Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Выпишем для примера все размещения из четырех чисел 1, 2, 3, 4 по два: (1,2), (1,3), (1,4), (2, !), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3). Число размещений (п) (используется также запись А'„") подсчитывается точно так же, как и число перестановок: на первом месте может находиться любой из п, элементов, на втором— любой из п — ! оставшихся,..., на т-м месте любой из и, — т, + 1 элементов. Снова воспользовавшись основной формулой комбинатори- 32 Гл.
2. Классическая и геометрическая вероятности ки (выбор осуществляется из групп размеров п, и — 1,..., и — гн+ 1), имеем (и) = п(п — 1)... (и, — гп+ 1)— (и — т)(«т — т — 1)... 2 - 1 (и — т)! Заметим, что способ выбора, приводящий к перестановкам и размещениям, носит название выборки без возврашения. Сочетанием из и элементов по т называется любой неупорядоченный набор нз т, различных элементов, выбранных из общей совокупности в и элементов.
Сочетаниями из четырех чисел 1, 2, 3, 4 по два являются: (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4) и (3,4). Для определения гпт числа сочетаний ( ) (употребляется также запись С„'") заметим, (,т) что сочетание от размещения отличается только тем, что входящие в него элементы неупорядочены. Но, как мы знаем, т элементов можно упорядочить т! способами. Значит, каждое сочетание соответствует т! размещениям. Поэтому (и) = т,!( ) или ',тГ ~)=- "= -'. о '1 (и)„, гй пт 7 т1 '(и — т) .
'«пй Вооружившись знанием формул для чисел перестановок, размещений и сочетаний, продолжим рассмотрение задач на классическую вероятность. При мер 5. На четырех карточках написаны буквы в, л, к и о. Карточки перемешиваются и выкладываются в ряд. Найдем вероятность того, что образовавшееся слово будет «волк» (событие А). В соответствии с комбинаторными принпипами для определения общего числа элементарных исходов нужно подсчитать число упорядоченных наборов из четырех букв. Мы имеем дело с числом перестановок, поэтому число элементарных исходов п = 4! =- 24.
Слово «волк» образует только одна перестановка, т.е. число благоприятных для события А эяементарных исходов т =- 1. Поэтому Р(А) =- 1/24. С1 П р и м е р 6. Из колоды в 36 игральных карт вынимаются наудачу 3 карты Найдем вероятность того, что все эти 3 карты будут одной масти (событие А). Для большей наглядности приведем два решения В первом решении будем предполагать, что выбор производится последовательно по одной карте и нужно учитывать его порядок.
Тогда результат выбора отождествим с размещением из 36 карт по 3, и общее число элементарных исходов п = (36)з = 36 35 34. Для подсчета общего числа благоприятных исходов предположим сначала, что мы последовательно вынимаем карты пиковой масти. Поскольку «пик» в колоде 9, то число способов, которыми мы можем последовательно вынуть 3 карты пиковой масти, равно числу размещений из 9 карт по 3, т.е. (9)з = 9 8 7. Но благоприятными для нас будут также такие ситуации, при которых мы вынимаем 3 «трефы», 3 «бубны», 3 «черны» Поэтому для определения общего числа благоприятных исходов нужно число размещений из 9 по 3 умножить на 4: т = 4 (9)з = 4 9 8 7.
Значит, Р(А) = 4 (9)тДЗ6)з = 4гг85. Во втором решении мы не будем учитывать порядок выбора карт. Тогда общее число элементарных исходов определяется уже как число сочетаний из 2. Элементы комбинаторики в теории ввронтносшвй 33 гзбт 36. 35 34 36 карт по 3, т.е, п = ( ) = . Однако и при подсчете числа благо- (3) 1 2 3 приятных исходов мы должны помнить, что порядок выбора несуществен, т.е. г93 498 7 т = 4 ( ) = — — — —, Нетрудно видеть, что окончательное значение Р(А) (3) 12З' будет тем же самым, что и в первом решении Рекомендуем любознательному читателю еще раз разобрать этот пример и объяснить, почему в обоих случаях получился один и тот же ответ.
В заключение этого параграфа мы рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся в физической практике задачи о распределении частиц по ячейкам. Гнпергеометрнческое распределение. Предположим, что имеется п = п1 + ... + пь различных частиц, причем из них н1 частиц первого типа, пв второго типа,..., пв йнго типа.
Случайным образом из этих и частиц выбирается гп =- ны + ... + тв частиц. Найдем вероятность того, что среди выбранных окажется ровно т1 < п,1 частиц первого типа, тз < пв — второго типа,...,п«ь < пь — й-го типа (событие А). Поскольку порядок выбора несуществен, то при определении общего числа исходов и числа благоприятных исходов мы должны пользоваться числом сочетаний. Общее число элементарных исходов /нх есть число сочетаний из п частиц по гн — ( ), Далее, т| частиц ггн5 перво~о типа мы можем выбрать ( ' ) способами, тз частиц второго «П1 / пз Х ) типа ( ) способами,..., ть частиц й-го типа ( ) способами. Прн (,тз) ( ны) этом любой способ выбора частиц определенного типа комбинирует с любыми способами выбора частиц остальных типов и, значит, число благоприятных событию А исходов равно ( ) ( ) ...
( ). По„„, (-",)(-",) (-",) () Определенные последней формулой вероятности Р(тп..., ть) носят название гнпергеометрического распределения. Пример 7. Найдем вероятность того, что в «Спортлото 6 из 49«') будет угадано 3 номера (событие .4«), 4 номера (А«), 5 номеров (Аз) н 6 номеров (Аз) Мы имеем дело с гипергеометрическим распределением, в котором п — — 49, ') В конце прошлого столетия в нашей стране были широко распространены разные варианты игры «Спортлото», наиболее популярным из которых являлся вариант «Спортлото 6 из 49».
Купив карточку за 30 коп (что примерно соответствует нынешним 30 руб.), нужно было вычеркнуть 6 номеров из 49 возможных. Аналогично, во время розыгрыша из 49 шаров выбирались 6. Угадавший от 3 до 6 номеров, мог получить выигрыш, который для всех 6 угаданных номеров составлял 10000 тыс. руб. 2 П П Бочаров, А В Печиякии 34 Гл. 2. Классияеская и геометрическая еероятности РгА«) = 4 - —— 0,00097, (.')(",) (',") РГАы) = 46 — — 0,0176, !'.~)(") (".) 6 43 РГАы) = — б ' ) = 0,000018, (',") Р~46) -»6)(о) 7 10 — ы г3 (",) Статистика Бозе-Эйнштейна. Предположим, что и неразличимых частиц распределяются по и, ячейкам. Различными считаются распределения частиц по ячейкам, отличающиеся только числом попавших в каждую ячейку частиц.
Такое распределение носит в физике название статистики Бозе — Эйнштейна. Найдем общее число различных размещений в статистике Бозе — Эйнштейна !число элементарных исходов). Для этого рассмотрим последовательность из и+ т — 1 элементов !Рис. 1) и выберем из них т — 1 «черный» элемент. Если 0 ° 000 ° ° 0 0 ° п 4 тп — 1 1 2 3 4 5 6 7 Рис. 1 считать «белый» элемент частицей, а «черный« вЂ” перегородкой, то, как нетрудно видеть, существует взаимно однозначное соответствие между способами выбора т — 1 «черного» элемента и размещениями частиц в статистике Бозе †Эйнштей.
Так, на приведенном рисунке в первую ячейку попала одна частица, во вторую — три, третья оказалась пустой,..., последняя, т-я ячейка также оказалась пустой. гп-Ьт — 1» Поэтому общее число размещений равно ) ) . Найдем те— ) перь вероятность попадания в фиксированную ячейку ровно й частиц !событие А). Заметим, что если в этой фиксированной ячейке уже находится й частиц, то остальные тг — й частиц должны быть распределены по оставшимся гп — 1 ячейкам, а это, как мы знаем, можно сдетп — й+т — 1 — 1» та+ т — й — 2» пать ) ) = ) ) способами. Следовательно, т — 1 — 1 тп — 2 т П Е ти — 14 — 2» г т и, т тп — 1 'т Р!А) = ) )ут ) ' ).
Отметим, что статистике Бозе— т-.2 )7 т» т — 1 )' Эйнштейна подчиняются фотоны, атомные ядра и атомы, содержащие четное число частиц. Статистика Ферми-Дирака. В статистике Ферми — Дирака так же, как и в статистике Бозе — Эйнштейна, и, неразличимых частиц распре- 5=2, пг =-6, и =-43 и т=.б. Для события Аы тг =-3 и ты=-3, для события А« тг =- 4 и тпг =- 2, для события Аы тг =- 5 и т = 1 и, наконец, для события Аы ттт~ =- 6 и тг =- О. Поэтому 2. Элементы комбинапорини в щвории ввронганоствй 35 деляются по т, ячейкам (и < ит), однако в каждой ячейке не может находиться более одной частицы. Число различных размещений (элементарных исходов) совпадает с числом способов, которыми мы можем выбрать (без учета порядка выбора) п, занятых ячеек из общего числа Гтх ячеек т, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
