Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Оекоторьье задачи, связанные с нормальнььми выборками отдельных факторов, что в свою очередь избавляет от неприятной ситуации, когда принятие или отклонение гипотезы об отсутствии действия одного фактора зависит от аналогичного решения относительно остальных факторов. Кроме того, такие планы обладают некоторыми специальными свойствами оптимальности, которых мы здесь касаться не будем. Рассмотрим способы построения планов эксперимента. Начнем со случая, когда число уровней действия факторов одинаково для всех факторов, т.е. п| =....
= пь = и. Потребуем, чтобы для любых факторов П и ьа и уровней их действия уч и уч в план эксперимента входил, по крайней мере, один набор, содержащий пару уч и )ч, т.е. хотя бы в одном наблюдении фактор ы подействовал на уровне зч, а фактор 1з — на уровне )ч. С другой стороны, для мннимизапии числа наблюдений резонно ограничиться только планами, в которых каждая пара Ом,уч) уровней действия факторов П и ге встречается не более одного раза. Суммируя эти два требования, получаем, что каждая пара Оч,зц) уровней действия факторов П и гз должна входить в план эксперимента ровно один раз. Такие планы назовем ортогональными.
Нетрудно видеть, что любой ортогональный план содержит ровно гьз наблюдений и его можно представить в виде квадратной таблицы (табл. 7), в которой 7', ' ' (1 = 3,...,1) — числа от 1 до и. Этот план заключается в следующем. В первом наблюдении первый и второй факторы действуют на уровне 1, третий — на уровне 7' ,..., 1-й— . н1 Цы1 на уровне у~~, ..., в и-м наблюдении первый фактор действует на уровне п, второй на уровне 1, третий — на уровне 1 ,..., 1-й цпц Цнц з на уровне 1,... в тг-м наблюдении первый и второй факторы действуют на уровне п, третий — на уровне зз,..., 1-й — на уровне .Гнь1 Янн .
В силу требования ортогональности плана в каждой строке и в каждом столбце табл. 7 на любом месте каждое из чисел 1,..., и должно встречаться ровно один раз; для любых чисел 1ч и 1га от ! до п и ь| и ьз от 3 до 1 ровно один раз должны встречаться клетки, в которых на П-м месте стоит йы а на гз-м — кз. Пример ортогонального плана при числе действующих факторов 1 = 6 и числе уровней действия каждого фактора п = 5 приведен в табл. 8 (в этой и во всех дальнейших таблицах для сокращения записи первый столбец и первая строка опущены).
Обратимся к конкретным значениям числа факторов 1. При 1 = 2 ортогональный план представляет собой не что иное, как факторный план, рассмотренный в параграфе 7, в котором мы должны произвести по одному наблюдению с каждой комбинацией Оыуз) уровней действия первого и второго факторов. При 1 =- 3 любой ортогональный план задается так называемым латинским квадратом п-го порядка, т.е. квадратной таблицей размера 287 8. Лланирование эксперимента Таблица 7 Таблица 8 и х и, в которую вписаны числа от 1 до п Таблица 9 таким образом, чтобы в каждой строке и каждом столбце любое из этих чисел встречалось ровно один раз.
Пример латинского квадрата, полученного никли- 3 ~ 4 5 1 2 ческим сдвигом первой строки на едини- 4 , '5 1 2 3 цу, приведен в табл. 9. 5 ! 1 2 3 4 Критерий для проверки отсутствия действия факторов строится следующим образом. Пусть в результате эксперимента по предложенному плану мы получили наблюдения ~1п . Лпп. Обозначим п и Лг~ 1=1 3=! Статистика У представляет собой сумму квадратов отклонений наблюдений от общего выборочного среднего пт*. Используя свойство латинского квадрата, ее можно переписать в виде 288 Гл.
4. Некоторые задачи, связанные с нормальными еыборками о~ = 2 2 ' (Хг — т,*1!> — от*<2> — ткцз> + 21п*)2 -Ь г=1 3=1 + 2 п1га !11 — гп, ) ь 2 11(7п 321 — гп ) + 2 г!(пькцз! — гн ) =- (п2 — Зп+ 2)е2!!211+ (и — 1)е2!!1+ (п — !)е2!21 + (и — 1)з2!21, где н 1 гп.!21 — — — 2 Х,, г=! п о гпь!з! — — — 2 2 Х, . г=1 г=1 Я = (гь — 4п+ 3)22~!2зл> + (1! — 1)е!!1+ Статистики гп,*,1~ и т"р) являются выборочными средними при условии действия первого или второго фактора на уровне 1 или 11 Такой же смысл имеет и статистика гпь.,зр поэтомУ пРи опРеделении т* суммирование должно производиться только по тем наблюдениям, в которых третий фактор действовал на й-м уровне или, в терминах латинского квадрата, по тем клеткам, в которых стоит цифра к.
Заметим теперь, что в силу линейности действия факторов (которую мы предположили с самого начала) статистики з," 1, ч1,*, е1*! и е1*! независимы, ,2* 2* 2* .2* а з2,*,. является несмещенной оценкой дисперсии о2, с точностью до множителя (п2 — Зп, + 2)/о2 имеющей Х2-распределеиие с пз — Зп+ 2 степенями свободы.
Теперь, если отсутствует влияние первого фактора, то статистика з * с точностью до множителя !и — 1)/о также распределена по закону х2 с п — 1 степенями свободы и, значит, для проверки гипотезы об отсутствии влияния первого фактора можно применить критерий Фишера, предписывающий принять эту гипотезу, если яг!11 = е ', Ггз',*! ! ( С. Аналогично, по статистикам м!Ш = зрзр1з!!22! 2 2* 2* 2 и м!21 = з1~21ггз1~~22> проверяются гипотезы об отсутствии действия второго и третьего факторов. Пусть теперь ! = 4. Назовем два латинских квадрата ортогональными, если при наложении их друг на друга каждый набор (12) встретится ровно один раз. Пример наложения двух латинских квадратов пятого порядка приведен в табл. 10.
Таким образом, задача построения ортогонального плана сводится к задаче нахождения двух ортогональных латинских квадратов. Однако ортогональные латинские квадраты существуют не для всех п. В частности, они, как известно, не существуют при и, =- 6 (задача Эйлера о 36 офицерах). Если же ортогональные латинские квадраты существуют, то ортогональный план задается их наложением. Сама процедура проверки гипотез об отсутствии действия факторов остается той же, что и в случае ! = 3, и опирается на представление статистики Я~ в виде 289 8 Планираеание эксперимента Таблица 10 + ( !) 2 + ( !) з + ( !) з Нетрудно теперь понять, что возможность построения ортогонального плана эксперимента при 1 ) 4 сводится к возможности построения 1 — 2 ортогональных латинских квадратов. Оказывается, в любом случае нельзя построить более п — 1 ортогональных латинских квадратов.
Система, содержащая максимальное для заданного и число ортогональных латинских квадратов, называется полной. Ясно, что любая система из н — ! ортогональных латинских квадратов является полной. Покажем, как можно построить полную систему в случае простого и. Первая строка всех п. — 1 латинских квадратов состоит из записанных подряд чисел 1, ..., п. Вторая строка первого латинского квадрата получается циклическим сдвигом первой строки на единицу влево, третья циклическим сдвигом второй строки на единицу влево и т.
д. Вторая строка второго латинского квадрата получается циклическим сдвигом первой строки влево на два, третья — пиклическим сдвигом второй строки влево на два и т.д. Полная система из четырех латинских квадратов пятого порядка приведена в табл. 11. Таблица 11 Для читателя, знакомого с комплексными числами, опишем рассмотренный выше метод построения ортогональных латинских квад- пГ ратов в терминах корней и-й степени из единицы. Пусть -1 = в211— какой-либо (отличный от !) корень п-й степени из 1. Положим а„= з," = !. Отождествим число ! с ан Тогда первая строка любого квадрата отождествима с «и ..., вп. Каждая последующая строка первого латинского квадрата получается из предыдущей 10 П П Бочаров, А. В Починкин 290 Гл.
4. Некоторые задачи, связанные с нормальными выборками умножением на зы второго — умножением на аа и т.д. Таким образом, существует тесная связь приведенной процедуры с корнями и-й степени нз единицы, которые в свою очередь являются одним из основополагающих понятий теории Галуа. Оказывается, использование теории Галуа позволяет построить полную систему из и — 1 латинских квадратов и в том случае, когда и = р~, где р простое число.
Кроме того, с ее помощью можно построить й ортогональных латинских квадратов в общем случае п = р,'...р„', причем й представляет собой минимальное из чисел р,,' — 1. С соответствующей процедурой читатель может ознакомиться в специальной литературе [15, 1б). Вернемся к случаю, когда факторы могут действовать на разных числах уровней и,. Рассмотрим двухфакторную модель. Если мы продолжаем настаивать на том условии, чтобы каждый уровень 11 первого фактора обязательно хотя бы в одном наблюдении подействовал с любым уровнем ьз второго фактора, то, как мы знаем, минимальный план эксперимента представляет собой факторный план, содержащий п|гьз наблюдений. Однако можно уменьшить число наблюдений, если отказаться от этого требования и заменить его на более слабое условие: уровни действия ы и 1з первого и второго факторов встречаются не более одного раза.
Потребуем также, чтобы каждый уровень действия первого фактора встречался во всех экспериментах 1~ раз, а второго — 1а раз. Естественно, числа пы гьз, 11 и 1з должны быть связаны соотношением п111 = па1з = и, где и, — общее число наблюдений. План такого эксперимента можно записать в виде таблицы (табл. 12), элементы которой представляют собой числа 1,...,гьз, расставленные таким образом, чтобы в каждом столбце любое из них встречалось не более одного раза, а во всей таблице ровно 1з раз.
Отметим, что столбцы таблицы, представляющие собой те уровни, на которых в планируемом эксперименте должен подействовать второй фактор при условии, что на соответствующем уровне действует первый фактор, носят названия блоков. Таблица 12 Потребовав также, чтобы каждая пара ьиуз, встречающаяся хотя бы в одном блоке, встречалась во всех блоках ровно й раз, получаем неполный сбалансированный блок. Нетрудно подсчитать, что 291 8 Планирование эксперимента для неполного сбалансированного блока 1з]1~ — !) = к(гц — 1). Если нц = пз, то неполный сбалансированный блок называется симметричным неполным сбалансированным блоком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
