Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 43
Текст из файла (страница 43)
1). О,З 1 Оценка д", математического О.т 1 О.О " ожидания д~ совпадает с точкой 1ОЛ 1 З З, пересечения прямой л с осью ,' О.З абсцисс, т. е. д*, = а = 0,06. Для того чтобы найти оценку д.," )ОЛ дисперсии дм определим значение коэффициента й. й = 0,90. ( О.О1 Тогда д~ —— 1/)д = 1,23. Для сравнения приведем значения оценок этих же параметров, полученные методом макснмаль- Ряс 1 201 7. Доверительно!о интервале! таблица 3 Аз Лз А А!о в Ао х, = Х,* -2,33 — 1,60 — 1,58 0,03 0,05 — 1,57 — 1,36 0,07 0,09 — 1,32 -1,29 -1,06 0,1 1 0,1 3 0,1 5 — 1,04 — 0,98 0,17 0,19 о.о! 2н А!2 Ам Лдо Ам Ам А, А!! Ам Ап Азв Азу х, = Л,* — 0,95 — 0,88 — 0,80 — 0,79 — 0.72 — 0,53 — 0,52 — 0,28 — 0,27 — 0,18 р,= 02! 24 — ! 2п 0,23 1,25 0,27 0,29 0,31 0,33 0,35 0,37 0,39 А22 ! А24 А, .42Б А27 .42в Аз! Азд Азо А24 А2Б — 0.08 ! — 0,05 0,30 0,32 х, = Х,* — 0,10 — 0,01 0,01 0,01 0,01 0,14 0,43 0,45 р,= 041 2п 0,47 0,49 0,51 0,53 0,55 0,57 0,59 4зз ~ 2!зз А.44 Лзв Азв Азу Азв тзд А!о 0,35 ! 0,40 0,4! 0,52 0,54 0,60 0,65 х,=х, 0,36 0,74 0,96 у,= 0,61 2~ — 1 2о 0.63 0,65 0.67 0,69 0,71 0,73 0,75 0,77 0,79 А42 Азз Азу А во Ам А42 А4в А, А4! А 44 Ам х, = Х,* 1.02 1727 1.68 0,87 0,89 1,92 2.15 '2,19 0,91 0.93 0,95 1,06 1,12 0,83 0,86 2.25 3,47 0,97 0,99 р,= 081 2н 7.
Доверительные интервалы Полученные в предыдущих параграфах оценки неизвестных параметров естественно называть точечными, поскольку они оценивают неизвестный параметр одним числом или точкой. Однако, как мы знаем, точечная оценка не совпадает с оцениваемым параметром и более разумно было бы указывать те допустимые границы, в которых может находиться неизвестный параметр д при наблюденной выборке ного правдоподобия гсм пример 18, а также пример 8 из гл.
1) д*, = 0,082, дз = 1,34. Как видим, оценки весьма близки. П Следует отметить, что с помощью метода номограмм можно судить также о правильности выбора семейства е'(351 д1, дз). Действительно, по множеству точек А, сразу видно, группируются они вокруг некоторой прямой или нет.
Если нет, то возникают серьезные сомнения в принадлежности теоретического распределения х'(х) семейству Г(х; д1, дг). 202 Гл. 2. Оценки неизвестных параметров Хн...,Хе, К сожалению, в подавляющем большинстве важных для практики случаев при любой выборке Хы..., Х„достоверная область, в которой может находиться неизвестный параметр д, совпадает со всей возможной областью изменения этого параметра, поскольку такую выборку мы можем получить с ненулевой вероятностью (или плотностью распределения) при каждом значении д. Поэтому приходится ограничиваться нахождением границ изменения неизвестного параметра с некоторой наперед заданной степенью доверия или доверительной вероятностью.
Доверительной вероятностью назовем такую вероятность о, что событие вероятности 1 — о можно считать невозможным. Разумеется, выбор доверительной вероятности полностью зависит от исследователя, причем во внимание принимаются не только его личные наклонности, но и физическая суть рассматриваемого явления.
Так, степень доверия авиапассажира к надежности самолета, несомненно, должна быть выше степени доверия покупателя к надежности электрической лампочки. В математической статистике обычно используют значения доверительной вероятности 0,9, 0,95, 0,99, реже 0,999, 0,9999 и т. д. Задавшись доверительной вероятностью сх, мы уже можем по выборке Хы ..., Х„определить интервал (д' =- д'(Хы..., Х„), д" =- =- дп(Хн...,Х„)), в котором будет находиться неизвестный параметр д.
Такой интервал называется доверительным интервалом (иногда также говорят еинтервальная оценка ) доверительной вероятности а для неизвестного параметра д. Отметим, что доверительная вероятность а ни в коей мере не является вероятностью неизвестному параметру д принадлежать доверительному интервалу (д', д"1, поскольку, как мы предположили с самого начала, априорные сведения о параметре д, в частности о его распределении, отсутствуют.
Когда говорят, что неизвестный параметр д не может выйти за границу доверительного интервала (д', д"), констатируют только, что если при любом истинном значении д в результате эксперимента получена выборка Хы ...,Хн, а затем по ней построен доверительный интервал (д', дп), то этот интервал с вероятностью о накроет значение д. Доверительные интервалы определим, следуя 1О. Нейману, опираясь на точечные оценки. По заданной оценке д* доверительные интервалы доверительной вероятности о можно построить различными способами. На практике обычно используют два типа доверительных интервалов: симметричные и односторонние. Ограничимся описанием процедуры построения симметричных доверительных интервалов.
Односторонние доверительные интервалы находятся совершенно аналогично. Итак, пусть у нас имеется выборка Хы ...,Хп из генеральной совокупности с неизвестной теоретической функцией распределения Г(л), принадлежащей однопараметрическому семейству Е(ап д). Предположим также, что нами выбрана некоторая оценка д*, по которой мы хотим построить симметричный доверительный интервал доверительной 203 7.
Доверилгельиьге инглервальг вероятности гю Для зтого возьмем произвольное значение д и найдем функцию распределения Гд*(х; д) оценки д'. Определим х~ = х~(д) и хз = хз(д) из решения уравнений (см. рис. 2): Ео. (хм д) = Го*(хз; д) = (напомним, что хп и хв носят название (1+ се)г2- и (1 — сь)г'2-квантилей функции распределения Ео„(хл д)). Таким образом, при заданном д оценка д" будет с вероятностью а заключена в интервале !хз,х~), причем вероятность попадания д' как влево, так и вправо от интервала (хз,х~) имеет одно и то же значение (! — гт)гг2 (отсюда происходит название «симметричныйь).
Откладывая теперь на графике рис. 3 по оси абсцисс значение параметра д, а по оси ординат — соответствующие ему значения х~ и хз, получим кривые х~(д) и хл(д). В силу принципа невозможности события, происходящего с вероятностью ! — сг, заключаем, что все возможные пары (д, д') могут находиться только внутри области С между кривыми х~(д) и хе(д). Для окончания построения доверительного интервала остается заметить, что, получив по выборке Хы ...,Х„ оценку д', мы вправе сделать вывод: неизвестный параметр д обязан лежать внутри интервала !д', д"1, где д' и д" определяются из решения уравнений д' = х~(д'), д* = х.(д").
Именно интервал (д', д") и является симметричным доверительным интервалом доверительной вероятности о. Рис. 2 Рнс. 3 Пример 27. Построим симметричный доверительный интервал доверительной вероятности а для неизвестной вероятности успеха д в схеме бернулли. Естественно в качестве оценки д* взять наблюденную частоту д* = —, * Р о где Р— суммарное наблюденное число успехов (см. пример 24). При малом объеме выборки и процедура построения доверительных интервалов трудоемка, поскольку она практически сводится к перебору значений неизвестного параметра Поэтому существуют специальные таблицы (см.
(!), табл.5.2), которые по наблюденным значениям числа успехов Р и числа неудач и — и дают границы доверительного интервала доверительной вероятности о. Гл. 2. Оценки нвизввсшнь!х парамвшров 204 ур Гв.(ш!;д) =, Ев.(шг;д) = 2 2 связаны с (1 + о)г2- и (1 — а)гг2-квантилями д!!.!.„У! и чгг! Уг (см. (1), табл. ! .3) стандартного нормального закона формулами д(1 — д) д(1 — д) ш!(д) д 1 зг!~- !() хз шг(д) д 1 р !— п 2 Учитывая, что Чг1!а„жг = †,р!! Мз, уравнения кри- 1 вых л!(д) и шз(д) можно записать в единой эквивалентной форме д(1 — д) (л- д) = !а п з Последнее уравнение, как нетрудно видеть, представляет собой уравнение эллипса (рис. 4) (физически непонятный выход эллипса за полосу 0 < ш < ! связан с тем, что при д, близких к нулю или единице, необходимо в соответствии с теоремой Пуассона использовать не нормальную, а пуассоновскую аппроксимацию оценки д*).
Уравнение для определения границ д и дг! доверительного интервала Рнс 4 имеет вид д(1 — д) г (д — д) = й !та и г откуда окончательно получаем М!а +Ы! — ' () д (1 д )+ 1а! 1 Ч- — д н Пример 28. Построим симметричный доверительный интервал доверительной вероятности о для неизвестного среднего д нормального закона при известной дисперсии аг. Эффективной оценкой д* параметра д, как мы знаем (пример !8), является выборочное среднее д" = пг* = — (Х! + ... + Х„).
1 п Оценка д' также распределена по нормальному закону с параметрами д и ог,гп. Поэтому ш! = л!(д) = д + р ! ю ')) —, юг = шг(д) = д Ч За ! — 1 п е т.е, ш!(д) и шг(д) представляют собой уравнения двух параллельных прямых (рис.б). Решая уравнения д" = л!(д'), д* = хг(д'), При больших объемах выборки и пользуются тем фактом, что в силу интегральной теоремы Муавра †Лапла оценка д распределена приближенно по нормальному закону со средним д и дисперсией д(1 — д))п. Тогда решения авнений 205 7. Доверительные интервалы и выборочной дисперсией 1 д! =в = ((Х! — т) Ч-...Ч- п — 1 (см. пример 25). Построение доверительного интервала ,"д',, д!') го д! начнем с определения случайной величины (Մ— т) ~ для неизвестного средне- -=(д;-д,),Г, д2 получаем границы доверительного интервала '22!Ха')( * д = д !ь! — *')( и 2 П или, учитывая, что !рг!ь„мт = — !е1! Ыт, дь-=д-„! .,~. П 2 Пример 29. Как и в предыдущем примере, предположим, что выборка Х!,...,Х произведена из нормальной генеральной совокупности, но с неизвестной дисперсией д, а среднее известно и равно 2п.
В качестве оценки д* неизвестной дисперсии д возьмем выборочную дисперсию д" = — [(Х! — т) ч-... + (Х, — т) 1. Тогда случайная величина 62 = пд'22д будет иметь Хт-распределение с и степенями свободы, а значит, решения уравнений Ев. (х2; д) =, Р'е. (х2; д) = 2 ' 2 определяются формулами 1 1 х! = — 62ь„д, хт = — 6! д, л и где 6, — о-квантиль 62-распределения с г! степенями свободы (см (1), табл. 2.2б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
