Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 8
Текст из файла (страница 8)
равно ( ) . Пусть событие А — заняты фиксированные и и ячеек ()г < и). Тогда оставшиеся т — )г ячеек должны быть заполнены 1 иг — йт и — й частицами, а это можно сделать ( ) способами. Поэтому (,п — й) Р(А) =- ( ) г ( ). Статистике Ферми — Дирака подчиняются алеки †п троны, протоны и нейтроны. Статистика Максвелла-Больцмаиа. Предполагая, что и различных частиц распределяются по т, ячейкам без ограничений на число попавших в каждую ячейку частиц, получаем статистику Максвелла— Больцмана. Поскольку каждая из п частиц может попасть в любую из т ячеек, то общее число элементарных исходов равно т".
Событие А заключается в том, что в первую ячейку попало п| частиц, во вторую пз частиц,..., в т-ю и,„, частиц (п1+ ... + п = и). Число благоприятных для события А исходов подсчитаем следующим образом. В первую ячейку могут попасть любые п1 частиц из и имеющихся первоначально. Поскольку порядок выбора частиц несуществен, Гпт то это можно сделать ( ) способами. Как только первая ячейка (,п1) заполнена, у нас остается и, — и~ частиц, и вторую ячейку мы можем /и — п~ Х заполнить ( ) различными способами. Продолжая эту процедуру из ) и используя основную формулу комбинаторики, получаем, что число благоприятных событию А способов равно и! (п — п1)! (и — п1 — ...
— пы ~)! и! п1! (и — п~)! пз! (и — п1 — пз)1 и...! О! п|! из! .., и„,! Таким образом, Р(А) = пйп:! ..и ! т" Отметим, что статистика Максвелла-Больцмана представляет собой частный случай так называемой полиномиальной схемьп которую мы рассмотри в параграфе 7 гл.4. Статистике Максвелла — Больцмана подчиняется идеальный газ. При м е р 8. Поток из 4 частиц поступает в счетчик, состоящий из трех датчиков.
Каждая частица с одинаковой вероятностью может попасть в одни и только один нз этих датчиков. Поток считается зарегистрированным, если он отмечен хотя бы двумя датчиками Найдем вероятность события А, 36 Гл. 2. Классическая и геометрическая еероятности заключающегося в том, что поток будет зарегистрирован. Удобно перейти к дополнительному событию А, которое происходит тогда и только тогда, когда все 4 частицы попадают либо в первый, либо во второй, либо в третий датчик.
Но вероятность всем 4 частицам попасть в первый датчик определяется статистикой Максвелла-Больцмана, причем п = 4, гп = 3, п| = 4, пе = О, пз =- О. Учитывая, что вероятность попадания всех 4 частиц во второй и третий датчики точно такая же, как и в первый, получаем Р(А) =3 — 4. и Р(А) = 1 — 17'27 = 267'2?. 3.
Геометрическая вероятность Пусть теперь рассматривается непрерывная вероятностная схема, т.е. пространство элементарных исходов представляет собой некоторую ограниченную область (отрезок, многоугольник, круг, параллелепипед, шар и т.п.) й-мерного пространства (прямой, плоскости, трехмерного пространства и т.д.). Естественно желание обобщить принцип равновероятности элементарных исходов классической вероятности и на эту схему. Однако в непрерывном случае число элементарных исходов бесконечно и, воспользовавшись принципом равновероятности, мы не смогли бы приписать каждому элементарному исходу иной вероятности, кроме нуля.
Поэтому подойдем к определению геометрической вероятности по-другому. Рассмотрим сначала отрезок (0,1) и предположим, что идеальная частица равномерно бросается на этот отрезок. Понятию равномерности придадим следующий смысл. Каждому отрезку (а, Ь) (О < о, < Ь < 1), независимо от его расположения, поставим в соответствие одинаковую вероятность попадания частицы на этот отрезок, равную его длине: Р(а,Ь) 1= Ь вЂ” а, а затем эту вероятность попытаемся с помощью трех аксиом Р!, Р2 и РЗ' продолжить на любое подмножество точек отрезка (0,1). Очевидно, что вероятность попадания частицы в любую точку т равна нулю, вероятность попадания на любой интервал (а, Ь) или полуинтервал (а, Ь1, (а, Ь) (на отрезке 10, 1)) равна Ь вЂ” а, вероятность попадание в любое множество точек на отрезке (О, 11, состоящее из конечного и даже счетного объединения непересекающихся отрезков, интервалов и полуинтервалов равна сумме их длин, т.е, «длине», или лучше сказать, мере этого множества.
В частности, вероятность попадания частицы в множество рациональных точек равна нулю. Однако, как уже говорилось, имеется препятствие к такому продолжению, связанное с существованием подмножеств, которым разумным образом с сохранением трех аксиом вероятность мы никак не сможем приписать. Поэтому приходится ограничиваться только элементами борелевской а-алгебры З, порожденной всевозможными интервалами (т.е. подмножествами, имеющими меру), что, впрочем, более чем достаточно для практических потребностей.
37 3. Геометрическая вероятность В общем случае геометрическая вероятность определяется совершенно аналогично. Пусть й — некоторая область, имеющая меру р(й) (длину, площадь, объем н т.д.), такую, что 0 < р(й) < ж. Скажем, что точка равномернгям образом попадает в й (реализуется принцип геометрической вероятности), если вероятность Р(А) попадания ее в каждую область А, являющуюся подобластью й, пропорциональна мере этой области р(А) или в силу аксиомы нормированности П ри м е р 9. В круг радиусом В = 1 равномерно бросается точка Найдем вероятность события А, заключающегося в попадании этой точки в круг радиусом г = 1/2 с тем же центром (рис. 2).
Рассмотрим два способа решения этой задачи: 1) вероятность Р(Л) определяется как отношение площади внутреннего круга к площади внешнего: Р(Л) = хга 1 ««Пв 4 2) заметим, что в силу принципа геометри- и— ческой вероятности как угол:р, так и расстояние р от точки ь« до центра О должно быть Рис 2 распределено равномерно. Поскольку точки, равноотстоящие от центра, все либо одновременно принадлежат меньшему кругу, либо нет, то вероятность попадания в этот круг равна отношению радиусов: Р(А) = г,ГВ = 1/2.
Итак, мы получили в одной и той же задаче два разных ответа. Причина кроется в том, что понятие геометрической вероятности не инвариантно относительно преобразований рассматриваемой области й. В частности, в нашем примере при втором способе решения мы считаем, что равновероятно попадание точки в области Л~ и Лв, заштрихованные на рис.3. Но с точки зрения обычного понятия плошади, используемого при первом способе решения, это не так.
Значит, вероятность существенно зависит от способа определения "",,Ф''Ч понятия «равновероятно» или, иными словами, от того, как мы задали меру р(А). Именно на неинва— — — риантности понятия геометрической вероятности от< носительно преобразований основаны многочисленные парадоксы, часто приводимые в различных учебниках. Возвращаясь к рассматриваемому примеру, отме- тим, что в приведенной постановке задачи предпоРис 3 чтительным нужно считать первый способ. Однако не следует думать, что второе решение относится к числу математических фокусов. Представляемая этим решением модель сигнала с равномерно распределенными фазой (углом) и амплитудой (радиусом) находит широкое применение в статистической радиофизике. гз 38 Гл. 2. Классическая и геометрическая вероятности Пример 10.
На Землю параллельно плоскости экватора падает поток метеоритов. Найдем вероятность того, что упавший метеорит попадет между 15' и 45' северной широты (событие А). Естественно предполагать, что поток метеоритов равномерно распределен на плоскости, перпендикулярной плоскости экватора. Если мы теперь спроецируем земной шар на эту плоскость (рис. 4), то получим, что вероятность наступления события А пропорциональна площади р(А) заштрихованной области А. Определим р(А): 14 !4 лз Р(Л) = 2йз ~ соз Рйзш д = 2йз ~ соз РЖР = — з~ (1+ соз Р) ЖР = йз( - 4- - ) .
3,, з ( з, Зся 1Х 2 ~ (б 4) /~з /!2 /б Окончательно получаем ! Р(А) й~з ь 4 + 0 245 2 6 4 .гйз 4чт б Ряс 5 Ряс 4 П р и м е р 11. Поступление каждого из двух сигналов в приемник равновозможно в любой момент промежутка времени 'Г. Найдем вероятность того, что приемник будет «забит» (событие А), что происходит в том случае, когда промежуток времени между моментами поступления обоих сигналов меньше т. Для этого обозначим моменты поступления сигналов через л и у. Ясно, что для наложения сигналов необходимо и достаточно, чтобы ~к — у < т. Изобразим и и у как точки внутри квадрата со сторонами Т (рис. 5) Тогда исходы, благоприятные для наложения сигналов, представятся заштрихованной областью А. В силу принципа геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата Р(А) = ('е ") =1 — (1 — —,') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
