Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 48
Текст из файла (страница 48)
„1>с в непрерывном. Здесь Р(Я ) С ~ д) — вероятност~ статистике Я = = Н(ХП ..., Х„) принять значение больше С прн условии, что истинное значение неизвестного параметра равно д. До к а з а т е л ь с т в о. Используем тот факт, что предложенный критерий является наиболее мощным для проверки простых гипотез Но; д = д' и Н,'.
д = д" при всех д' < д". Действительно, для гипотез Н„' и Н,' критерий отношения правдоподобия определяется неравенством Л(Х,..., Х„;д', ди) > С или, что в силу предположений теоремы то же самое, неравенством н(х,,х„) > с = л1 п(с ), где Л1 П(у) — обратная к Л(Н) = Л(Н; д', ди) функция, причел1 поскольку критерий отношения правдоподобия является несмешенным, то уровень значимости а' и могцность (з для этого критерия удовлетворяют неравенству а =. )Х(д') < д' = д(ди), где Д(д) — функция мощности (т.е.
обобщенная запись а(д) и Д(д), см. параграф 1). Таким образом, мы доказали, что о(д) и ХХ(д) являются неубывающими функциями от д, откуда, в частности, следует: оо = о(до). Далее, из сказанного также вытекает, что рассматриваемый критерий является наиболее мошным уровня значимости ао для проверки простых гипотез Йс д = до и Нп д = д', где д' — любое число, большее до. Но тогда он является равномерно наиболее мощным критерием размера ао для проверки изначальных гипотез ХХо.
д < дв и ХХП д > до. Действительно, любой дРУгой критерий размера оо должен в точке до (как и в любой другой точке д < до) иметь уровень значимости о'(до) < оо. Значит, и мощность д'(д) этого другого критерия при любом д' ) до не должна превосходить мощности наиболее мошного критерия уровня значимости ао для проверки простых гипотез Йо д =- до и Нп д =- д', т.е. должна удовлетворя~~ неравенству Н(д) < 3(д). Последнее неравенство и доказывает теорему.
1З Замечание ! к теореме 3. Как обычно, чтобы соблюсти необходимую строгость приведенного доказательства, нужно привлекать рандомизацию Кроме того, если потребовать, чтобы функции распределения Г(гшд') и Е(м; ди) были различными для разных д' и д", то утверждение теоремы о монотонности функций о(д) и д(д) можно усилить до строгой монотонности. Наконец, заметим, что семейство распределений Г(л; д) с указанным в услови- 8 П П Бочаров, А В Починкин 226 Гл. 3. Проверка спгалгисти геских гипощез ях теоремы свойством называют обычно семейством с монотонным отношением правдоподобия. 3 а м е ч а н и е 2 к теореме 3.
Нетрудно видеть, что при заданном размере оо = сг(до) рассматриваемый критерий наряду с максимизацией мощности д(д) при каждом д > до минимизирует также уровень значимости о(д) при любом д < до. Поэтому обращенный критерий Н(Хп, Х„) < С, используемый для проверки основной гипотезы Но' д > до против конкурирующей гипотезы В1 д < до, будет также равномерно наиболее мощным. П р и м е р 3. Пусть выборка Хп..., Х„произведена из нормальной генеральной совокупности с известной дисперсией и и неизвестным средним д, относительно которого имеются две гипотезы основная Но.
д < до и конкурирующая Н~ д > до. Определим отношение правдоподобия Вводя статистику н=н(х,,,х„) =х, ч-.. тх„, видим, что е" — г' и!епд — Гг 9 ! причем при д' < д" функция Л(Я, д', дп) является неубывающей по Н. Значит, существует равномерно наиболее мощный критерий для проверки гипотез Но и Нп критическая область которого гг'. задается неравенством х~ ч- ...
е х > С. Для того чтобы определить уровень значимости о = о(д) и мощность ,3 = 99(д) этого критерия, заметим, что статистика Н = Х~ -!-... Е Х„ распре- а делена по нормальному закону с параметрами пд и пп . Тогда сг(д) = Р(Х~ ч-... -9- Х„> С ( д) = 1 — Ф(С; пд, по ) = = ! — Ф( — ) = Ф( — ) (д < до) д(д) = Р(Х1 ч-... + Х„> С ! д) = ! — Ф(С, пд, пег ) = Поскольку а(д) — возрастающая функция от д, то размер критерия гло = ~(до) = Ф ( х! ггаз Теперь, если, наоборот, нужно построить критерий заданного размера оо, то критическое значение С определяется выражением С = пдо — ра,гга, где р — о-квантиль стандартного нормального закона.
П Двусторонняя основная гипотеза. Рассмотрим двустороннюю ос- новную гипотезу Но'. д < до или д > д! (до < д!). Соответственно конкурирующая гипотеза Но имеет вид: до < д < д!. Пусть существуют возрастающая функция А(д) и функции 6(х), В(д) и Я(х), такие, 3. Однонараметрические гипотезы. Равномерно наилучшие критерии 227 (принадлежит экспоненциальному семейству, см. гл. 2, параграф 1). Введем статистику Я = Я(Хы ..., Х„) = Я(Х ) +... + Я(Х„).
Определим для любых двух чисел С1 н Сз (С1 < Са) вероятности уо = уо(Сы Ст) = Р(С~ < Я(Хы...,Х„) < Сз ~ до) = 7~(хй до) - Р(хайде) ах1 .г)хи, С~ <Я(ю ... мод< Сг у~ = у1(СыСз) = Р(С1 < $(Хы...,Х„) < Ст ~ д1) = р(хыд~)" р(х„;д~) дх1 г7х„. с!<з(еи...,з 7<сг Теорема 4 (двусторонняя основная гипотеза). При сделанных предположениях существует равномерно наиболее мощный критерий размера оо для проверки гипотез Но н Ны критическая облает~ Иг, которого задается неравенствами С1 < Я(хы...,х„) < Са, где С1 и Сз определяются нз уравнения уо(Сы Сз) =- 21(Сы Сз) = оо.
(8) Уровень значимости о = о(д) и мощность 77 =,д(д) задаются формулами: ст(д) = Р(С~ < Я(ХО...,Х„) < Сз $ д) = 7г(хч'д)" Р(:ггй д) т)х1 "йха (д < до или д 3 д,), с,<з[*,,..., „><с, д(д) = Р(С~ < Н(Хы, Хи) < Сз ~ д) р(х~, .д) "р(х„; д) т7х1 дх„(до < д < д1). с, <з(ю,...,к„)<сг Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства теоремы нам дующая лемма. Лемма 4.1. Системз уравнений (8) пря любом ов (О решение. понадобится сле- < оо < 1) имеет что плотность распределения р(х; д) любой функции распределения из семейства Г(х; д) (чтобы не рассматривать рандомизированные критерии, мы ограничимся здесь только непрерывным случаем) представима в виде (,.
д) й( ) л7в) з(куьв(Я 228 Гл. 3. Проверка статистических гипотез Доказательство леммы 4.1, как и доказательство леммы 2.2, носит аналитический характер, и мы его здесь не приводим (см. (11)). Представим функцию правдоподобия в виде 1,(Хы..., Х„; д) = р(Хи д) " р(Хп, д) = с(д) е" Рб вй(Хы ..,, Х„), (9) где Я = Я(Хь, Х„) = Н(Х«) 4- .. -~ Н(Л„). Рассмотрим теперь следующую байесовскую постановку задачи Пусть основная «смешанная» гипотеза Н„'состоит в том, что выборка Хы, Х„произведена из генеральной совокупности с теоретической плотностью распределения р(х; до), появившейся с вероятностью Ч, или с теоретической плотностью распределения р(х, д~), появившейся с вероятностью 1 — Ч, а конкурирующая гипотеза П( — из генеральной совокупности с теоретической плотностью распределения р(х, д'), где д' — произвольное, но фиксированное число, до < д' < ды Соответственно гипотезы Но и Н( имеют априорные вероятности я и 1 — «г.
Нетрудно видеть, что мы фактически имеем дело с двумя простыми гипотезами, причем по формуле полной вероятности гипотеза Но приписывает выборке Хы ,Х„ плотность распределения Ро(хи ", х ) = ЧР(хи до) " Р(х, до) 4 (1 — Ч) Р(хм д«) " Р(х; А ), а гипотеза Н( — плотность распределения р~ (хы, х„) = р(хи д ) "р(хч; д ). Байесовский риск й (вероятность принятия неправильной гипотезы) имеет вид .~ Ро(х~ ... х ») с1х~ с(хл + (! т ) ~ .) Р~(х~ . х ) «(х~ «(хл где И и И", — критическая и допустимая области принятия Но.
Можно показать, что по аналогии с критерием отношения правдоподобия оптимальный байесовский критерий предписывает принять Но при А'(ХП...,Х„) = "'Х'""Лч) < ро(Хп, Л ) (1 — «г) и отвергнуть в противном случае. В силу (9) неравенство для попадания выборки в критическую область можно переписать в виде с(до) 1л!е«! — л1е91з,! «с(до) 1л1ед — л!е91з Нетрудно видеть, что из-за монотонности А(д) левая часть этого неравенства — выпуклая вниз функция, неограниченно возрастающая при Н вЂ » хоо. Поэтому его можно переписать в виде с~ < Н < ом где с~ = с~(Ч,п), сг = сз(Ч, т), причем при с~ < с существует обратное преобразование Ч = Ч(сися), и = «г(сисг).
С! В соответствии с леммой 4.1 для любого оо существует решение уравнения (8), а значит, найдутся такие Ч = Ч(оо) и и = п(оо), при которых оптимальный байесовский критерий для проверки гипотез Но и Н,' имеет при до и д~ равные вероятности ошибки (уровни значимости) о(до) = о(д«) = оо. 3. Однопарамегпрические гипогпезьь Равномерно наиву~шов кригперии 229 Но этот же критерий можно применить и в небайесовской модели для проверки основной сложной гипотезы Йо. .д = до или д = д| против простой гипотезы Йы д = д'. Ясно, что полученный критерий представляет собой именно тот критерий, о котором говорится в утверждении теоремы. Покажем, что он является равномерно наиболее мощным размера ао для проверки гипотез Но и Йь Для этого рассмотрим любой другой критерий размера не больше ао и обозначим через а(до), а(д1) и Й(д') его уровни значимости в точках до и д1 и мощность соответственно.
Тогда В(до) < ао = а(до), О(д~) < Оо = О(д~) (! О) Снова считая, что оба критерия (основной и только что введенный) являются байесовскими, вычислим для них байесовские риски Л и Й: Л = тг ~Ч О(до) + (1 — у) с (д1)) + (1 — я) (1 — Д(д )) = о, (1 — я) (1 — д(д )), (1!) л = я (ца(до) + (1 — у) о(д~))+ (1 — 1г) !1 — Й(д')). (12) Вспоминая теперь, что при у =- у(ао), к = я(ао) первый из этих критериев является оптимальным байесовским, получаем неравенство Л < Л, или с учетом (1О) †(12) Д(д') >,В(д').
В силу произвольности выбора д' (до < д' < д1) предложенный критерий является равномерно наиболее мощным размера ао для проверки сложных гипотез Йо д = до или д = д| и Нп до < д < А. Совершенно аналогично показывается, что построенный критерий является при д' < до (д' > д~) наиболее мощным для проверки гипотезы Н~'. д = д' против гипотезы Н(2 д = до или д = д~ среди всех критериев, для которых дн(да) = а(до) > ао, дн(А) = О(А) < Оо (д (до) =- а(до) < ао, Л'(д1) = а(д|) > Оо), откуда, в частности, следует, что а(д) < ао для любого д < до (д > д|). Значит, размер построенного критерия в точности равен оо. Для окончания доказательства теоремы осталось заметить, что поскольку построенный критерий имеет размер ао при проверке изначальных гипотез Но д < до или д > д| и Нп до < д < д1 и является равномерно наиболее мощным размера ао при замене основной гипотезы Но на «упрощенную» Йо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
