Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Действительно, с одной стороны, пусть на пространстве элементарных исходов й задана некоторая вероятность Р(А). Обозначим через рн ..., р„ вероятности элементарных исходов ич,..., ьз„. Тогда по аксиоме сложения РЗ вероятность любого события А определяется формулой Р(А) =- 2 Р(ю,) =- 2 ' р„ где суммирование ведется по всем индексам г', соответствующим входящим в событие А элементарным исходам.
В силу аксиом неотрицательности Р1 и нормированности Р2 числа рн..., рп являются неотрицательными и удовлетворяют свойству р~ + ... + р„= 1. С другой стороны, пусть рн, р„— любой набор неотрицательных чисел, таких, что р~ +... + р„= 1. Поставим в соответствие каждому элементарному исходу щь (1 = 1,...,и) число Р(ип) = р„а любому событию А — число Р(А) =- 2" Р(ич) =- 2'р„где суммирование ведется по всем индексам г, соответствующим входящим в событие А элементарным исходам. Очевидно, достоверному событию й мы должны сопоставить число Р(й) = 1н + ...
+ р„= 1. Нетрудно видеть, что определенная таким образом функция Р(А) удовлетворяет аксиомам Р1 — РЗ, т.е. является вероятностью. 4. Веротпность 27 Итак, существует взаимно однозначное соответствие между всеми вероятностями Р(А) на й и наборами р!,..., р„неотрицательных чисел, удовлетворяющими условию р! +... + р„= 1. В частности, мы можем всем элементарным исходам ш, приписать одну и ту же вероятность р, = 1/и (! = 1,..., и). В этом случае реализуется так называемый принцип классической вероятности, о котором мы подробно поговорим в следующей главе.
В случае произвольного (не обязательно конечного) пространства элементарных исходов й аксиому РЗ необходимо заменить более сильной расширенной аксиомой сложения РЗ'. Р(А~ + ... + А„+ ...) = Р(А!) +... + Р(А„) -~..., справедливой для счетного числа попарно несовместных событий. Именно аксиомы Р1, Р2 и РЗ' и определяют аксиоматическое понятие вероятности. Очевидно, что свойства вероятности 1 — 7 сохраняются и в этом случае. Пример 21.
Пусть П состоит из счетного числа элементарных исходов шп.,., ш„, И в этом случае любую вероятностную меру Р(А) можно получить, задав вероятности р1 =- Р(ш~), , р„ = Р(ш„), элементарных исходов, причем последовательность ро , р„, должна удовлетворять только условиям неотрицательности р, > 0 (! = 1,2, ) и нормированиости р| Ч- .. Ч- р + ... = 1. По-прежнему вероятность любого события А определяется как сумма 2 р, вероятностей всех входящих в А элементарных исходов ьь, однако если событие А содержит бесконечное число элементарных исходов, то и сумма будет бесконечной.
П р и м е р 22. Пусть пространство элементарных исходов П представляет собой прямую ( — оо, оо) с борелевской е-алгеброй на нем (см. пример 20). Теперь уже в наиболее интересных случаях мы не можем приписать каждому элементарному исходу ш иной вероятности, кроме Р(ш) = О, и, следовательно, определить вероятность любого события на основе вероятностей входящих в него элементарных исходов. Тем не менее и сейчас вероятность можно задать конструктивно.
Для того чтобы показать это, предположим сначала, что она каким-то образом уже задана для всех событий (элементов борелевской е-алгебры), и рассмотрим функцию Г(х) = Р(А,), равную вероятности события Ах = ( †,х), состоящего из всех точек полупрямой ( †,х). Как вероятность функция Г(х) обязана обладать определенными свойствами, которые мы сейчас опишем. Во-первых, значения функции Е(х) как вероятности должны лежать между Ои !. Во-вторых, так как для любых х| < х* собьпие ( — оо,х1) содержится в событии ( — сю,хз), то Г(х~) < Г(хз).
Иными словами, Г(х) — неубывающая функция аргумента х. В-третьих, поскольку событие ( — оо, — сю) невозможно, а событие ( — сю, оо) достоверно, то Р( — оо) = 1пп Р(х) =. О, Р(ж) =- 1пп Р(х) =- !. Наконец, так как событие (-оо, х) представляет собой объединение счетного числа событий ( †,х — 1/и), то из расширенной аксиомы сложения 28 Гл. В Верояшносягное просюрансшво и монотонности Е(х) можно вывести (см. параграф 2 гл.
5), что с'(х) непрерывная слева функция. Зная функцию с'(х), можно определить вероятности любых других событий. В частности, вероятность события Л = ~хм ха) (х~ < хз) определяется формулой Р(Л) =- Р(х ) — Р(х1). Таким образом, любая вероятность на прямой полностью определяется своей функцией р'(х), которая удовлетворяет перечисленным выше свойствам. Справедливо и обратное. Любая неубываюгцая непрерывная слева функция р'(х), удовлетворяющая условиям с'( — оо) = 0 и р'(со) = 1, задает некоторую вероятность на прямой (-оо,со).
Действительно, достаточно сопоставить каждому событию Л„.=. ( — оо, х) число Р(А„) =- й'(х), а событию Л = )хыхз)— число Р(А) = Г(хз) — сух~). Можно показать, что определенная таким образом для всех событий Л =- ~хмх ) числовая функция Р(Л) будет удовлетворять трем аксиомам вероятности. Для любых других событий, составляющих борелевскую о-алгебру на прямой, вероятность определяется единственным образом с помощью так называемой теоремы о продолжении меры. П Глава 2 КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ В этой главе мы рассмотрим некоторые вероятностные пространства, объединенные интуитивным понятием симметрии или «равновероятности». В соответствии с тем, какое пространство элементарных исходов рассматривается— конечное илн непрерывное, понятие «равновероятности» реализуется в двух схемах. классической н геометрической вероятности.
Как всегда, право на жизнь вышеперечисленных схем определяется практикой. В различных учебниках приводятся результаты многочисленных статистических опьпов, подтверждающих корректность понятия «равновероятиость» 1. Классическая вероятность Понятие классической вероятности мы рассмотрим сначала на примере нашей «палочкн-выручалочки» вЂ” монеты. Предположим, что опыт состоит в однократном подбрасывании монеты. Как мы теперь знаем, пространство элементарных исходов й содержит два элементарных исхода: ш1 — выпадение «герба» и шз — выпадение «цифры», а о-алгебра З насчитывает 4 события: О, (ич)), (шз) и й. Ясно, что обычная монета обладает свойством симметрии, так как у нас нет оснований предпочесть «герб» «цифре», т.е.
элементарный исход ич элементарному исходу шю Поэтому естественно сопоставить обоим элементарным исходам одинаковую вероятность Р(ш1) = Р(ша). Так как согласно аксиоме сложения Р(й) .=- Р(ш1) + Р(шз), а в силу аксиомы нормированности Р(й) = 1, то получаем Р(ш1) = Р(шз) = 1Г2. Таким образом, каждому из четырех имеющихся в о-алгебре З событий мы ставим в соответствие вероятности: Р(ю) = О, Р(ш~) = Р(шз) = 1г'2, Р(й) =!. Перейдем теперь к общему случаю.
Пусть пространство элементарных исходов й состоит из конечного числа и, равнозначных исходов шы шв,..., ш„(о-алгебра событий содержит 2" событий). Тогда каждому элементарному исходу ш, (» =- 1,...,и) поставим в соответствие одну и ту же вероятность Р(ш«) = 1гги Ясно, что в силу аксиомы сложения для определения вероятности любого события А необходимо подсчитать число т элементарных исходов ш, содержащихся в А, и затем положить Р(А) = —. Таким образом, в классической схеме вероятность любого события А определяется как отношение числа т благоприятных для собьгтия А элементарных исходов к общему числу элементарных исходов и. ЗО Гл. 2.
Классическая и геометрическая вероятности П р и м е р 1. Определим вероятность выпадения на игральной кости четного числа очков (событие Л). В этом случае общее число элементарных исходов п = 6 (о-алгебра»В состоит из 2 = 64 событий), а число благоприятных исходов пт = 3 (выпадение«двойки», «четверки» и «шестерки»). Искомая вероятность Р(,4) = З,гб = ! /2. П р и м е р 2 Производится трехкратное подбрасывание монеты. Определим вероятность события Л, заключающегося в выпадении «герба» хотя бы один раз.
Выпишем все элементарные исходы: щ1 = «герỠ— «герỠ— «герб», щз = «герỠ— «цифр໠— «герб», иг« = «герб»-«герб»-«цифра», щ« = «герб»-«цифра»-«цифра», щэ = «цифр໠— «герб»-«герб», ще = «цифра»-«цифра»-«герб», щт = «цифр໠— «герỠ— «цифра», щз = «цифр໠— «цифр໠— «цифра». Всего имеем и = 8 элементарных исходов (о-алгебра З состоит из 2 = 256 событий) Благоприятными из них для события А являются пг = 7 исходов: , «от. Значит, Р(А) = 7,г8. Вероятность Р(А) можно подсчитать и другим способом Дополнительным к А будет событие А, заключающееся в невыпадении ни одного «герба».
Событие А состоит только из одного элементарного исхода щз, поэтому Р(А) = 1,18. Переходя снова к событию А, имеем Р(А) = 1 — Р(А) =. 7/8. Отметим, что привлечение дополнительного события позволяет иногда существенно упростить численный подсчет вероятности При мер 3. Найдем вероятность того, что прн бросании двух игральных костей в сумме выпадает не менее четырех очков (событие А) Поскольку при бросании двух игральных костей может выпасть от 2 до 12 очков, а рассматриваемое событие Л состоит в выпадении 4, 5,..., 12 очков, то удобно перейти к дополнительному событию А — выпадению двух или трех очков Пространство элементарных исходов состоит нз 36 исходов — пар (1,1), (1,2), (2,!), (1,3) и т.д.
(заметим, что пары (1,2) и (2,1) представляют собой разные элементарные исходы, поскольку выпадение одного очка на первой кости и двух на второй — не то же самое, что двух очков на первой кости и одного очка на второй). Благоприятными для события ,4 будут элементарные исходы (1,1), (1,2) и (2,1). Значит, п»л — — 3, Р(Л) = 3,136 = 1г12 и Р(А) = 1 — Р(А) = 11/12. П Пример 4.
Из колоды в 36 игральных карт наудачу выбирается одна Определим вероятность того, что она окажется тузом (событие А) Из колоды мы можем выбрать любую из 36 карт (п = 36). Тузов в колоде 4 (тп = 4). Таким образом, Р(Л) = 4гг36 = 1гг9. 13 2. Элементы комбинаторики в теории вероятностей Примеры, рассмотренные в предыдущем параграфе, имели ту характерную особенность, что для них нетрудно было подсчитать как общее число элементарных исходов, так и число исходов, благоприятных для данного события. Однако именно этот подсчет и представляет наибольшую трудность при решении более сложных задач на классическую вероятность. Для того чтобы иметь некоторые стандартные приемы при 2.
Элемен ~ы комбинаторики в гнеории еерол пностей 31 расчетах по схеме классической вероятности, приведем основную формулу комбинаторики и рассмотрим понятия перестановки, размещения и сочетания. Пусть имеется й групп элементов, причем 1-я группа состоит из и, элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число йг способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением Х=п~ пз . тгь, называемым основной формулой комбинаторики. Для доказательства этой формулы рассмотрим сначала случай й = 2 и перенумеруем все элементы первой группы числами от ! до пы а второй — от ! до пе, Тогда каждый возможный способ выбора двух элементов отождествим с парой чисел (йу), где ! = 1,..., пы ! = 1,..., пз.
Очевидно, что таких пар пр из. Для окончания доказательства достаточно воспользоваться методом математической индукции. Так, для й = 3 всевозможные способы выбора трех элементов можно отождествить с тройками (г,у,!). Поскольку первые два элемента можно выбрать тйпз способами, то все три элемента можно выбрать Х = (пипа)пз = гм'папз способами, В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. п~ = пз = ... = пго можно считать, что каждый раз выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу.
Тогда число всех способов выбора равно и,"'. Такой способ выбора носит название выборки с возвращением. Перестановкой из п элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов. Так, всевозможными перестановками чисел 1, 2, 3 являются: (1,2 3), (1,3,2), (2, 1,3), (2 3, !), (3, 1,2) и (3 2, 1). Для определения числа различных перестановок из п элементов, которое мы будем обозначать через Р„, заметим, что на первом месте перестановки может стоять любой из п,элементов, на втором — любой изп — 1 оставшихся, на третьем — любой из остальных и — 2 и т.д. В силу основной формулы комбинаторики (в данном случае мы имеем п групп элементов размеров п,п — 1,..., 1) получаем Р, = п(п — 1)... 2 ! = и! . Размещением из и элементов по гп называется любой упорядоченный набор из гп различных элементов, выбранных из общей совокупности в и элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
