Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 49
Текст из файла (страница 49)
д = до или д = дп то он (см, окончание доказательства теоремы 3) является также равномерно наиболее мощным для проверки гипотез Но и Нп С! Замечание 1 к теореме 4. Вообще говоря, уравнение (8) имеет решение только в тех случаях, когда вероятности событий (Л = Л(Х ) +... ш Л(Х„) = С ) и (Л = В(Х~) + ... -1- Б(Х„) = Са) при истинных значениях до и д1 параметра д равны нулю.
В общем случае (в частности, при дискретных наблюдениях), как обычно, нужно использовать рандомизапию, т.е. выбирать наряду с С~ и С. вероятности р1 и Рг принятия гипотезы Н1 при условиях Л = С~ и Л = Са. 3 а м е ч а н и е 2 к теореме 4. Фактически при доказательстве теоремы было показано больше, чем требовалось.
А именно, рассматриваемый критерий 230 Гл. 3. Проверка статистических гипотез ) гпа) ,йв) п1в1 гз вя Рис 4 функция мощности строго возрастает, а при д > д, наоборот, строго убывает. В силу утверждения теоремы 4 любой другой критерий для проверки Но и Ни удовлетворяющий условию о (до) = о (А) = оо, будет иметь функцию мощности, задаваемую кривой типа 2, т. е, лежащей не ниже кривой 1 при д < до и д > д~ и не выше кривой 1 при до < д < ди Наконец, если потребовать, чтобы просто размер критерия равнялся оо, то для некоторых д уровень значимости может оказаться меньше о(д) (кривая 3).
Пример 4. Выборка Хп...,Х„произведена из нормальной генеральной совокупности с известной дисперсией и и неизвестным средним д, относительно которого имеются две гипотезы; двусторонняя основная гипотеза Но д < до илн д > д~ (де < д~) и конкурирующая гипотеза Н~. 'до < д < ди Полагая г д да 6(х) = е г г, А(д) =- — —, В(х) =- х, В(д) = — —, с 2ьха с' 2сг видим, что плотность нормального распределения представима в виде р(х,д) = Р(х;д,о ) = 6(х) е причем А(д) — возрастающая функция от д.
Поскольку статистика В(Х,,,Х„) =В(Х,)+.. +В(Х„) =Х, +...+Х„ распределена по нормальному закону с параметрами пд и по, то вероятности чо(Сп Сг) и щ (Сп Сг) определяются выражениями: Оо(Сп Сз) = Р(С~ < Х< 4 .. + Х„< Сз ( до) = = Ф(Сюпдо, пог) — Ф(Сн про, поа) = Ф ( " ого ~ — Ф ( ' и'о) з) ( минимизирует уровень значимости о(д) среди всех критериев, удовлетворяющих соотношениям о(до) = о(А) = оо. Это замечание нам понадобится при рассмотрении двусторонней конкурирующей гипотезы. За меча н не 3 к теореме 4.
Можно показать, что (при некотором несущественном условии, которое мы не приводим) функция мощности д(д) (т.е. мощность,З(д) и уровень значимости а(д)) построенного критерия будет иметь вид кривой 1 на рис. 4: существует такое значение д, что при д < д 3.
Одноларамегпричаскиа гила«лазы. Равномерно наилучшие крип арии 231 а1 (Сн С«) = Р(С1 < Х1 -~- ... -1- Х„< С' ~ д!) = =Ф(С,;пднпаз) — Ф(снадьпаз) =Ф(бз;""1 Ф(" — "" ~. ъ'п«з / Рассмотрим уравнение ( — ',) (,,:,) = п(а, — ~,Уй -Ь С'1 Г' (а, — а,>Д вЂ” С'т и па' Ъ'пас относительно неизвестного С. Это уравнение численно можно решить, например, методом последовательных приближений. Полагая теперь (а1 ж до) («з~ е до) С1 — Сз = -ь с' и вспоминая тождество Ф(х) = 1 — Ф( — х), убеждаемся, что С~ и Сз удовлетворяют равенствам Чо(Сп Сз) = д1(Сн Сз) = аш Таким образом, равномерно наиболее мощный критерий размера мо предписывает нам отвергнуть гипотезу Нш если С| < Х| Ф ... ч-Х„ < Сз, и принять ее в противном случае.
Уровень значимости а(д) и мощность 3(д) критерия задаются формулами о('д) = Р(С1 < Х1 Ф .. Ф Х, < Сз ! д) = Ф ( ) — Ф ( 1 ) (д < да илн д > д1), З(б) = Р(С, < Х, Ф ..-Ь Х. < С, ~ р) = Ф ( Сз и' 1 — Ф ( С' .~паЗ l ~ 4па~ д <д<«З . 1л (о ~) Двусторонняя конкурирующая гипотеза. Пусть теперь двусторонней является конкурирующая гипотеза Н1: гт < до или д ) д1 (до < д1), а основная гипотеза имеет вид Но. до < д < дн Предположим также, что все допущения относительно семейства функций распределения г (х;д), принятые при рассмотрении двусторонней основной гипотезы, остаются в силе.
Таким образом, мы только поменяли местами основную и конкурирующую гипотезы. Казалось бы, от такой замены ничего не должно измениться и равномерно наиболее мощный критерий для проверки основной двусторонней гипотезы будет таковым и для проверки двусторонней конкурирующей гипотезы. Однако это не так. Более того, для двусторонней конкурирующей гипотезы вообще не существует равномерно наиболее мощного критерия. Причина такого «неравноправия« кроется в том.
что в определение равномерно наиболее мощного критерия уровень значимости и мощность входят несимметрично: от уровня значимости требуется только, чтобы он при каждом д е Оо не превосходил размера ыо, в то время как мощность при каждом д е 01 должна быть максимальна. Тем не менее, имеет место следующая теорема. Теорема 5 (двусторонняя конкурирующая гипотеза).
Пусть дополнительно к условиям теоремы 4 функция А® является непрерывной. 232 Гл. 3. Проверка статистических гипотез Тогда для проверки гипотез Но н Н| существует равномерно наиболее мощный несмещенный критерий', который' в точности совпадает с равномерно наиболее мощным критерием для проверки двусторонней основной гипотезы, за исключением того, что меняются местами критическая и допустимая области. Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно показать, что из условия непрерывности АГд) следует непрерывность функции мощности любого критерия, которая в свою очередь для несмещенного критерия влечет за собой равенство уровня значимости в точках до и д1 размеру оо. Таким образом, равномерно наиболее мощный несмещенный критерий можно искать только среди критериев, для которых о1ттю) =- о1А) = оо. (13) С другой стороны, как вытекает из замечания 2 к теореме 4, хобращенный» критерий теоремы 5 является наиболее мощным для проверки основной гипотезы Йо.
д = до или д = тт~ против конкурирующей гипотезы Нь д < 0о или д ) д1 среди всех критериев, удовлетворяющих (13). Но из самого утверждения теоремы 4 следует, что рассматриваемый критерий при каждом д (сто < д < ст1) имеет уровень значимости о(д) < оо, т. е. является несмещенным, а значит, он будет также равномерно наиболее мощным и среди всех несмещенных критериев для проверки гипотез Но и Нп поскольку, как уже показывалось при доказательстве теорем 3 н 4, наличие дополнительных ограничений может привести только к уменьшению мощности критерия. С1 Па рис.
5 (кривая !) приведен типичный график функции мощности равномерно наиболее мощного несмещенного критерия размера оо для Рис. 5 проверки двусторонней конкурирующей гипотезы. Кривая 2 изображает функцию мощности другого критерия, имеющего тот же размер оо, а при д ) д1 — мощность, большую, чем равномерно наиболее мощный несмещенный критерий. Однако этот другой критерий является смещенным, поскольку при 'д < до его мощность меньше размера гхо. 4.
Многопараметрические гипотезы Пусть выборка Хы...,Х„произведена из генеральной совокупности с теоретической функцией распределения х'(х), принадлежащей паРаметРическомУ семействУ Г(х; В) = Е(х; йч,..., гть), зависЯщемУ от 4. Многопараметрические гипотезы 233 неизвестного векторного параметра 0 = (ды ...,дн). Множество возможных значений параметра 0 будем обозначать через О. Не вдаваясь в подробное описание О, скажем только, что О представляет собой либо все й-мерное пространство Н".
либо достаточно «большую» его часть (например, в случае двух неизвестных параметров д1 и дз множество О может быть полуплоскостью, полосой, прямоугольником и т.д.). Предположим теперь, что в множестве О выделено некоторое подмножество Оо. Как обьщно, дополнение к Оо в О будем обозначать через О~ = О ! Оо. Нам нужно проверить две сложные параметрические гипотезы: основную Но. 0 Е 9о против конкурирующей Н1 . 0 Е Оы Основным методом для проверки таких гипотез является метод отношения правдоподобия, представляющий естественное обобщение критерия отношения правдоподобия (см. параграф 2). Этот метод заключается в следующем.
Рассмотрим функцию правдоподобия Т,(хм ..., Х„; дн..., дь) = Р(Х~., ды..., дь) " Р(Х; дм ..., дь) в дискретном случае или Т,(Хн...,Х„;ды...,дь) =-р(Х,;дн...,дл). р(Х„;ды...,д,) в непрерывном и определим два ее максимальных значения как функ- ции от аргументов дн ...,дн: Ао(хн..., Х ) = зцр Т (Хн..., Х; ды "., дн) еее, и А'(Хн..., Х„) = внр Т,(хн..., Хп; ды..., де) ееО (очевидно, что Ьо*(хн..., Хп) не превосходит Ь'(Хм..., Х,)). Так же, как и в методе максимального правдоподобия (см.
па- раграф 4 гл. 2), для нахождения значений 0* = (д, ,..., д„ .Ко> *,о> и 0* = (д*,,..., д„), доставляющих максимум функции правдоподобия Т(хн...,Хп;дм...,дь) в подмножестве Оо и множестве О, обычно используют систему уравнений правдоподобия — (!пА(хн...,Х„; ды..., дн)) = О д дд, с соблюдением соответствующих ограничений. Определим теперь отношение правдоподобия Л = Л(Хн..., Х„) = ь„*(хо 'л") . Интуитивно ясно, что если Л мало отличается от единицы, то это говорит в пользу основной гипотезы Но.
Полагая Л = 21пЛ, получим следующий критерий для проверки двух сложных параметрических гипотез: мы должны принять гипотезу Но, если Л = Л(Хн..., Х„) < С, и отвергнуть в противном случае, где С критическое значение критерия. 234 Гл.
3. Проверка статистических гипотез Хотя уровень значимости о и мощность Н полученного критерия и определяются, как обычно, формулами о = а(дм ...,дь) = Р(Л(ХО...,Х„) ) С ~ ды...,дь) !!ды..., дь) е Оо), 1! =,~(ды..., д,) = Р)Л(Хи..., Х„) > С дм..., д, ) Иды..., дь) е О~), их нахождение для конкретных семейств Г!ш; ды..., дь) представляет, как правило, сложную в вычислительном плане задачу.
Поэтому ограничимся выписыванием приближенного значения уровня значимости о, справедливого при большом объеме выборки п. Теорема 6 (асимптотическое свойство метода отношения правдоподобия). Пусть Оо есть т-мериое (ие обязательно линейное) подпростраиство Ля (т ( К). Тогда (при некоторых дополнительных предположениях относительно семейства с'(Х; ды..., да)) статистика Л!Хы...,Ха) при условии, что истинное значение параметра 8 = !дп..., дв) 6 Оо, асимптотически при и э оо имеет Х~-распределение с й — т степенями свободы. Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 6, которое мы здесь не приводим, в идейном плане состоит нз двух частей Первая часть устанавливает асимптотическую нормальность оценок В" и Вз и является многомерным аналогом теоремы 7 гл.
2. Вторая часть заключается в подстановке полученных в первой части аснмптотически нормальных оценок в квадратичную форму, приближенно описывающую отношение правдоподобия вблизи истинного значения параметра В. О Таким образом, уровень значимости критерия определяется приближенной формулой о =- Р!Хз > С), где Хз случайная величина, имеющая Хз-распределение с к — т степенями свободы (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
