Учебник_Бочаров_Печинкин (846435), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Таким образом, с использованием аппарата характеристических функций нам удалось чрезвьшайно просто найти необходимое и достаточное условие выполнения (слабого) закона больших чисел для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин бг,бг, Скажем еше несколько слов о связи слабого и усиленного законов больших чисел Из свойств характеристических функций следует, что если случайная величина б„ имеет математическое ожидание Мб„ = а„ то производная ?1(0) существует и равна га. Значит, для последовательности бг,бг, ,бя, . выполнен слабый закон больших чисел и не выполнен усиленный тогда и только тогда, когда Мб не сугцествует, но тем не менее существует производная Д(0) =- га. !З В заключение этого параграфа отметим, что наряду с характеристическими функциями в теории вероятностей используются также преобразования Лапласа-Стилтьеса Дз) = Ме М !для неотрицательных случайных величин ц) и производящие функции ?*(я] = Мяч (для неотрицательных целочисленных случайных величин ~).
Ясно, что преобразование Лапласа — Стилтьеса Г"1в) и производящая функция ?*!я) связаны с характеристической функцией той же самой случайной величины соотношениями: г1!) = ?1-гй), ?1!) = ?'*1е"). Преобразование Лапласа — Стилтьеса и производящая функция, по сути дела, имеют те же самые свойства, что и характеристическая функция, но с ними существенно проще обращаться уже хотя бы потому, что они являются действительными функциями.
150 Гж 8. Предельные теоремы, теории вероятностей 4. Центральная предельная теорема Рассмотрим последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин си ба,...,с„,..., имеющих математическое ожидание Мс„= пт. Предположим также, что существует дисперсия ййи = пз. Закон больших чисел для этой последовательности можно представить в следующей форме: — ((, — МД = — 1,8и — пт) ч О, 1 1 п и и ы. где сходимость можно понимать как в смысле сходимости по вероятности 1слабый закон больших чисел), так и в смысле сходимости с вероятностью, равной единице 1усиленный закон больших чисел). Однако сразу же возникает вопрос: поскольку от случайных величин 8„ мы потребовали существования не только математического ожидания, но и дисперсии, то нельзя ли получить более «тонкуюь предельную теорему, позволяющую точнее описать предельное поведение распределений центрированных сумм ߄— птз Такая теорема имеется и носит название центральной предельной теоремы.
При этом нормировка Ь'„ — нт осуществляется величиной,~п, а не п, т.е. последовательностью постоянных, стремящейся к бесконечности медленнее, чем н. Центральная предельная теорема. Пусть си ба,...,би, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, МСи = т, 0~„= сгз.
Тогда Р(' < х~ — Ф1х) 1напомним, что Ф1х) — функция стандартного нормального распределения). Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что поскольку функция стандартного нормального распределения Фгх) является непрерывной, то сходимость к ней последовательности функций распределения в каждой точке представляет собой слабую сходимость и, значит, для доказательства центральной предельной теоремы можно воспользоваться теоремой непрерывности. Обозначим через У~Г1) характеристическую функцию случайных величин би, а через д„ф — характеристическую функцию случайной величины ф„ — пяту~.4гитз. Воспользовавшись теперь свойствами 2 и 3 характеристических функций, имеем п ы>- ~,( — ') Поскольку г111) имеет производные первых двух порядков гсвойство 4 характеристических функций), то 1и У~(1/ъ воз) можно равномерно на любом отрезке ) — Х,у') разложить в ряд Маклорена по степеням 1/за до второго члена.
151 4. Центральная предельная теорема и, значит, 12 й д„(1) = — —, 2 р д„(1) — г е я г Считая теперь, что число п измерений велико, воспользуемся центральной пре- дельной теоремой, по которой случайная величина (о~ + ... + о„— ип)(аггее распределена приближенно по стандартному нормальному закону. Значит, Р(/ор — о/ <е) — Ф(е Я) — Ф( — е ) —,,) =2Фь(еЯ где значение интеграла Лапласа Фь(ю) приведено в табл. 3 приложения. П Но е ' г~ есть не что иное, как характеристическая функция Г(1) стандартного нормального распределения (см пример 7).
Тем самым завершается доказательство теоремы. П Центральная предельная теорема выявляет ту роль, которую играет нормальное распределение. Оно обычно возникает в явлениях, подверженных большому количеству малых случайных воздействий. Уже само название «нормальный закон» объясняется тем широким распространением, которое он находит на практике в самых различных областях научных исследований. Пример 16.
Рассмотрим и испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха р и вероятностью неудачи д =- 1 — р в каждом. Пусть рь число успехов в У-м испытании. Тогда МР, = р, Ор, = рд. Обозначим через .5'„= Р| Ф ... -г ра суммарное число успехов в п испытаниях. В силу центральной предельной теоремы с ростом и распределения случайных величин (5н — пр)г гйрд сходятся к стандартному нормальному закону, т.е. Р~ д Р < л) Ф(л). Это утверждение представляет собой не что иное, как интегральную теорему Муавра — Лапласа (см.
параграф 3 гл. 4). П Пример 17 Для определения скорости о движения объекта выполняетса и измеРений оп ..., а,, пРичем дце измеРение пРоизводитсЯ со слУчайной ошибкой б, (т.е. о, = и + б,). Предполагая, что ошибки измерений б, независимы и одинаково распределены с математическим ожиданием Мб, = О (отсутствуют систематические ошибки наблюдений) и дисперсией 05 = а~, оценим вероятность того, что средняя наблюденная скорость гнг — (о~ + ... + и„~(п будет отличаться от истинной скорости о не более чем на е.
Тогда Р(ь,„— о < )=Р( — е« ' ' " е~= Список литературы 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.. Высшая школа, 1972, 2. Вентиель Е.С Теория вероятностей. — Мн Наука, 1969. 3 Пугачев В. С Теория вероятностей и математическая статистика. — М. Наука, 1979 4 Розанов Ю.А. Лекции по теории вероятностей. — Мл Наука, 1986 5. Башарин Г.П. Введение в теорию вероятностей. — М.. Изд-во УДН, 1990.
6. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. — Мг Наука, 1987. 7. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — Мл Наука, 1982. 8. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — Мн Наука, 1988. 9. Климов Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика. — М. Изд-во МГУ, 1983. 10. Боровков А.А. Курс теории вероятностей. — Мг Наука, 1976. 11. Прохоров Ю.
В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. — М.. Наука, 1985. 12 Феллер В Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2 Мл Мнр, !984. 13 Лоэв М. Теория вероятностей. — М: ИЛ, 1962. 14. Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — Мг Высшая школа, !979 15. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике н теории случайных функций / Нод ред. А. А.
Свешникова. — Мг Наука, 1970. 16 Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей. — Мл Высшая школа, 1986. 17 Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. — Мл Изд-во МГУ, !963. Глава ! ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Так же как и теория вероятностей, математическая статистика имеет свои ключевые понятия, к которым относятся: генеральная совокупность, теоретическая функция распределения, выборка, эмпирическая функция распределения, статистика.
Именно с определения этих понятий, а также с установления связи между ними и объектами, изучаемыми в теории вероятностей, мы начнем изложение математической статистики, предварительно дав краткое описание задач, которые собираемся решать. Кроме того, а последнем параграфе главы остановимся иа некоторых распределениях, наиболее часто встречающихся в математической статистике. 1. Задачи математической статистики Математическая статистика, являясь частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистикасч изучает, как и теория вероятностей, случайные явления, использует одинаковые с ней определения, понятия и методы и основана на той же самой аксиоматике А. Н.
Колмогорова. Однако задачи, решаемые математической статистикой, носят специфический характер. Теория вероятностей исследует явления, заданные полностью их моделью, и выявляет еще до опыта те статистические закономерности, которые будут иметь место после его проведения. В математической статистике вероятностная модель явления определена с точностью до неизвестных параметров. Отсутствие сведений о параметрах компенсируется тем, что нам позволено проводить «пробные» испытания и на их основе восстанавливать недостающую информацию.
Попытаемся показать различие этих двух взаимосвязанных дисциплин на простейшем примере последовательности независимых одинаковых испытаний, или схеме Бернулли (часть 1, гл. 4). Схему Бернулли можно трактовать как подбрасывание несимметричной монеты с вероятностью выпадения «герба» (успеха) р и «цифры» (неудачи) ц =- ! — р, В теории вероятностей р и г! задаются «извне> (например, для симметричной монеты р = д = 1/2). Методы теории вероятностей позволяют, зная р и д, определить вероятность выпадения гп «гербов» при и, подбрасываниях монеты (биномиальное распределение, часть 1, гл. 4, параграф !), найти асимптотику этой вероятности при увеличении числа подбрасываний (теоремы Пуассона и Муавра †Лапла, 156 Гл. Г Общие сведения часть 1, гл.
4, параграфы 2 — 4) и т.д. В математической статистике значения р и с1 неизвестны заранее, но мы можем произвести серию подбрасываний монеты. 14ель проведения испытаний как раз и заключается либо в определении р и у, либо в проверке некоторых априорных суждений относительно их значений. Таким образом, судя уже по этому простейшему примеру, задачи математической статистики являются в некотором смысле обратными задачам теории вероятностей. В математической статистике обычно принято выделять два основных направления исследований. Первое направление связано с ог)енкой неизвестных параметров. Возвращаясь к нашему примеру, предположим, что мы произвели и подбрасываний монеты и установили, что в р из них выпал «герб>.
Тогда наиболее естественной оценкой вероятности р является наблюденная частота р* = 1с(п. Как известно из закона больших чисел Бернулли (часть 1, гл. 4, параграф 5), с увеличением числа испытаний частота р* стремится к вероятности р, т.е. р' является состоятельной оценкой вероятности р. Оказывается, наряду с простотой и естественностью оценка р' будет и наилучшей с многих точек зрения, т.е. она обладает свойством эффективности. Однако если нам заранее определено число и подбрасываний монеты, то сказать со 100;4-й гарантией чтолибо об истинном значении р мы не можем (за исключением разве что тривиальных суждений типа «если выпадет хотя бы один „герб" то вероятность выпадения „герба" не может равняться нулюь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
