Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 5
Текст из файла (страница 5)
о.-алгебра событий исходов П, замкнутую ') относительно конечного числа теоретико- множественных операций. Однако понятие алгебры событий также оказывается недостаточным для аксиоматического построения теории вероятностей в том случае, когда пространство элементарных исходов й не является конечным. Интересы общей теории меры требуют, чтобы аксиома А2 была заменена на более сильную, и мы приходим к новому определению: а-алгеброй событий З назовем систему подмножеств из !), удовлетворяющую аксиоме А! и аксиоме 2'. Если подмножества А!, Аз,..., А„,... принадлежат З (являются событиями), то н нх (счетное) объединение А! 0 Аз 0...
гз г! Ач гз... также принадлежит йз !является событием). Основываясь на формулах де Моргана, нетрудно показать, что пересечение счетного числа событий снова будет событием. Таким образом, п-алгебру событий З можно определить как систему подмнозсеств пространства элементарных исходов й, замкнутую относительно счетного числа теоретико-множественных опера~~ай. Любая о-алгебра событий является одновременно и алгеброй событий. Обратное, вообще говоря, не верно, т.е. существуют алгебры событий, не являющиеся а-алгебрами.
Однако если пространство элементарных исходов П конечно, то любая алгебра событий будет также и а-алгеброй собьпий, т.е. в этом случае понятия алгебры событий и а-алгебры событий эквивалентны. а-алгебра событий является второй компонентой вероятностного пространства (з!, 'аз, Р). Пример !7 Для любого пространства элементарных исходов П, содержащего хотя бы один исход, семейство подмножеств, состоящее всего из двух подмножеств П и О, является а-алгеброй. Ясно, однако, что на такой а-алгебре, состоящей всего нз достоверного н невозможного событий, сколь- нибудь содержательную теорию построить невозможно, и мы ее в дальнейшем рассматривать не будем. О Пример )8 Пусть пространство элементарных исходов П содержит по крайней мере два исхода. Возьмем в П некоторое подмножество А, отличное от о и П. Тогда система из четырех подмножеств ш, А, А и П будет являться а-алгеброй ю.
Поскольку в дальнейшем мы будем рассматривать только события, а других событий, кроме перечисленных четырех, а-алгебра Ъ не содержит, то естественно отождествить ее с а-алгеброй, определенной на пространстве элементарных исходов й', состоящем всего из двух элементарных исходов: ш', = А н ьй = А, н содержащей подмножества о, тш,'), ты~) и П. Здесь мы иь|еем дело с тем принципом упрощения пространства элементарных исходов. о котором говорилось в параграфе ! ') Система подмножеств замкнута относительно операции, если в результате применения этой операции получаем подмножество, снова принадлежащее этой системе.
Гл. 1. Ввроятиостнов пространство В качестве иллюстрации рассмотрим время работы электрической лампочки. Первоначально пространство элементарных исходов представляет собой полупрямую )О,оо). Однако если наблюдателю доступна только информация, произошел отказ за фиксированное время '1'(событие А) или нет Гсобытие А), то он фактически имеет дело с двумя элементарными исходами; и«', =- А и ь»з — — А; соответствующая и-алгебра состоит из четырех событий, описанных выше. В этом случае наблюдение за работой электрической лампочки с точки зрения числа возможных элементарных исходов ничем не отличается от наблюдения за подбрасыванием монеты. П П р и м е р 19 Пусть пространство элементарных исходов й содержит конечное (й = 1ин, шз,...,ш )) или счетное (й = )ьп,«гз,...,иъ,...)) число исходов. Такое пространство называется дискретным.
В качестве а-алгебры З возьмем систему всех подмножеств. Именно эту и-алгебру мы всегда будем рассматривать в дальнейшем в случае дискретного пространства элементарных исходов Нетрудно видеть, что любое событие А можно отождествить с последовательностью из 0 и 1, причем 0 на л-м месте означает, что элементарный исход ьп не принадлежит событию А.
В частности, невозможному событию Ш соответствует последовательность О, О,..., а достоверному й — 1, 1,... Ясно, что если число исходов п конечно, то сг-алгебра З содержит 2" событий (на каждом из п мест последовательности может стоять одно из двух чисел: 0 и.чи 1). В случае дискретного й о-алгебру яз можно определить исходя и из других предпосылок. Для этого достато~но объявить событиями все элементарные исходьг иш Поскольку в случае дискретного й любое его подмножество будет содержать не более счетного числа элементарных исходов, то в соответствии с аксиомой А2' оно обязательно будет событием. Таким образом, о-алгебру З можно трактовать как а-алгебру, порожденную всеми элементарньгми исходами.
В частности, в случае конечного й а-алгебра З порождается конечным числом элементарных исходов и поэтому совпадает с алгеброй 21, порожденной всеми элвментарньгми исходами ч»,. Однако в случае счетного й алгебра 21, порожденная всеми элементарными исходами чч, уже не будет совпадать с а-алгеброй З, поскольку она будет содержать только подмножества, состоящие из конечного числа элементарных исходов скак обьединения событий в соответствии с аксиомой А2) или подмножества, состоящие из всех элвментарньт исходов за исключением их конечного числа (как дополнения к подмножествам первого типа в соответствии с аксиомой А1).
С1 П р и м е р 20 Пусть пространство элементарных исходов й представляет собой прямую ( — оо, оо). И здесь система всех подмножеств будет представлять собой и-алгебру. Однако оказывается, что такая «максимальная> о-алгебра в наиболее интересных случаях представляет собой негодный объект для дальнейших исследований. Дело в том, что введение понятия о-алгебры является вспомогательным процессом, необходимым для дальнейшего определения собственно вероятности, и, если бы только было возможно, никто не стал бы «городить огород» ради, разве что, красивого названия О невозможности использования «максимальной> о-алгебры мы еще скажем несколько слов, когда будем рассматривать геометрическую вероятность.
Сейчас попробуем построить другую а-алгебру, опираясь на более умеренные запросы. Итак, что бы мы хотели от а-алгебры на прямой» Разулгеет- 25 4. Вероятность ся, основное требование к ней заключается в том, чтобы ей принадлежали всевозможные интервалы (а,Ь), (а, Ь), (а, Ь), (а, Ь). Минимальная а-алгебра, удовлетворяющая этому требованию, носит название борелевской а-алгебры и является тем объектом, на котором без всяких логических противоречий можно построить математически строгую теорию.
Все сказанное относительно прямой в полной мере относится и к пространствам элементарных исходов, представляющим собой плоскость, трехмерное пространство и пространства более высоких размерностей, а также их невы- рожденные части (отрезки, многоугольники, круги, шары и т.д ) В теории вероятностей такие пространства элементарных исходов называются непрерывными.
П 4. Вероятность Приступим теперь к аксиоматическому определению последней составляющей вероятностного пространства (11, З, Р) вероятности или, как иногда говорят, вероятностной меры Р. Предположим сначала, что пространство элементарных исходов конечно. Пусть каждому собьзтию А (т. е. подмножеству А прострзнства элементарных исходов П, принадлежащему о-алгебре З) поставлено в соответствие число Р(А).
Числовая функция Р(А) (заданная на о-алгебре З) называется вероятностью, если она удовлетворяет следующим аксиомам; Р1. Р(А) > О (аксиома неотрицательности); Р2. Р(й) = 1 (аксиома нормироваиности); РЗ. Р(А+ В) = Р(А) + Р(В) (аксиома сложения), если А,В Е З и АгзВ= Я. Как говорилось во введении, аксиомы вероятности представляют собой не что иное, как математическое отражение основных свойств частоты. Из аксиом Р!-РЗ можно вывести ряд очевидных свойств вероятности.
Поскольку П = А + А, то по аксиоме сложения Р(П) = Р(А) + Р(А) или, с учетом аксиомы нормированности, 1. Р(А) = 1 — Р(А) (вероятность дополнительного события). Далее, поскольку А = А+ О, то из аксиомы сложения имеем 2. Р(О) = О (вероятность невозможного собьзтия). Пусть А с В. Тогда В = А+ (В ~ А), по аксиоме сложения Р(В) = Р(А) + Р(В ~ А), и из аксиомы неотрицательности получаем 3. Р(А) ( Р(В) («большему событию соответствует ббльшая вероятность). 26 Гл. д Вероятностное пространс пво В частности, так как всегда Л С й, то, с учетом аксиомы неотрицательности, 4.
0 < Р(А) < 1 (вероятность заключена между О и 1). Наконец, поскольку А гз В = А + (В 1, А) и В = (В ~ А) + АВ, то из аксиомы сложения находим: Р(Л О В) =- Р(А) + Р(В ~ А) и Р(В ~ А) =- = Р(В) — Р(АВ). Следовательно, 5. Р(А гз В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ) (вероятность объединения двух собгптий). Последнее свойство допускает очевидное, но весьма полезное обобщение на случай произвольного числа слагаемых В. Р(Л ГЗ ., О Л„) = р(Л ) + ... + Р(Л„) — р(Л Лз) — Р(АЛз) — ... ... — Р(Л„~Лп) + Р(Л~ЛзЛз) +...
+ ( — 1)"+'Р(А~Аз... Ан), Свойство 6 доказывается индукцией по и. Так, для трех событий А, В иС Р(АгзВОС) = Р(А)+Р(ВОС) — Р(А(ВОС)) = =- Р(А) ч- Р(В) + Р(С) — Р(ВС) — Р(АВ О ВС) = = Р(А) + Р(В) + Р(С) — Р(ВС) — Р(АВ) — Р(АС) + Р(АВС). Из свойств б и 2 имеем для любого числа и, (попарно) непересекающихся событий Лн..., А„ 7. Р(Л~ + ... + А„) = Р(Л~) + ... + Р(А„). В случае, когда й содержит конечное число п элементарных исходов, вероятность можно определить конструктивно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
