Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Пример 12 (задача Бюффона). Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние 2а. На плоскость наудачу бросается тонкая игла длиной 21 (1 < а) Найдем вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую (рис. 6). Для этого прежде всего решим, что в данном случае соответствует понятию «наудачу». Ясно, что если игла бросается с достаточной высоты и ее начальное положение случайно, то под словом «наудачу» естественно подразумевать следующее: во-первых, центр иглы наудачу попадет на отрезок длиной 2а, во-вторых, угол р между иглой и прямой равномерно распределен на (О,к) и, в-третьих, на величину угла 39 3.
Геомешрическая еерояшность ,1 * а Рис. 7 Рис б не влияет расстояние от центра до прямой Поэтому изобразим результат бросания точкой с координатами (р, м), лежащей внутри прямоугольника со сторонами я и а (рис. 7), где л — расстояние от центра иглы до ближайшей прямой. Из рис. 6 видно, что пересечение иглы с прямой происходит тогда и только тогда, когда т < (в!нш. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной области А к площади прямоугольника: Р(А) = — ~ (и!и!с с!р = —.
1 Г, 2! атг ея о Задача Бюффона может быть использована для экспериментального определения числа х. Так, Вольф (Цюрих) бросал иглу 5000 раз и получил 2532 пересечения с прямыми; при этом 2а = 45 мм, 2! = 36 мм. Заменяя теперь Р(А) частотой пересечения прямых 7" = 2532/5000 = 0,5064, получаем эмпирическое значение числа я: к = = 3,!596. 2! оу Более точное определение числа я таким путем вряд ли возможно, поскольку, с одной стороны, здесь влияют физические особенности опыта (толщина иглы, неточность при определении факта пересечения н т.
д.), с другой стороны, как мы увидим дальше, необходимо производить очень большое число испытаний. !3 Глава 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА Одним из основных понятий при аксиоматическом построении теории вероятностей является понятие условной вероятности.
Именно условная вероятность оценивает то изменение в степени уверенности о наступлении некоторого события, которое происходит после получения дополнительной информации С помощью условной вероятности определяется независимость событий, формализующая понятие не связанных между собой опытов. Использование условной вероятности в ряде случаев позволяет существенно упростить решение задачи (формулы умножения вероятностей, полной вероятности и Байеса). 1. Условная вероятность Рассмотрим два события А и В. Пусть известно, что событие А наступило, но неизвестно, какой конкретно нз элементарных исходов ьг, составляющих событие А, произошел.
Что можно сказать в этом случае о вероятности наступления события В? Пример 1. Событие Л вЂ” выпадение четного числа очков на игральной кости, событие  — выпадение нечетного числа очков. Поскольку события Л и В несовместны, то при наступлении события А событие В уже не может произойти и ему естественно приписать условную вероятность 0 С1 При мер '2. Событие А — выпадение 4 или 6 очков на игральной кости, событие  — выпадение четного числа очков.
Так как событие А принадлежит событию В, то при наступлении события А событие В обязательно произойдет, т е. событие В имеет условную вероятность 1 гз П р и м е р 3. Событие А — выпадение четного числа очков на игральной кости, событие  — выпадение не менее 5 очков Если событие А наступило, то произошел один из трех элементарных исходов: выпало 2, 4 или 6 очков. Но из этих трех исходов только один исход гвыпадение «шестерки») влечет за собой появление события В. В соответствии с принципом классической вероятности в данном случае естественно определить условную вероятность события В числом 1г3. Заметим, что в этом примере условная вероятность появления события В совпадает с безусловной Из приведенных примеров видно, что условная вероятность может как совпадать с безусловной вероятностью, так н быть меньше нлн больше нее.
Саму же условную вероятность Р1В А) события В при условии события А в рамках классической схемы естественно определить как отношение числа исходов пала, благоприятных для 41 А Условная вероятность совместного осуществления событий А и В, к числу исходов тд, благоприятных для события А, т.е. лв Поделим теперь числитель и знаменатель полученного выражения на общее число и, элементарных исходов: гпА В Р(В ~ А) и Последняя формула уже может служить общим определением условной вероятности при аксиоматическом подходе.
Итак, условной вероятностью события В при условии события А (Р(А) ф 0) называется отношение вероятности пересечения собгятий А и В к вероятности события А: Р(В!А) = Р(А) Нетрудно видеть, что условная вероятность обладает всеми свойствами безусловной вероятности. Так, Р(П!А) = — 1, Р(о!А) =-О, Р(С-сВ ~ А) = Р(С!А)+Р(В А).
Иногда бывает полезным равенство Р(В!А) = 1 — Р(В!А), вытекающее из соотношения ! = Р(П~А) = Р(В+В ~ А) = Р(В!А)+ Р(В~А). Пример 4. При переписи населения Англии и Уэльса в !891 г. оказалось, что темноволосые отцы и темноволосые сыновья составляют 5% обследованных, темноволосые отцы н светловолосые сыновья — 7,9%, светловолосые отцы и темноволосые сыновья — 8,9%, светловолосые отцы и светловолосые сыновья — 78,2%.
Найдем условные вероятности рождения светловолосого сына у темноволосого и светловолосого отцов. Пусть событие А означает, что в случайно выбранной паре отеп-сын светловолосым является отец, событие В— светловолосый сын. Тогда событие Л вЂ” темноволосый отец, собьпие В— темноволосый сын и из результатов переписи следует, что Р(АВ) = 0,05, Р(АВ) = 0,079, Р(АВ) = 0,089, Р(АВ) = 0,782. Поэтому Р(А) = Р(АВ) + Р(АВ) = 0,871, Р(А) = 0,129, и условная вероятность у темноволосого отца родиться светловолосому сыну Р(В!А) = = ' = 0,812, Р(Л) О,!29 а у светловолосого— Р(В ~ А) = = * .= 0,898.
Р(А) 0,871 42 «л. 3. Условная вероятность. Независимость событий Пример 5. При трехкратном подбрасывании симметричной монеты выпало два «герба» (событие Л). Определим условную вероятность того, что при втором подбрасывании выпал «герб» (событие В). В этом случае событие ЛВ состоит в выпадении двух «гербов», один из которых выпал при втором подбрасывании, т.
е. содержит тлв = 2 элементарных исходов: «герỠ— «герб»-«цифра» и «цифра»-«герб»-«герб», Поскольку всего у нас и = 8 элементарных исходов и мы находимся в рамках классической схемы, то Р(АВ) =- 1«»4. Аналогично, событию А благоприятствуют 3 исхода, и Р(А) =- 3,»8. Итак, искомая вероятность (В Л) Р(ЛВ) 2 С1 Р(Л) 3 При мер б Электрон может быть с вероятностью О,б обнаружен на одной из четырех орбит атома, причем с равной вероятностью — на любой из них, и с дополнительной вероятностью 0,4 не обнаружен вообще.
На первых трех орбитах электрон не обнаружен (событие А) Найдем вероятность обнаружить его на четвертой орбите (собьпие В) при этом условии. Поскольку вероятность обнаружить электрон на каждой орбите равна 0,6««4 = 0,15, то вероятность не обнаружить электрон на первых трех орбитах Р(А) = 1 — 3 0,15 = 0,55. Событие А — электрон не обнаружен на первых трех орбитах и обнаружен на четвертой орбите — совпадает просто с событием  — электрон находится на четвертой орбите и имеет вероятность Р(АВ) = Р(В) = 0,15. Искомая вероятность, равная условной вероятности события В при условии события А, в этом случае имеет вид Р(В) А) = Р(В)/Р(А) = 3/11. С1 2. Формула умножения вероятностей На практике часто происходит так, что известны или достаточно просто определяются именно условные вероятности и с их помощью необходимо вычислить безусловную вероятность некоторого события.
Простейшей формулой для решения задач такого типа является формула умножения вероятностей. Пусть имеются события Аы Аз,...,А„. Тогда, используя понятие условной вероятности, можно написать Р(А„~А~Аз...А„— ~) Р А А А ( 1 а.. и — 1) или, умножая на Р(А|Аз...А„|), Р(.4П4з... Ав) = Р(А1Аз... А„1) Р(А„~ А~Аз... А, 1). Аналогичным образом Р(А1Аз...А„1) =- Р(А1Аз...А„з) Р(Ан 1 А|Аз...Ап в).
Продолжая эту процедуру, получаем Р(А~Аз "А ) = Р(А1)Р(Аз~А1)Р(Аз~А|Аз)" Р(А ~А1Аз А — 1). Последнее соотношение носит название формулы умножения вероят- ностей. 2. Формула умножения еерояглносо!ей 43 Пример 7. На 7 карточках написаны буквы л, л, о, о, о, т, ш. Из них последовательно выбираются 4 и кладутся слева направо. Найдем вероятность того, что в результате образуется слово «лото» (событие Л). Это — задача на классическую вероятность, и ее можно было бы решить стандартным образом, вычисляя общее число элементарных исходов и число благоприятных для события Л исходов. Однако гораздо проще воспользоваться формулой умножения вероятностей.
Введем события: А! — на первой вынутой карточке написана буква л, л(а — на второй — буква о, Лз — на третьей — буква т и А!в на четвертой — буква о. Тогда событие А представляет собой пересечение событий Л!, Ла, Лз и Аз и по формуле умножения вероятностей Р(А) =. Р(А!АаЛзА!) = Р(Л!) Р(Л ! Л!) Р(21з ) Л!Лз) Р(Л4 А!АаЛз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
