Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Рис. 2 Рис. 1 !8 Гм В Вероятносп»нее просвранс»пео Пересечение событий А и В записывается следующим образом: С=ЛОВ или С=А.В=АВ. Аналогично определяется пересечение трех и более событий. Пример 9. Событие А — при подбрасывании двух монет падение их одной стороной, событие  — выпадение хотя бы одного «герба» Пересечением событий А и В является событие С, состоящее в выпадении двух »гербов» с» П р и м е р !О.

Событие Л вЂ” выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, событие  — выпадение не менее 3 очков. Пересечение Л и  — событие С, состоящее в выпадении 4 или 6 очков. С! События А и В называются непересекающимися или несовмесгпн»ями, если их пересечение является невозможным событием, т.е. А Г! В =- Я (рис. 3). Для трех и более событий понятие несовместности можно определить разными способами. Мы будем, в основном, пользоваться следующим понятием несовместности и событий, которое также называется попарной несоемесгпносгпью событий: события А!, ..., Ап называются (попарно) несовместными, или (попарно) непересекающимися, если А,ГзАз =.й» для любых ( ну при (ф1. При мер !! Событие А — выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, событие  — выпадение нечетного числа очков.

События А и В несовместны. Нетрудно видеть, что справедливы следующие простейшие формулы для пересечения двух событий, одно из которых достоверно или невозможно: Ай=А, Ай»=й». Объединением (суммой) двух собь»тий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В, т.е. состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (рис.

4). Рис. 4 Рис. 3 Для объединения событий А и В применяется запись С = А О В. 19 2. События, действия над ними Пример !2. Событие А — выпадение 1 или 3 очков при бросании игральной кости, событие  — выпадение 3 или 5 очков. Объединением событий,4 и В является событие С, состоящее в выпадении нечетного числа очков. П Для объединения двух событий, одно из которых достоверно или невозможно, имеют место следующие формулы: ПОА=П, Яг1А=А. В том случае, когда события А и В несовместны, наряду со знаком » 3» для нх объединения употребляют знак «+».

Обычно знак «+» применяют тогда, когда заведомо известно, что А и В несовместны, и это особо хотят подчеркнуть. В частности, поскольку невозможное событие несовместно с любым событием А, то О 13 А = О + А = А. Аналогично определяется объединение трех и более событий. При этом знак «+» используется в случае попарной несовместности входящих в объединение событий, Разностью двух событий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В, т.е. состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат А, но не принадлежат В (рис. 5).

Разность событий А и В запи- Рис. 5 сывается в виде С = А 1 В. Пример 13. Событие А — выпадение хотя бы одного «герба» при подбрасывании двух монет, событие  — падение обеих монет одной стороной Разность С событий А и В представляет собой событие, заключающееся в выпадении ровно одного »герба». О Справедливы следующие формулы для разности двух событий, одно из которых достоверно или невозможно: А»1Й.=.И, А1,Ы=-А, Ы'1,4=-Ы. Кроме того, если А и В несовместны (АВ = Я), то А '1 В = А.

Симметрической разностью двух собгятий А и В (обозначается знаком ьх или о) называется событие С, представляющее собой объединение событий А»1 В и В 1, А: С = А л В =- (А 1 В) О (В ~» А). 20 Гл. б Вероятное пное пространство Поскольку события А 1 В и В 1 А несовместны (рис. 6), симметрическую разность можно записать также в виде А б В = (А ~1 В) + (В 1 А).

Нетрудно заметить, что симметрическая разность есть объединение событий А и В без их общей части А а В =-(А гз В) 1(В гз А). Пример 14. Событие А — выпадение ие менее 2 очков при бросании игральной кости, событие  — выпадение ие более 4 очков. Симметрической разностью событий А и В является событие С, заключающееся в выпадении 1, 5 или 6 очков. С1 Рис. 7 Рис. 6 Если А и В несовместны, то АбВ=А+В. Дополнением собгятия А (обычно обозначается А) называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А (рис. 7), или, иными словами, А = й '1 А. П р и м е р 15.

Событие А — выпадение четного числа очков при бросании игральной кости. Дополнительное событие А — выпадение нечетного числа очков. С1 Справедливы формулы: Если некоторое событие записано в виде нескольких действий над различными событиями, то сначала вычисляются дополнения, затем выполняются умножения и, наконец, сложения и вычитания событий. Так, формула С = А1АзВ~гз АзВз'1 Вз эквивалентна формуле С =- ((А1(Аз) В11 ГЗ 1Аз(Вз)) ) '1 Вз.

21 3. о.-алгебра событий Пользуясь диаграммой Эйлера — Венна, нетрудно показать справедливость следующих формул (формулы де Моргана): А г1 В =- А Ад В, АгзВ = Аг1В. Формулы де Моргана элементарно переносятся на произвольное число событий. В частности, для и событий Ап..., А„онн имеют вид: А О ... пА„=- А1О... гоА„, АО... ОА„=-А1п ... и А„. Следует отметить, что все действия над событиями можно получить с помощью только двух действий — объединения и дополнения (или пересечения и дополнения).

Основанием для этого утверждения служат формулы де Моргана, а также соотношение А)В=АВ. Кроме вышеперечисленных действий над событиями нам в дальнейшем понадобится понятие включения. Событие А принадлежит (содержится в, включается в) событию В (записывает- Рис. 8 ся А с В), если появление события А обязательно влечет за собой наступление события В (рис. 8) или, иными словами, каждый элементарный исход ш, принадлежащий А, обязательно принадлежит и В. Ясно, что включение А с В эквивалентно выполнению равенства АВ =- А.

Используют и обратное понятие: событие В содержит (включает) событие А (В Э А), если А С В. Пример 16. Событие А — выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, событие  — выпадение не менее 2 очков. Событие А принадлежит событию В, поскольку если выпало четное число очков (2, 4 или 6), то обязательно выпало не менее 2 очков. П Следующие включения очевидны: ОсАсй, Кроме того, если А с В, то Аг1В=В, А'1В=й1, АбВ=В'1А. 3. о -алгебра событий Итак, мы назвали событием произвольное подмножество пространства элементарных исходов П.

Такое определение прекрасно работает, когда Й конечно или даже счетно (т.е. его можно пересчитать с помощью чисел натурального ряда). Однако если 1) более чем счетно, 22 Гл. В Вероятное ~нее пространс пво то, вообгце говоря, мы уже не сможем построить логически непротиворечивую теорию, называя событием произвольное подмножество Й. Причина этого заключается в существовании так называемых неизмеримых множеств, что в свою очередь кроется в топологической структуре классических рассматриваемых пространств (прямой, плоскости, трехмерного пространства и т. д.).

Поэтому приходится отказаться от, казалось бы, естественного желания назвать событием любое подмножество пространства элементарных исходов Й и выделить среди всех подмножеств некоторый класс подмножеств З. Именно только подмножества из выделенного класса З и будут называться событиями. Интуитивно ясно, что описанные в предыдущем пункте теоретико-множественные операции над событиями не должны приводить к подмножествам, не являющимся событиями. С точки зрения повседневной практики подмножества пространства элементарных исходов Й, не являющиеся событиями, представляют собой чистую математическую абстракцию и в реальной жизни никогда не встречаются. Даже само доказательство их существования представляет весьма сложную задачу. Поэтому читателю, не желающему вдаваться в математические тонкости, мы рекомендуем пропустить параграф, посвященный о-алгебре событий, и в дальнейшем под событием понимать произвольное подмножество элементарных исходов Й, а под о-алгеброй — систему всех этих подмножеств.,Любознательному читателю мы предоставляем возможность познакомиться со строгим определением последнего понятия, излагаемым ниже.

Алгеброй событий йг назовем непустую систему подмножеств Й, удовлетворяющую следующим аксиомам: А1. Если подмножество А принадлежит йг (является событием), то дополнение А также принадлежит йг (является событием). А2. Если подмножества А и В принадлежат йг (являются событиями), то и объединение А 0 В принадлежит 2) (является событием). Как мы знаем, любую из рассмотренных нами операций над подмножествами можно получить с помощью только двух операций: дополнения и объединения. Поэтому пересечение и разность двух событий также будут событиями.

Поскольку Й = А О А и О = Й, то все пространство элементарных исходов Й и пустое подмножество О обязательно являются событиями в любой алгебре событий. Очевидно также, что объединение и пересечение любого конечного числа событий снова будет событием. Иными словами, алгебру событий йг можно определить как систему подмножеств пространства элементарных 23 3.

Характеристики

Список файлов книги