Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Односторонний критерий Фишера проверяет основную гипотезу Но о~ =- а против конкурирующей гипотезы НП а1 < а2; критическая область одностороннего критерия Фишера при уровне значимости сг задается неравенством зг ) со1 Двусторонний критерий Фишера проверяет основную гипотезу Но.. о1 = а22 против конкурирующей гипотезы Нп а~ ф цз; его допустимая область определяется двумя неравенствами: р 12 < м < у~ гз. Здесь ш — о-квантиль Г-распределения с параметрами пз — 1 и пч — 1. Можно показат~, что односторонний критерий Фишера является равномерно наиболее мощным несмещенным критерием. Двусторонний' критерий Фишера также будет обладать этны свойством, если критическую область выбирать в виде С1 < м < Се, где С1 н Сз — определяемые специальным образом постоянные (см.
(12)). Правда, сложность подбора постоянных С~ и С обычно не оправдывает незначительного увеличения могцности критерия от ЗаМЕНЫ ШиГ2 Н ЕП. чтя На С~ Н Сг. Заметим также, что с помощью распределения Фишера нетрудно определить н мощности одностороннего и двустороннего критериев Фишера; этн мошностн ззвнсят тол~ко от отношения дисперсий и! н о, 2 В дальнейшем (параграфы 5 — 8) односторонний критерий Фишера станет нашим основным рабочим инструментом, хотя использоваться он будет для проверки несколько иных гипотез. П р н м е р 2. Прибор, измеряющий скорость элементарной частицы, был опробован на пучке летящих с одинаковой (ио неизвестной) скоростью электронов и на пучке летящих с одинаковой (но также неизвестной) скоростью протонов. Результаты измерения скорости 1 1 электронов Хш, ,Хш ~ н ! 1 протонов Хе н ,Хз н (х 10 иг'с) приведены в табл.
1 и 2 Проверим при уровне значимости а =- 0,05 гипотезу Не о том, что абсолютные точности измерения скоростей как электрона, так и протона совпадают. Естественно, мы предполагаем, что ошибки измерения скоростей как электронов, так и протонов 259 3. Критерии равенства дисперсий независимы, распределены по нормальному закону с нулевым средним, но, вообше говоря, разными дисперсиями и, и ед.
Гипотеза Нд как раз и состоит д д в том, что эти дисперсии совпадают: о[ = од. д Таблица 1 Хь~ Х~д Х~з Хш Х,з Х~д Хьт Х~д Х~д Хшд Хьн 7,554 7,550 7,557 7,601 7,595 7,587 7,591 7,592 7,599 7,570 7.609 Таблица 2 Хд ~ Хд д Хдз Хд4 Хдз Лкд Лет Хдл Хдд Хдзд Хд ~! 0,820 0,802 0,821 0,805 0,843 0,818 0,842 0,830 0,786 0,828 0,799 Воспользуемся сначала критерием Бартлетта. Вычислим выборочные дисд персии з-," и е.'р пт," =- — (7,554 + ... + 8,609) = 7,582, 11 ш* = (0,820+... + 0,799) = 0,818, 1 !1 в" ,= [(7,554 — 7,582) -Н ..
-Н (7,609 — ?,582) ~ = 0,000433, в[ = [(0 820 — 08!8)~ с. + (О 799 — 0818)~] = 0 000327 10 и значения статистик Ь и В Ь = 201п ( — (10 0,000433 + 10 0,000327))— г20 — (101пО 000433+ 101пО 000 32?) = 101п 1,01984 = 0,196, В = 0,196 [1 4- — ( — д- — — — )~ = 0,187. Сравнивая значение статистики В = 0,187 со значением Хддз = 3,841 0,95-квантили Х~-распределения с одной степенью свободы [1, с.
167), делаем вывод, ~то гипотеза Но должна быть принята. Применим для этой же цели критерий Кокрена (это можно сделать, поскольку объемы выборок одинаковы). Значение статистики критерия Кокрена 0 5?0 О,ООО 433 + О,ООО 327 Сравнение статистики С с 0,95-квантилью распределения статистики Кокрена Сддз = 0,7880 ([1), с. 243) показывает, что критерий Кокрена также предписывает принять гипотезу Нд. Наконец, мы имеем дело с двумя выборками и, значит, можем использовать критерий Фишера, причем, поскольку не известно заранее, какая из дисперсий о( или оз больше, то мы должны проверять двустороннюю конкуд рирую!цую гипотезу Нь о,' ф о~. Вычислив значение статистики О, ООО 433 О,ООО 327 260 Гл.
4. Некоторые задачи, связанные с нормальными выборками 4. Выборочная корреляция В этом параграфе мы обратимся к постановке задачи, несколько отличной от рассматривавшихся ранее. Будем считать, что выборка Хы ...,Х„ является двумерной, причем элементы выборки Х, = (Хп, Хкз) представляют собой двумерные случайные величины, имеющие совместное нормальное распределение со средними т~ и тз, дисперсиями а1 и а~ и коэффициентом корреляции р. Как известно из курса теории вероятностей, коэффициент корреляции изменяется в пределах от †! до +1, причем в случае нормального распределения равенство коэффициента корреляции нулю эквивалентно независимости компонент выборки Хп и Хсь Довольно часто встречаются задачи, в которых необходимо либо проверить гипотезу о независимости компонент Х(1) и Х(з) наблюдаемого вектора Х (т.е.
равенстве нулю коэффициента корреляции), либо найти оценку и построить доверительный интервал для коэффициента корреляции. Именно эти задачи мы рассмотрим в настоящем параграфе. Отметим, что корреляционный статистический анализ, о котором пойдет сейчас речь, обычно предшествует рассмотрению задач регрессионного и дисперсионного анализа (см. далее), а иногда даже полностью заменяет регрессионный анализ. Очевидно, что наиболее естественной оценкой коэффициента корреляции р является вгнборочный коэффициент корреляции (Хо — ан ) (Х,„— пб ) =! где п т", = — 2'Хы, а ~,=! 1 тз =- — 2 Хен п ч=! Можно показать, что распределение статистики р* зависит только от объема выборки п, и коэффициента корреляции р и не зависит от остальных параметров нормального вектора Х =.
(Х(1), Х(з)), а сама статистика р" является состоятельной асимптотически эффективной (в смысле теоремы 7 из гл. 2) оценкой коэффициента корреляции р. н сравнив его с 0,025- и 0,975-квантнлями распределения Фишера с параметрами (10,10) уорд = 0,2690 н уьэгь — 3,7168 ((1), с 207), мы опять-таки приходим к необходимости принять гипотезу 71ь. Интересно отметить, что в данном случае (две выборки одинакового объема) все три критерия (Бартлетта, Кокрена н Фишера) совпадают и нам достаточно было воспользоваться только одним из них. 261 4.
Выборочная корреляция Пример 3. В табл. 3 приведены значения роста (см) Х~ ы, Хго ~ и веса (кг) Х,л,...,Хзед 50 выбранных случайным образом мужчин. Считая, что рост и вес мужчины подчинен двумерному нормальному закону и используя выборочный коэффициент корреляции, проверим гипотезу Не о независимости роста и веса.
Уровень значимости (размер) критерия а = 0,05. ьл Таблица 3 3 ! 4 10 162,9 159,1 !71,3 ~ 179,6 64,48 77,93 ~ 72,51 Ха 168,1 Х,з 77,24 166,9 182,8 166,3 79,91 67,22 ! 74,4 177,8 72,08 70,02 68,42 76,20 12 13 ! 14 15 16 17 18 20 ( 11 19 170,6 !53,9 175,3 Ха 171,1 170,6 ! 73,8 181,4 174,2 ! 70,4 163,0 69,92 58,18 ! 79,16 Хм 68,41 73,34 71,66 84,04 77,41 73,36 72,94 25 22 23 24 26 27 28 г 21 29 30 175,5 !79,8 ' 16?,8 Ха 1?3,8 Хы 81,85 163,? 177,4 176,4 178,1 83,33 75,73 ! 70,2 179,2 71,01 76,69 68,97 75,28 65,41 70,43 73,01 32 33 , '34 35 36 37 38 39 40 31 167,7 170,5 78,63 83,05 171,7 169,2 ~ 166,2 73,03 73,98 , '73,70 171,8 184,5 Ха 162,7 161,7 171,7 Хп 72,00 69,90 72,33 80,46 82,73 42 43 44 45 50 41 46 47 48 175,? !76,0 ~ 170,5 71,46 82,4! ! 77,08 165,8 Ха 163,0 170,4 172,! 181,0 88,15 73,60 ! 80,2 157,4 63,?? 66,78 77,54 56,84 69,80 Вычислим значение выборочного коэффициента корреляции р*; т( — — (!68,! -Ь ..
+ ! 57,4) =- 171,3, 1 50 Разумным представляется и критерий проверки гипотезы Но.. р = 0 о независимости Х(!1 и Х(а) против гипотезы Н!. р ф 0 (компоненты Х(!) и Х(т) зависимы), предписывающий принять гипо- тезУ Но в том слУчае, когда Р ?а < Р* < Р! „?а. Здесь Ро ст-кван- тиль выборочного коэффициента корреляции при условии справедливости гипотезы Но (р = 0); в силу симметрии имеет место тождество ро = — р! .
Значения ст-квантилей выборочного коэффициента корреляции приведены в табл.4.5а из [1). Можно показать !12), что приведенный критерий является равномерно наиболее мощным несмещенным критерием. 262 Гл. 4. Некоторые задачи, связанные с нормальными еыборками гнч = — (77,24 -1- ... ж 56,84) = 73,66, 59 дд — та,*)д = (168,1 — 171,3) +... Ч (157,4 — !71,3) = 2266,5, (Хо ~т дд (Х,д — пз~) = (77,24 — 73,66) + ... + (56,84 — 73,66) = 1991,0, (Х 1 — гн1)(Х д — тз) = 1391,2, р* = 0655. =! Сравнивая р* с 0,975-квантнлью выборочного коэффициента корреляпнн рддгд = 0,273 [1, с.
248), видим, что гипотеза Х1д о независимости роста н веса должна быть отвергнута. Что касается построения доверительных интереалое для коэффнциета корреляции р, то Р. Фишер предложил преобразование ; = агс('п р' =- — 1п 1+р 2 1 — р* которое при п > 20 приводит к статистике з с близким к нормальному распределением. При этом 1+р р 7 3-рд 2 1 — р 2(п — 3) (, 4(п — 3) )' 1 7' р 2 — бр + Зр и — 3 1, 2(п, — 3) 6(а — З)д ) Таким образом, величина (з — Мз)/~IОя распределена практически по стандартному нормальному закону и при построении доверительного интервала для коэффициента корреляции можно воспользоваться стандартным методом, изложенным в параграфе 6 гл.
2. Значения самого преобразования Фишера содержатся в табл. 4.56 из [1[. Кроме того, в табл. 4.5в [!] приведены графики квантилей выборочного коэффипиента корреляции р в зависимости от р и п. Эти графики позволяют определить доверительные границы для коэффициента корреляции без всяких вычислений. П р и и е р 4. В условиях предыдущего примера определим границы двустороннего симметричного доверительного интервала доверительной вероятности о = 0,95 для коэффициента корреляции роста и веса мужчины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
