускорения на единичный вектор τR = = ( cos α ,sin α , 0 )R Так как ( a, τR ) = ( aτ + an , τR ) = ( an , τR ) , где( an , τR ) = ( −α ⋅ R sin α − α 2 ⋅ R cos α ) cos α + ( α ⋅ R cos α − α 2 ⋅ R sin α ) sin α( an , τR ) = −α 2 ⋅ R cos α cos α − α 2 ⋅ R sin α sin α = −ω2 ⋅ R , то2v2.an = ω R =RТак как вектор скорости поворачивается к центру окружности, то вектор нормального ускорениянаправлен перпендикулярно вектору скорости к центру окружности (поэтому его часто называютцентростремительным ускорением).v ωНайдем величину касательного ускорения. Так как τv = = ( − sin α ,cos α ,0 ) иv ω aτ = ( a, τv ) = ( aτ + an , τv ) = ( aτ , τv ) , то- величина ω =aτ =ωωsin α ( ε ⋅ R sin α + ω2 ⋅ R cos α ) + ( ε ⋅ R cos α − ω2 ⋅ R sin α ) cos α или aτ = ε ⋅ R , поэтомуωω()aτ = ε ⋅ R .К любой гладкой кривой можно в каждой точке построить не только единственную касательную прямую, но единственную касательную окружность.

Поэтому при произвольном плоскомдвижении точки вектор нормального ускорения направлен к центру этой касательной окружности. Для модуля вектора нормального ускорения можнонаписать формулу:Rv2an =.RЗдесь v2 – квадрат модуля вектора скорости, R – радиус кривизны траекториив данной точке (радиус окружности, которая касается траектории в даннойточке).Величина скорости, длина пройденного пути определяются только касательным ускорением точки. О кривизне плоской траектории можно судить по нормальному ускорению точки. Если1й курс. 2й семестр. Лекция 18«не обращать внимание» на нормальное ускорение, то движения по прямой линии и по гладкойкривой неразличимы.

В этом смысле при вращательном движении с постоянным касательнымускорением at=const можно в качестве координаты взять длину дуги:a ⋅ t2S = V0 ⋅ t + t2илиR ⋅ ε ⋅ t2R ⋅ (ϕ - ϕ0 ) = R ⋅ ω 0 ⋅ t +.2Здесь принято, что t0=0, ω0 – угловая скорость в начальный момент времени.Таким образом, при вращательном движении с постоянным угловым ускорением можно написатьформулу:ε ⋅ t2ϕ = ϕ0 + ω 0 ⋅ t +2Соответственно, для угловой скорости ϕ′(t) = ωω = ω0 + ε ⋅ t .Частный случай – вращение с постоянной скоростью.При движении по окружности с постоянной скоростью касательное ускорение равно нулю.Угловая скорость остается постоянной ω=ω0, следовательно, и угловое ускорение равно нулю. Тогда угловая координата меняется по законуϕ = ϕ0 + ω⋅ ( t − t0 ) .Одному полному обороту соответствует ϕ − ϕ0 = 2π .

Время одного оборота называется ПЕРИОДОМ T=t-t0. Отсюда2π2π = ω⋅ T , откуда ω =Tили2πT=.ωЗамечание. Последняя формула может быть получена и другим способом. При движении по окружности длина пути за один оборот равна L = 2πR , а величина скорости v = ω⋅ R . Если скоростиL 2πR 2π=постоянная, то T = =.v ωRω1Величина ν = называется частотой вращения и измеряется в Герцах (Гц). Частота враTщения – это количество оборотов в секунду.

Тогда угловая скорость выражается через частоту:ω = 2πν .Поэтому иногда угловую скорость вращения называют циклической частотой вращения.Очень часто скорость вращения задают в количествах оборотов в минуту - n (об/мин).n πnСвязь частоты и скорости вращения ω = 2πν = 2π =.60 30.

Характеристики

Список файлов лекций